Механика
.pdfhttps://new.guap.ru/i04/contacts
.
, -
-
[5, 7].
, (20), -
– .
–
( ) , -
.
–
– -
(21), (22) .
.
-
. -
.
1.6.
(18),
,
, , -
( ).
,
, K , -
, –
U . -
(21) , ,
, . -
T .
20
СПБГУАП
(18) (21) K :
, , , . [2].
: [1, 2, 5, 6].
(« ») -
, -
. -
: , -
, , , -
.
, -
.
, -
.
, ,
,
.
(20) -
(22) -
[5]. -
.
,
.
.
, -
– , , -
.
.
-
21
https://new.guap.ru/i04/contacts
( , ,
.) .
,
-
. -
[5]. -
-
, . -
, -
.
1.7.
-
U -
U e . -
.
U e
(14) F e , -
, . -
,
,
.
-
-
, ,
. -
-
. -
22
СПБГУАП
. -
. , -
-
, , . -
[8, 9].
(18), , . -
,
:
N |
|
Ps Ksquq Psg Psq . |
(23) |
q 1
( , , -
) .
, -
, ,
. -
.
-
,
.
-
. -
. -
.
23
https://new.guap.ru/i04/contacts
1.8.
-
, .
, -
. -
, , , -
.
, n m ,
( . 1.3). -
; -
, .
y |
ujy |
j |
|
ujx |
|
|
|
|
|
e |
h |
|
|
|
Piy |
|
|
i |
Pix |
x |
a |
b |
a |
. 1.3
-
. ,
– . -
, .
( ) . 1.4.
( ) x, y .
) x, y -
i.
24
СПБГУАП
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
j |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ujy |
|
|
|
x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ujx |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Fiy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Fi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
Fix |
|
|
|
|
x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 1.4
, -
:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
i |
|
|
|
F |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
U |
|
|
|
, F |
|
i |
. |
(24) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
e |
|
u |
j e |
|
|
e |
Fj e |
|
, -
, , -
.
|
|
uix |
|
|
|
|
Fix |
|
|
||||
|
|
|
u |
iy |
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
Ui |
|
|
|
|
|
F i |
|
iy |
|
|
||
U |
|
|
|
|
, |
F |
|
|
|
|
(25) |
||
|
|
|
. |
||||||||||
e |
Uj e |
|
u |
|
|
|
e |
Fj e |
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
jx |
|
|
|
|
|
|
jx |
|
|
|
|
u jy |
e |
|
|
|
Fjy |
e |
|
:
25
https://new.guap.ru/i04/contacts
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U1 |
P1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U Ui |
|
, P P i |
, |
(26) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.... |
|
.... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Un |
P |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
U |
|
U |
|
uix |
, P |
|
|
P |
Pix . |
|
|
|||
|
i |
|
i |
u |
i |
|
i |
|
P |
|
|
|
||
|
|
|
|
iy |
|
|
|
|
|
|
iy |
|
|
U P (26) -
. -
-
.
: «ix»
« 2i 1», «iy» « 2i ».
, -
,
u1 |
u1 |
|
P1 |
Pi |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
u |
|
|
|
u |
|
|
P |
|
P |
|
(27) |
|||||
U |
|
2i 1 |
|
|
|
q 1 |
, |
P |
2i 1 |
|
s 1 |
, |
||||
|
u |
2i |
|
|
u |
q |
|
|
P |
|
|
P |
|
|
||
|
|
|
|
2i |
s |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u2n |
uN |
|
|
P2n |
PN |
|
q, s – -
; N -
.
( ). -
x :
u |
( |
x |
) 1 2 |
x |
. |
(28) |
(28) i, j:
26
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СПБГУАП |
|
ui 1 2 |
xi , |
u |
j 1 2 |
x |
j . |
(29) |
||||
1, 2 (29) (28), |
|||||||||||
u |
(x) N ( |
x |
) e U |
e Ni , N j e U |
e , |
(30) |
Ni (x j x ) / l, N j (x xi ) / l -
( . . 1.4); l – .
Ni , N j |
- |
|||||||||||||||||||
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ni N j 1, Ni ( |
x |
j ) N j ( |
xi ) 0, Ni ( |
xi ) N j ( |
x |
j ) 1. |
(31) |
|||||||||||||
|
||||||||||||||||||||
(30), |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
du |
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
B |
e U e . |
(32) |
||||||||||||||||
|
d |
x |
|
|||||||||||||||||
B e : |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
B |
|
1 |
, |
1 |
. |
(33) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
l |
|
||||||||||
|
||||||||||||||||||||
E E B e |
|
e , |
(34) |
|||||||||||||||||
U |
E .
:
|
|
|
|
|
|
Fi |
S , Fj S , |
(35) |
S .
(34) (35)
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
B e |
U |
. |
|
|||||||
F S |
1 |
|
ES |
1 |
|
(36) |
|||||||
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(36)
|
|
e |
|
e |
|
e , |
(37) |
K |
U |
F |
|||||
27 |
|
|
|
https://new.guap.ru/i04/contacts
K e
, 2 2:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K ii |
K ij |
|
ES |
1 1 |
|
|||||||||||||||
|
|
K |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(38) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
e |
|
|
K |
ji |
K |
jj e |
|
l |
1 1 |
|
|
|||||||||||||
(37) . - |
||||||||||||||||||||||||||
|
x |
: |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 (x j xi ) / l, 2 ( y j yi ) / l , |
(39) |
||||||||||||||||||||||
xi , x j , yi , y j |
i, |
j . |
||||||||||||||||||||||||
|
x |
, |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
ui uix 1 uiy 2 , |
u |
j |
u jx 1 u jy 2 . |
(40) |
|||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
e U e , |
|
(41) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
||||||||||||||||
1 2 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
e 0 |
0 |
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||
|
|
1 |
2 |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
U Te F e . |
|
(42) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
U |
F |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(41) (42), |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
U Te eT |
|
e U Te F e , |
|
(43) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
F |
|
, U e
, -
|
|
F e |
Te |
|
e . |
|
(44) |
||||||
|
|
F |
|
||||||||||
(37) (41), |
|||||||||||||
|
|
||||||||||||
F |
|
|
T |
|
|
|
|
|
U |
|
(45) |
||
|
K |
|
e , |
||||||||||
|
e |
|
e |
e |
|
|
|
e |
|
|
|||
|
|
|
|
28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
СПБГУАП
, (37):
K e U e F e , (46)
K e
4 4:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
K |
ii |
K |
ij |
|
|
|
|
K ij |
K ij |
|
|||||
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, K |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 2 |
|
. (47) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ij |
|
|
K ij |
K ij |
|
|
|||||
|
|
e |
|
e e |
|
|
e |
|
K ji |
K jj |
e |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
2 2 |
|
, (47)
.
, -
P .
( . 1.5), N=2n
:
m F |
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
||
|
ix |
|
|
ix |
0, |
i 1, 2,..., n . |
(48) |
||||
F |
P |
||||||||||
e 1 iy |
e |
|
iy |
|
|
|
|
|
|
||
2 |
Fiy |
2 |
|
Fiy3 |
|
3 |
|
||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fix3 |
|
|
|
|
Fix1 Fix1 i |
Piy Fix4 |
Fix4 |
|
|
|
x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Fiy3 |
|
Fix3 Pix |
|
|
4 |
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Fiy2
. 1.5 |
|
(46) |
|
K U P , |
(49) |
K ( ) .
-
,
:
29
https://new.guap.ru/i04/contacts
|
m |
|
|
|
|
|
(50) |
Kij |
Kij |
e , i, j 1, 2,..., n . |
|
|
e 1 |
|
|
|
|
i, j - |
|
Kij e |
|||
m . |
|
||
- |
|||
, K - |
. -
K e
-
N N.
-
K -
(Ksq )e
m |
|
Ksq (Ksq )e , s, q 1,2,..., N . |
(51) |
e 1
(Ksq )e
q, s m .
(49)
U . -
– .
. 1.5.
U , (49),
.
(49), . -
-
N |
|
Ps Ksquq . |
(52) |
q 1
30
СПБГУАП
U -
U e (41) -
U e . ( ) -
l u j ui , (32), (34) (35)
, .
, -
,
. -
x, y, z -
-
. (41)-(47) -
( -
):
e |
1 |
2 |
3 |
0 0 0 |
|
|
|||
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
, |
(53) |
|
|
|
|
|
1 |
2 3 |
|
|
|
|
1 (xJ xi ) / l, 2 ( y j yi ) / l, |
3 (z j |
zi ) / l . |
|
, , -
,
.
. i -
3 : uix , uiy , uiz . -
n 3n
, ,
N=3n.
31
https://new.guap.ru/i04/contacts
1.9.
h, -
, -
( . 1.6).
,
x, y.
x , y , xy , |
z |
yz |
|
zx 0 . |
|||||||||||
x |
, y , xy |
z |
|
|
|
x y , |
|||||||||
1 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
– . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
|
|
|
j |
|
|
qy |
q |
|
|
|
|
|
|
|
Psy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
qx |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
gy |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
gx |
|
|
|
|
|
|
|
|||
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Psx |
uky |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
k |
|
|
|
ukx |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x
. 1.6
-
, , , .
m ,
n ( .
. 1.6). , -
32
СПБГУАП
, -
qx , qy |
, q qx , - |
|
|
e |
qy e |
g x , g y |
, g gx . |
|
|
e |
g y e |
-
. ( ) -
Pi :
|
|
|
|
|
|
P1 |
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
Pix |
|
|
|
|
Pi |
|
|
P Pi |
|
, Pi |
P . |
(54) |
|
... |
|
|
|
iy |
|
|
|
|
|
|
|
Pn
, ( )
|
U1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
... |
|
, |
U |
|
U |
|
uix . |
(55) |
|
U |
|
|
|
|
||||||
|
|
i |
|
|
|
i |
|
i |
u |
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
iy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Un
-
.
. 1.7. x, y.
33
https://new.guap.ru/i04/contacts
|
Fjy |
y |
|
|
ujy |
|
|
|
|
ujx |
Fjx |
|
|
|
j |
|
|
||
|
|
|
x |
|
Ve |
|
qy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qx |
Fiy |
|
gy |
|
|
uiy |
|
|
|
|
|
|
Fky |
|
gx |
|
|
|
|
i |
uix |
Fix |
uky |
|
|
|
|
k
ukx Fkx
. 1.7
:
|
Ui |
|
|
|
Fi |
|
|||
|
|
j |
F |
j |
(56) |
||||
U |
U |
, |
|
|
F |
, |
|||
e |
U |
|
|
|
|
e |
F |
|
|
|
|
k e |
|
|
|
k e |
|
U |
j |
U |
u jx |
, F |
|
|
F |
|
Fjx . |
|
j |
|
j |
|
|
j |
|
||
|
|
|
u jy |
|
|
|
|
|
Fjy |
x, y -
:
ux x, y |
|
|
U (x, y) uy x, y |
. |
(57) |
|
|
|
-
ux x, y 1 2 x 3 y, uy x, y 4 5 x 6 y . |
(58) |
34
СПБГУАП
(58) -
, 6 :
uix 1 2 xi 3 yi , |
|
|
|
4 5 xi 6 yi , |
|
uiy |
(59) |
|
.................................. |
||
|
|
|
|
4 5 xk 6 yk . |
|
uky |
|
(59) 1 6 . -
(58), , -
-
:
|
|
|
U (x, y) e N(x, y) e U e , |
|
|
(60) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
N (x, y) e INi IN j |
INk e |
|
|||||||
|
1 |
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
I I |
|
|
; Ni |
|
|
|
(ai bi x ci y) - |
||
2 e |
|
||||||||
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
; ai x j yk xk y j ,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
xi |
yi |
|
||
b y |
j |
y |
, |
c x |
x |
j |
, |
|
|
|
|
1 |
x |
|
y |
|
|
|
e |
|
j |
j |
|||||||||||||||
i |
k |
|
i k |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
y |
k |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
i jk . N j , Nk -
, -
i, j, k . Ni (x, y)
i ,
N j (x, y) Nk (x, y). -
, -
.
-
(60) :
35
https://new.guap.ru/i04/contacts
|
x |
|
|
ux / x |
|
|
|
|
|
|
uy / y |
|
(61) |
y |
|
|
. |
|||
e |
|
|
|
/ y uy |
|
|
|
xy e |
ux |
/ x |
|
||
(61) (60), |
|
|
||||
|
|
e B e U e , |
|
(62) |
B e , :
|
1 |
|
bi |
0 | bj |
0 | bk |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||
B |
|
|
0 |
ci |
| |
0 |
c j |
| |
0 |
ck |
|
|
|
Bi B j Bk |
|
. (63) |
|||||
2 |
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||
e |
|
|
|
| |
c |
|
b |
|
| |
c |
b |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
e c b |
j |
j |
|
|
|
e |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
i |
i |
|
|
|
|
|
k |
k |
|
|
|
|
|
|
|
:
x
e y D e e D e B e U e , (64)
xy e
D e :
|
E |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
D |
|
1 |
0 |
|
, |
(65) |
||
|
|
|||||||
e |
1 2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
||
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
e |
|
|
E – ; – .
-
-
. , D e B e -
. ,
.
-
, [1, 7], -
-
36
СПБГУАП
,
, ,
.
-
– ,
, -
, :
|
|
U1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
... |
|
|
, |
U |
|
U |
|
|
uix . |
(66) |
|
U |
i |
|
i |
i |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
uiy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Un
:
|
U |
i |
|
|
ui, j,k x |
|
|
|
|
|
, |
(67) |
|||
U Uj |
Ui,j,k Ui, j ,k |
. |
|||||
e |
|
|
|
|
ui, j ,k y |
|
|
|
Uk e |
|
|
|
|
-
-
:
U (x, y) e N(x, y) e U e . |
(68) |
(62) :
|
x |
|
|
|
|
y |
|
B U |
. |
(69) |
|
e |
|
|
e |
e |
|
|
xy e |
|
|
|
,
, [1]:
37
https://new.guap.ru/i04/contacts
T |
m |
T |
m |
T |
g e dV |
U P |
e e |
dV U (x, y) e |
|||
|
e 1 V |
|
e 1 V |
|
(70) |
|
e |
|
e |
|
|
|
|
|
|
m
U (x, y) Te q e dS 0,
e 1 Se
Ve eh ,
e ; Se , -
,
.
V
Ve . -
, -
, -
,
.
(70) –
,
, -
, – -
– -
.
(64)-(69) (70)
T
U P
m
U
e 1
m
U
e 1
|
m |
|
|
T |
|
T |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
U |
|
|
B |
D |
e |
B |
e |
dV |
U |
||
|
|
|
e |
|
e |
|
|
|
e |
|||||
|
e 1 |
|
|
|
Ve |
|
|
|
|
|
|
|||
T |
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N (x, y) |
g dV |
|
|
|
|
|||||||
e |
|
|
|
e |
|
e |
|
|
|
|
|
|
||
Ve |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N (x, y) |
q dS 0. |
|
|
|
||||||||
e |
|
|
|
e |
|
e |
|
|
|
|
|
|
||
|
Se |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(71)
(71)
38
K e |
B Te D e B e dV , |
СПБГУАП |
|
(72) |
|||
|
|
Ve |
|
U T K |
U - |
||
e |
e |
e |
|
.
-
B e ,
K e B Te D e B e Ve . |
(73) |
(71) -
, -
, :
P eg N (x, y) Te g e dV . |
(74) |
Ve |
|
(74)
g e Ve ( . . 1.7)
|
|
P g |
|
|
|
|
g |
x |
|
|
||
|
|
|
ix |
|
|
|
|
g |
|
|
||
|
|
P g |
|
|
y |
|
||||||
|
|
|
iy |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Pg |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Pjx g |
|
|
1 |
|
gx |
|
|
|||
g |
i g |
|
|
|
|
|
|
|||||
P |
Pj |
|
P g |
|
|
|
Ve |
g y |
. |
(75) |
||
3 |
||||||||||||
e |
P g |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
jy |
|
|
|
|
|
||||||
|
k e |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
P g |
|
|
|
|
gx |
|
|
||
|
|
|
kx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P g |
|
|
|
|
g |
y |
|
|
|
|
|
|
ky |
e |
|
|
|
|
|
|
-
.
(71) -
, -
,
Se:
39