Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Механика

.pdf
Скачиваний:
2
Добавлен:
10.07.2020
Размер:
8.37 Mб
Скачать

https://new.guap.ru/i04/contacts

.

, -

-

[5, 7].

, (20), -

– .

( ) , -

.

– -

(21), (22) .

.

-

. -

.

1.6.

(18),

,

, , -

( ).

,

, K , -

, –

U . -

(21) , ,

, . -

T .

20

СПБГУАП

(18) (21) K :

, , , . [2].

: [1, 2, 5, 6].

(« ») -

, -

. -

: , -

, , , -

.

, -

.

, -

.

, ,

,

.

(20) -

(22) -

[5]. -

.

,

.

.

, -

– , , -

.

.

-

21

https://new.guap.ru/i04/contacts

( , ,

.) .

,

-

. -

[5]. -

-

, . -

, -

.

1.7.

-

U -

U e . -

.

U e

(14) F e , -

, . -

,

,

.

-

-

, ,

. -

-

. -

22

СПБГУАП

. -

. , -

-

, , . -

[8, 9].

(18), , . -

,

:

N

 

Ps Ksquq Psg Psq .

(23)

q 1

( , , -

) .

, -

, ,

. -

.

-

,

.

-

. -

. -

.

23

https://new.guap.ru/i04/contacts

1.8.

-

, .

, -

. -

, , , -

.

, n m ,

( . 1.3). -

; -

, .

y

ujy

j

 

ujx

 

 

 

e

h

 

 

Piy

 

 

i

Pix

x

a

b

a

. 1.3

-

. ,

– . -

, .

( ) . 1.4.

( ) x, y .

) x, y -

i.

24

СПБГУАП

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ujy

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ujx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fiy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

Fix

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. 1.4

, -

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

i

 

 

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

 

 

, F

 

i

.

(24)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

u

j e

 

 

e

Fj e

 

, -

, , -

.

 

 

uix

 

 

 

 

Fix

 

 

 

 

 

u

iy

 

 

 

 

 

F

 

 

 

Ui

 

 

 

 

 

F i

 

iy

 

 

U

 

 

 

 

,

F

 

 

 

 

(25)

 

 

 

.

e

Uj e

 

u

 

 

 

e

Fj e

 

F

 

 

 

 

 

 

 

jx

 

 

 

 

 

 

jx

 

 

 

 

u jy

e

 

 

 

Fjy

e

 

:

25

https://new.guap.ru/i04/contacts

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U1

P1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

....

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

....

 

 

 

 

 

 

 

 

U Ui

 

, P P i

,

(26)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

....

 

....

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Un

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

U

 

U

 

uix

, P

 

 

P

Pix .

 

 

 

i

 

i

u

i

 

i

 

P

 

 

 

 

 

 

 

iy

 

 

 

 

 

 

iy

 

 

U P (26) -

. -

-

.

: «ix»

« 2i 1», «iy» « 2i ».

, -

,

u1

u1

 

P1

Pi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

u

 

 

P

 

P

 

(27)

U

 

2i 1

 

 

 

q 1

,

P

2i 1

 

s 1

,

 

u

2i

 

 

u

q

 

 

P

 

 

P

 

 

 

 

 

 

2i

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u2n

uN

 

 

P2n

PN

 

q, s – -

; N -

.

( ). -

x :

u

(

x

) 1 2

x

.

(28)

(28) i, j:

26

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СПБГУАП

 

ui 1 2

xi ,

u

j 1 2

x

j .

(29)

1, 2 (29) (28),

u

(x) N (

x

) e U

e Ni , N j e U

e ,

(30)

Ni (x j x ) / l, N j (x xi ) / l -

( . . 1.4); l – .

Ni , N j

-

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ni N j 1, Ni (

x

j ) N j (

xi ) 0, Ni (

xi ) N j (

x

j ) 1.

(31)

 

(30),

 

 

 

 

 

du

(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

e U e .

(32)

 

d

x

 

B e :

 

 

 

 

B

 

1

,

1

.

(33)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

l

 

 

E E B e

 

e ,

(34)

U

E .

:

 

 

 

 

 

 

Fi

S , Fj S ,

(35)

S .

(34) (35)

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

B e

U

.

 

F S

1

 

ES

1

 

(36)

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(36)

 

 

e

 

e

 

e ,

(37)

K

U

F

27

 

 

 

https://new.guap.ru/i04/contacts

K e

, 2 2:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K ii

K ij

 

ES

1 1

 

 

 

K

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

(38)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

K

ji

K

jj e

 

l

1 1

 

 

(37) . -

 

x

:

 

 

 

 

1 (x j xi ) / l, 2 ( y j yi ) / l ,

(39)

xi , x j , yi , y j

i,

j .

 

x

,

 

 

 

 

ui uix 1 uiy 2 ,

u

j

u jx 1 u jy 2 .

(40)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

e U e ,

 

(41)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

1 2

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e 0

0

 

 

 

.

 

 

 

1

2

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

U Te F e .

 

(42)

 

 

 

 

 

U

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

e

 

 

 

 

 

 

 

(41) (42),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U Te eT

 

e U Te F e ,

 

(43)

 

 

 

 

F

 

, U e

, -

 

 

F e

Te

 

e .

 

(44)

 

 

F

 

(37) (41),

 

 

F

 

 

T

 

 

 

 

 

U

 

(45)

 

K

 

e ,

 

e

 

e

e

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

28

 

 

 

 

 

 

 

 

СПБГУАП

, (37):

K e U e F e , (46)

K e

4 4:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

K

ii

K

ij

 

 

 

 

K ij

K ij

 

 

 

 

 

K

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, K

 

 

 

 

1

1

 

1 2

 

. (47)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ij

 

 

K ij

K ij

 

 

 

 

e

 

e e

 

 

e

 

K ji

K jj

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

2 2

 

, (47)

.

, -

P .

( . 1.5), N=2n

:

m F

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

ix

 

 

ix

0,

i 1, 2,..., n .

(48)

F

P

e 1 iy

e

 

iy

 

 

 

 

 

 

2

Fiy

2

 

Fiy3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fix3

 

 

 

Fix1 Fix1 i

Piy Fix4

Fix4

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fiy3

 

Fix3 Pix

 

 

4

 

1

 

 

 

 

 

 

 

Fiy2

. 1.5

 

(46)

 

K U P ,

(49)

K ( ) .

-

,

:

29

https://new.guap.ru/i04/contacts

 

m

 

 

 

 

 

(50)

Kij

Kij

e , i, j 1, 2,..., n .

 

e 1

 

 

 

 

i, j -

Kij e

m .

 

-

, K -

. -

K e

-

N N.

-

K -

(Ksq )e

m

 

Ksq (Ksq )e , s, q 1,2,..., N .

(51)

e 1

(Ksq )e

q, s m .

(49)

U . -

– .

. 1.5.

U , (49),

.

(49), . -

-

N

 

Ps Ksquq .

(52)

q 1

30

СПБГУАП

U -

U e (41) -

U e . ( ) -

l u j ui , (32), (34) (35)

, .

, -

,

. -

x, y, z -

-

. (41)-(47) -

( -

):

e

1

2

3

0 0 0

 

 

0

0

0

 

 

 

 

,

(53)

 

 

 

 

1

2 3

 

 

 

1 (xJ xi ) / l, 2 ( y j yi ) / l,

3 (z j

zi ) / l .

 

, , -

,

.

. i -

3 : uix , uiy , uiz . -

n 3n

, ,

N=3n.

31

https://new.guap.ru/i04/contacts

1.9.

h, -

, -

( . 1.6).

,

x, y.

x , y , xy ,

z

yz

 

zx 0 .

x

, y , xy

z

 

 

 

x y ,

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

j

 

 

qy

q

 

 

 

 

 

 

Psy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

qx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

gy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

gx

 

 

 

 

 

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Psx

uky

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

ukx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

. 1.6

-

, , , .

m ,

n ( .

. 1.6). , -

32

СПБГУАП

, -

qx , qy

, q qx , -

 

e

qy e

g x , g y

, g gx .

 

e

g y e

-

. ( ) -

Pi :

 

 

 

 

 

 

P1

 

 

 

 

 

...

 

 

 

Pix

 

 

 

 

Pi

 

P Pi

 

, Pi

P .

(54)

...

 

 

 

iy

 

 

 

 

 

 

 

Pn

, ( )

 

U1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

...

 

,

U

 

U

 

uix .

(55)

U

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

i

 

i

u

 

 

...

 

 

 

 

 

 

iy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Un

-

.

. 1.7. x, y.

33

https://new.guap.ru/i04/contacts

 

Fjy

y

 

 

ujy

 

 

 

ujx

Fjx

 

 

j

 

 

 

 

 

x

Ve

 

qy

 

 

 

 

 

 

 

qx

Fiy

 

gy

 

 

uiy

 

 

 

 

 

Fky

 

gx

 

 

 

 

i

uix

Fix

uky

 

 

 

 

k

ukx Fkx

. 1.7

:

 

Ui

 

 

 

Fi

 

 

 

j

F

j

(56)

U

U

,

 

 

F

,

e

U

 

 

 

 

e

F

 

 

 

 

k e

 

 

 

k e

 

U

j

U

u jx

, F

 

 

F

 

Fjx .

 

j

 

j

 

 

j

 

 

 

 

u jy

 

 

 

 

 

Fjy

x, y -

:

ux x, y

 

U (x, y) uy x, y

.

(57)

 

 

 

-

ux x, y 1 2 x 3 y, uy x, y 4 5 x 6 y .

(58)

34

СПБГУАП

(58) -

, 6 :

uix 1 2 xi 3 yi ,

 

 

4 5 xi 6 yi ,

 

uiy

(59)

..................................

 

 

 

 

4 5 xk 6 yk .

 

uky

 

(59) 1 6 . -

(58), , -

-

:

 

 

 

U (x, y) e N(x, y) e U e ,

 

 

(60)

 

 

 

 

 

 

 

 

;

N (x, y) e INi IN j

INk e

 

 

1

0

 

 

 

1

 

 

 

I I

 

 

; Ni

 

 

 

(ai bi x ci y) -

2 e

 

 

0

1

 

 

 

 

 

 

; ai x j yk xk y j ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

xi

yi

 

b y

j

y

,

c x

x

j

,

 

 

 

 

1

x

 

y

 

 

e

 

j

j

i

k

 

i k

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

x

 

y

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

i jk . N j , Nk -

, -

i, j, k . Ni (x, y)

i ,

N j (x, y) Nk (x, y). -

, -

.

-

(60) :

35

https://new.guap.ru/i04/contacts

 

x

 

 

ux / x

 

 

 

 

 

 

uy / y

 

(61)

y

 

 

.

e

 

 

 

/ y uy

 

 

 

xy e

ux

/ x

 

(61) (60),

 

 

 

 

e B e U e ,

 

(62)

B e , :

 

1

 

bi

0 | bj

0 | bk

0

 

1

 

 

 

 

B

 

 

0

ci

|

0

c j

|

0

ck

 

 

 

Bi B j Bk

 

. (63)

2

 

 

 

2

 

e

 

 

 

|

c

 

b

 

|

c

b

 

 

 

 

 

 

 

e c b

j

j

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

i

i

 

 

 

 

 

k

k

 

 

 

 

 

 

 

:

x

e y D e e D e B e U e , (64)

xy e

D e :

 

E

1

 

0

 

 

 

D

 

1

0

 

,

(65)

 

 

e

1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

e

 

 

E – ; – .

-

-

. , D e B e -

. ,

.

-

, [1, 7], -

-

36

СПБГУАП

,

, ,

.

-

– ,

, -

, :

 

 

U1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

...

 

 

,

U

 

U

 

 

uix .

(66)

 

U

i

 

i

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

uiy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Un

:

 

U

i

 

 

ui, j,k x

 

 

 

 

,

(67)

U Uj

Ui,j,k Ui, j ,k

.

e

 

 

 

 

ui, j ,k y

 

 

Uk e

 

 

 

 

-

-

:

U (x, y) e N(x, y) e U e .

(68)

(62) :

 

x

 

 

 

 

y

 

B U

.

(69)

e

 

 

e

e

 

 

xy e

 

 

 

,

, [1]:

37

https://new.guap.ru/i04/contacts

T

m

T

m

T

g e dV

U P

e e

dV U (x, y) e

 

e 1 V

 

e 1 V

 

(70)

 

e

 

e

 

 

 

 

 

m

U (x, y) Te q e dS 0,

e 1 Se

Ve eh ,

e ; Se , -

,

.

V

Ve . -

, -

, -

,

.

(70) –

,

, -

, – -

– -

.

(64)-(69) (70)

T

U P

m

U

e 1

m

U

e 1

 

m

 

 

T

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

 

B

D

e

B

e

dV

U

 

 

 

e

 

e

 

 

 

e

 

e 1

 

 

 

Ve

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N (x, y)

g dV

 

 

 

 

e

 

 

 

e

 

e

 

 

 

 

 

 

Ve

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N (x, y)

q dS 0.

 

 

 

e

 

 

 

e

 

e

 

 

 

 

 

 

 

Se

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(71)

(71)

38

K e

B Te D e B e dV ,

СПБГУАП

(72)

 

 

Ve

 

U T K

U -

e

e

e

 

.

-

B e ,

K e B Te D e B e Ve .

(73)

(71) -

, -

, :

P eg N (x, y) Te g e dV .

(74)

Ve

 

(74)

g e Ve ( . . 1.7)

 

 

P g

 

 

 

 

g

x

 

 

 

 

 

ix

 

 

 

 

g

 

 

 

 

P g

 

 

y

 

 

 

 

iy

 

 

 

 

 

 

 

 

Pg

 

 

 

 

 

 

 

Pjx g

 

 

1

 

gx

 

 

g

i g

 

 

 

 

 

 

P

Pj

 

P g

 

 

 

Ve

g y

.

(75)

3

e

P g

 

 

 

 

 

 

 

jy

 

 

 

 

 

 

k e

 

 

 

 

 

 

 

 

P g

 

 

 

 

gx

 

 

 

 

 

kx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P g

 

 

 

 

g

y

 

 

 

 

 

ky

e

 

 

 

 

 

 

-

.

(71) -

, -

,

Se:

39