Добавил:

Rumpelstilzchen Rumpelstilzchen2018@yandex.ru Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

Линейная алгебра

Файл:

Лекция 16

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.06.2020

Размер:

955.33 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Обобщение и систематизация материала по курсу

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Пример 1. Найти тип и каноническое уравнение кривой второго порядка

16x2 9 y2 24xy 130x 90 y 125 0

Решение. Рассмотрим уравнение кривой:

16x2 9 y2 24xy 130x 90 y 125 0

квадратичная часть
Выпишем матрицу квадратичной части:
Матрица квадратичной формы:	16	12
Матрица квадратичной формы:	A
		9
	12	9

Найдем корни характеристического уравнения														Ae E		0 .
Найдем корни характеристического уравнения														Ae E		0 .
	Ae E					12		2				25)		1		0	-	собственные
			16
			16
					9			25 (						0
значения.				12	9									2		25
значения.
Найдем собственный вектор, относящийся к собственному значению 1 0 :
16 12		x				0	,	16 12			4 3
							,
											0 0
12 9		y				0		12 9			0 0
Решением			являются				векторы		U		С	3	,	C 0	, базисом			пространства
Решением			являются				векторы		U	1	С		,	C 0	, базисом			пространства
										1	1			1
												4

решений является вектор u1 (3; 4)T . Нормируем его: h1 (53 ; 54)

Найдем собственный вектор, относящийся к собственному значению 2 25 :

9		12	x	0	3		4	3		4
					,
	12	16		0		3	4		0	0
			y

Решением являются векторы	U		С		4	,	C			0	,		базисом пространства
Решением являются векторы	U	2	С	2		,	C		2	0	,		базисом пространства
		2		2	3				2
					3
решений является вектор u2 (4;3)T .	Нормируем его:							h2 (				4	;	3	)
решений является вектор u2 (4;3)T .	Нормируем его:							h2 (				5	;	5	)
												5		5

H {h1, h2} - собственный ортонормированный базис.

	Перейдем к новым координатам (x', y') с помощью матрицы перехода от
исходного ортонормированного базиса {i, j} к собственному ортонормированному
базису {h1, h2}
				3		4
				5		5
	U			5		5				- матрица перехода
					4	3
				5
				5		5
																3	4
													x		x'	5	5	x'
													x		x'			x'
														U
	Искомое преобразование y														y'	4	3	y' .
																5
																5	5
	Выпишем преобразование координат:
			3			4
	x	5 x' 5					y' x'cos					y'sin
				4			3
				4		x'	3		y' x'sin y'cos

	y
				5			5
	Данное преобразование соответствуют повороту системы координат на угол																		:
	4		5		4
tg					4
tg	3					3		по часовой стрелке: по y 4 единицы, по x - 3 единицы
	3	5				3
		5
										y
											4				y'
															y'
											3		4
						-					2		3
						3					2		3
						-							2
						-							2
						2					1
								-			1	1
								-
								1							x
								-							x
				-3		-2		-			0	1	2	3	4
								1			0
								-			0
						-
						2					1
				-							1
				-						-1
					3							2
			-							-2		2
			-
	-		4
	-											3
	5									-3		3
	5
													4
													4
										-4				x'
										-5
	Перейдем к новым координатам, подставив x' и y' в уравнение кривой:

	3x' 4 y' 2		3y' 4x' 2		3x' 4 y'	3y' 4x'		3x' 4 y'		3y' 4x'
16		9		24			130		90		125	0

	5		5		5	5		5		5

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

1625 9x'2 24x' y' 16y'2 2425 12x'2 4x' y' 12y'2 259 16x'2 24x' y' 16y'21305 3x' 4 y' 905 3y' 4 y' 125 0

25y'2 150x' 50y' 125 0 y'2 6x' 2 y' 5 0

Выделим полный квадрат по переменной y'. ( y'2 2 y' 1) 1 5 6x' 0

( y' 1)2 6(x' 1)

X x' 1 Преобразование параллельного переноса запишется в виде

Y y' 1

Получаем каноническое уравнение параболы Y 2 6X

												y'
							4							Y
							4
							3	4
							2			3
							1			3
								2														x'
								2
								1
-5 -4 -3 -2 -1							-1	0 1 2										3		4			X

	-5 -4 -3				-2									0 1				2 3 4
	-5 -4 -3				-2		-1		-1					0 1				2 3 4
							-2
							-2
							-3	-2
							-3	-2
							-4	-3
							-4	-3
							-5				-4
							-5				-4
								-5
	3			4				3								4				1
x		( X 1)			(Y 1)									X			Y
x	5	( X 1)		5	(Y 1)								5	X		5	Y			5
	4				3									4				3			7
	4				3									4				3			7

y			( X 1)			(Y 1)									X				Y
	5				5									5				5			5
Новый центр системы координат																						).
Новый центр системы координат																						).

2 A

					y
-					4
-
5
-					3					y
4					3				4	y
-	-									'
-					2
5								3
5	3							3
-	3
-	-							2
4	-							2	4	Y
4	2				1				4	Y
-			-		1		1	3
-
3
3			1							x
			1
	-						2
	2		-
			1 0
-3	--					01			3	4
-3	--						1	2		4
	-2		-				1	2
	21				1
-					1
-		-			-1
3		-
-			1				2
-				0			2
4 -					-2
-	2				-2
-					1		3
5 -							3
3					-3
-					-3	2		4
-								4
4
-					-4		3		x
5					-4		3		x
									'
					-5			4
					-5				X
									X

Пример 2. Найти тип и каноническое уравнение кривой второго порядка

2x2 2 y2 4xy 8x 8y 1 0

Решение. Рассмотрим уравнение кривой: 2x2 2 y 2 4xy 8x 8y 1 0

квадратичная часть

Выпишем матрицу квадратичной части:

Матрица квадратичной формы:

Найдем корни характеристического уравнения Ae E 0 .

	2	2	( 2)2 4 ( 4) 0	1	0
A E						- собственные

e	2
		2		2	4

значения.

Найдем собственный вектор, относящийся к собственному значению 1 0 :

2		2	x	0	2		2	2		2
					,
	2	2		0		2	2		0	0
			y

Решением			являются		векторы			U					С		1		,	C	0 ,				базисом									пространства
Решением			являются		векторы			U		1			С				,	C	0 ,				базисом									пространства
										1				1				1
															1
решений является вектор u1 (1;1)T .							Нормируем его:											h1		(	1				;		1			)

																						2
																						2		2
Найдем собственный вектор, относящийся к собственному значению 2 4 :
2	2	x		0		2	2					1				1
						,
	2						2						0			0
2	2	y		0		2	2						0			0
Решением		являются			векторы		U				С					1		C		0	,			базисом								пространства
Решением		являются			векторы		U		2		С			2			,	C	2	0	,			базисом								пространства
									2					2		1			2
																1
решений является вектор u2 ( 1;1)T .								Нормируем его:											h2 (							1		;	1		)

																													2
																								2					2

H {h1, h2} - собственный ортонормированный базис.

Перейдем к новым координатам (x', y') с помощью матрицы перехода от исходного ортонормированного базиса {i, j} к собственному ортонормированному

базису {h1, h2}

	1		1


	2	2
U	2	2		- матрица перехода
	1	1


	2	2
	2	2

		1
x	x'


		2
	U	2
Искомое преобразование		1
y	y'	1
y	y'
		2
		2

Выпишем преобразование координат:

1
	x'


2
2
1		.
1	y'
	y'
2
2

	1		1
x		x'			y' x'cos y'sin

	2		2
	1			1
y		x'			y' x'sin y'cos


	2		2

Данное преобразование соответствуют повороту системы координат на угол :

tg 1 против часовой стрелки на угол 4

'
y								'
			3					x
4			3					4
4			2
	3
							3

	2		1
	2	1	1			2
						2		x
					1
					1
-3 -2 -1				0				3 4
-3 -2 -1				0	1 2			3 4
			-11	1
		2	-	-	2
					2
			-2		-
	3	-	-2			3
	-		-3			-	4
	4		-3				4
	4						-
5	-							5
5			-4					5
-			-4					-
			-5

Перейдем к новым координатам, подставив x' и y' в уравнение кривой:

2	x' y' 2	2	x' y' 2	x' y x' y'			8	x' y'	8	x' y' 1
				4							0
2		2

					2	2	2		2

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

x'2 2x' y' y'2 x'2 2x' y' y'2 2 x'2 y'2	16	y' 1 0


2

4 y'2 16 y' 1 0

4( y'2 4 y' 2) 8 1 0

( y' 2)2 74

X x'

Преобразование параллельного переноса запишется в виде

Y y' 2

Получаем каноническое уравнение вырожденной параболы	Y 2	7	или пару
		4

параллельных прямых

	2	7
y'	2	2
		2
	2	7
y'	2
		2
					'
					y																'
												3									x
					4							3							4			X
					4							2										X
						3
																	3

						4		2				1										4
								2				1		2								4
								3		1				2						3		x
										1				1						3
										2			0	1				2
					-3 -2 -1													2

												10 1 2 3 4
											-11		1	0	1
											-11		1	0
										2	-		-	2
														2
											-2		1	-
									-		-2		1	-1
								3					-		3
							-					2		-		2
						4					--3				-			4
						4											-
						-				3								3
					5					-	-4							-		5
					-			4			-4								-		4
						5		-												-		5
						5					-5											5
						-					-5											-
		1	X	1	(Y		2)			1		X		1	Y		1
	x		X		(Y		2)					X			Y		1
		2		2							2			2
		1 X		1 (Y			2) 1 X							1 Y 1
	y	1 X		1 (Y			2) 1 X							1 Y 1
		2		2							2			2
		2		2							2			2
	Новый центр системы координат																	).
	Пример 3.			В	базисе			{e} пространства										E2				скалярное		произведение задано
матрицей Грама			3	1
матрицей Грама		Г			.

			1		4
	Найти скалярное произведение векторов x = (–3, 1)																						и y = (2, –1). Найти модули
векторов x и y.

Решение.

(x, y) X T ГY = ( 3	3		1	2	=-27
(x, y) X T ГY = ( 3	1)				=-27
		1	4
		1	4	1


	x	(x, x) ,	y	( y, y)			1			3
	x	(x, x) ,	y	( y, y)
(x, x) X T ГX = ( 3						3
						3							=37	x	37
					1)								=37	x	37

						1		4			1
					3		1		2
					3		1		2			=20		y	20 2 5
( y, y) Y T ГY = (2 -1)												=20		y	20 2 5
						1
						1	4			1

Пример 4.	Пусть задан линейный оператор	ˆ
		A , действующий в каноническом
		ˆ
базисе {i , j, k}	пространства геометрических		композиция
		векторов V3 . A -
отражения относительно плоскости x = y и поворота вокруг оси Oy на			90 против
часовой стрелки.

1. Найти матрицу оператора.

	( 2; 1;3) .
2. Найти образ вектора x

3.Найти ядро и образ оператора.

4.Существует ли обратный оператор. Если да, то описать его действие.

5.Найти собственные значения и собственные векторы оператора.

Решение.

	ˆ
Пусть оператор B есть отражение относительно плоскости x = y.
	ˆ
Оператор С есть поворот вокруг оси Oy на 90 против часовой стрелки.
	ˆ	ˆ ˆ
Тогда действие оператора A		СB состоит в последовательном выполнении
ˆ	ˆ
операторов B	и С соответственно.
		ˆ
В матричном виде, матрица оператора A будет равна произведению матриц
ˆ	ˆ
операторов B	и С
1. Найдем матрицу оператора		ˆ
1. Найдем матрицу оператора		B , для этого подействуем оператором на

базисные векторы.

	x		x
ˆ
B(i ) (0;1;0) ;
ˆ		ˆ
B( j) (1;0;0)		; B(k ) (0;0;1)

Составим матрицу оператора, выписав координаты образов базисных векторов по столбцам:

	0	1	0

B	1	0	0
	0	0	1
	0	0	1
	det B			0	ˆ
	det B			0	, B - невырожденный.

Найдем матрицу оператора ˆ , для этого подействуем оператором на базисные

векторы.

				ˆ

		j		C( j)
	O	y	ˆ ˆ	O	y
i			C(k)	ˆ
				C(i )

	x			z
				x
ˆ
C(i ) (0;0; 1) ;
ˆ		(0;1;0) ;	ˆ
C( j )		(0;1;0) ;	C(k ) (1;0;0)

Составим матрицу оператора, выписав координаты образов базисных векторов по столбцам:

	0	0	1

C	0	1	0
	1	0	0
	1	0	0

	ˆ
det C 0 , C - невырожденный.
			ˆ		ˆ ˆ				A СB
Матрица оператора A				СB - матрица					A СB
0		0	1	0 1				0	0	0	1

A CB	0	1	0			1	0	0	1	0	0
	1 0		0			0	0	1	0	1 0
	1 0		0			0	0	1	0	1 0

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лекции Пронина Е.В.

#
02.06.2020741.85 Кб31Лекция 11.pdf
#
02.06.2020721.68 Кб27Лекция 12.pdf
#
02.06.2020876.21 Кб25Лекция 13.pdf
#
02.06.2020773.56 Кб24Лекция 14.pdf
#
02.06.2020848.69 Кб23Лекция 15.pdf
#
02.06.2020955.33 Кб21Лекция 16.pdf

					y
-					4
-
5
-					3					y
4					3				4	y
-	-									'
-					2
5								3
5	3							3
-	3
-	-							2
4	-							2	4	Y
4	2				1				4	Y
-			-		1		1	3
-
3
3			1							x
			1
	-						2
	2		-
			1 0
-3	--					01			3	4
-3	--						1	2		4
	-2		-				1	2
	21				1
-					1
-		-			-1
3		-
-			1				2
-				0			2
4 -					-2
-	2				-2
-					1		3
5 -							3
3					-3
-					-3	2		4
-								4
4
-					-4		3		x
5					-4		3		x
									'
					-5			4
					-5				X
									X

					y
-					4
-
5
-					3					y
4					3				4	y
-	-									'
-					2
5								3
5	3							3
-	3
-	-							2
4	-							2	4	Y
4	2				1				4	Y
-			-		1		1	3
-
3
3			1							x
			1
	-						2
	2		-
			1 0
-3	--					01			3	4
-3	--						1	2		4
	-2		-				1	2
	21				1
-					1
-		-			-1
3		-
-			1				2
-				0			2
4 -					-2
-	2				-2
-					1		3
5 -							3
3					-3
-					-3	2		4
-								4
4
-					-4		3		x
5					-4		3		x
									'
					-5			4
					-5				X
									X

					y
-					4
-
5
-					3					y
4					3				4	y
-	-									'
-					2
5								3
5	3							3
-	3
-	-							2
4	-							2	4	Y
4	2				1				4	Y
-			-		1		1	3
-
3
3			1							x
			1
	-						2
	2		-
			1 0
-3	--					01			3	4
-3	--						1	2		4
	-2		-				1	2
	21				1
-					1
-		-			-1
3		-
-			1				2
-				0			2
4 -					-2
-	2				-2
-					1		3
5 -							3
3					-3
-					-3	2		4
-								4
4
-					-4		3		x
5					-4		3		x
									'
					-5			4
					-5				X
									X