- •1.Основные виды матриц. Операции над матрицами.
- •2.Определители. Свойства определителей. Расчет определителей третьего порядка с помощью правила Сарруса, теоремы Лапласа и с помощью свойств.
- •3.Обратная матрица. Необходимые и достаточные условия существования обратной матрицы. Построение обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений и Жордана-Гаусcовских преобразований.
- •4.Системы линейных уравнений. Основные понятия и определения. Решение системы линейных уравнений с помощью метода Крамера и обратной матрицы.
- •5.Решение системы линейных уравнений с помощью метода Гаусса и Жордано-Гаусcовских преобразований.
- •6.Понятие ранга матрицы. Решение системы линейных уравнений методом Кронекера-Капелли.
- •7.Модель межотраслевого баланса Леонтьева.
- •8.Модель равновесных цен.
- •9.Определение n-мерного вектора. Линейные операции над n-мерными векторами и их свойства. Скалярное произведение векторов. Векторное произведение. Смешанное произведение векторов.
- •10.Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов. Базис системы векторов. Единственность разложения вектора по базису. Алгоритм нахождения базиса.
- •11.Математическая модель. Основные составляющие математической модели. Примеры математических моделей. Переход к канонической форме.
- •13.Основные положения симплекс-метода.
- •14.Приведение задач линейного программирования к каноническому виду. Алгоритм решения задачи симплекс-методом. Правило допустимости и правило оптимальности решения.
- •Алгоритм симплекс метода
- •15.Метод искусственного базиса. Алгоритм решения и основные теоремы.
- •16.Транспортная задача лп (формулировка и математическая модель). Необходимое и достаточное условие разрешимости транспортной задачи.
- •17.Понятие опорного решения транспортной задачи. Метод минимальной стоимости. Виды циклов. Метод вычеркивания. Переход от одного опорного решения к другому.
- •18.Метод потенциалов. Алгоритм решения транспортных задач методом потенциалов.
-
Основные виды матриц. Операции над матрицами.
-
Определители. Свойства определителей. Расчет определителей третьего порядка с помощью правила Сарруса, теоремы Лапласа и с помощью свойств.
-
Обратная матрица. Необходимые и достаточные условия существования обратной матрицы. Построение обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений и Жордана-Гаусcовских преобразований.
-
Системы линейных уравнений. Основные понятия и определения. Решение системы линейных уравнений с помощью метода Крамера и обратной матрицы.
-
Решение системы линейных уравнений с помощью метода Гаусса и Жордано-Гаусcовских преобразований.
-
Понятие ранга матрицы. Решение системы линейных уравнений методом Кронекера-Капелли.
-
Модель межотраслевого баланса Леонтьева.
-
Модель равновесных цен.
-
Определение n-мерного вектора. Линейные операции над n-мерными векторами и их свойства. Скалярное произведение векторов. Векторное произведение. Смешанное произведение векторов.
-
Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов. Базис системы векторов. Единственность разложения вектора по базису. Алгоритм нахождения базиса.
-
Математическая модель. Основные составляющие математической модели. Примеры математических моделей. Переход к канонической форме.
-
Графический метод решения задач линейного программирования с двумя переменными (алгоритм). Основные теоремы. Возможные случаи решения задач ЛП. Условия использования и алгоритм решения задач линейного программирования с n-переменными графическим методом.
-
Основные положения симплекс-метода.
-
Приведение задач линейного программирования к каноническому виду. Алгоритм решения задачи симплекс-методом. Правило допустимости и правило оптимальности решения.
-
Метод искусственного базиса. Алгоритм решения и основные теоремы.
-
Транспортная задача ЛП (формулировка и математическая модель). Необходимое и достаточное условие разрешимости транспортной задачи.
-
Понятие опорного решения транспортной задачи. Метод минимальной стоимости. Виды циклов. Метод вычеркивания. Переход от одного опорного решения к другому.
-
Метод потенциалов. Алгоритм решения транспортных задач методом потенциалов.
1.Основные виды матриц. Операции над матрицами.
Матрица – прямоугольная таблица чисел размерностью (mxn) m-число строк матриц, n-число столбцов.
Виды:1.прямоуг. м.-м. сост. из m строк и n столбцов.
2. Строчная м.-сост. из одной строки
3.Столбцовая м.- сост. из 1-го столбца
4.Квадрат. м. – у которой m=n
5.Диагональная м.- квадр.м. все элементы, не стоящие на глав.диагонал=0
7.Нулевая – все элем=0
8.Треуголь.м.- квадр.м. все элем. расположеные по одну сторону от d=0
9.Трапец.м.-
Операции:1. Произведение мат. А на λ=const.
2. Сумма 2х мат А и В с одинак. кол. m и n= мат. С элем. которой = +элем. слагаемых А+В=С.
3.Разность так же.
4. Произведение матриц- мат. Сmxn, каждый элем. = + произвед. nA на соответ. элем. mB.(только для согласованных- когда nA=mВ)
5.Транспонирование мат.- полученная из данной заменой в каждой его строке столбцом этого же №.
2.Определители. Свойства определителей. Расчет определителей третьего порядка с помощью правила Сарруса, теоремы Лапласа и с помощью свойств.
Определитель квад.м. – число, которое обозначается detA/|A|/∆.
Св-ва: 1. ∆ не измениться при замене всех его строк соответ. столбцами (транспортирование).
2.При перестановки 2х столбцов/строк ∆ меняет знак на противополож.
3. ∆ с 2-мя одинак. столбцами/строками всегда =0
4.Множитель общий для элем. какого-то столб/строк можно выносить за знак ∆ля.
5. ∆=0, если вс элем некого столб/строк =0.
6. ∆с 2мя пропорцион. Столб/строк =0
7.если в ∆ все элем. некого столб/строки = ∑2хслагаемых, то такой ∆ = ∑2х соответ. ∆.
8. ∆ прозвед 2х квад.м. = произвед их ∆.
Теорема Лапласа и правила Сарруса »
3.Обратная матрица. Необходимые и достаточные условия существования обратной матрицы. Построение обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений и Жордана-Гаусcовских преобразований.
Обратная мат. (для квад.мат.А)- является мат. А-1,которое удовлетв. Неравенству А-1*А=А*А-1=Е-единичной мат.
Она может существ. только у квадр. мат. и обе эти мат. имеют один и тот же порядок.
Условия сущ обрат мат: 1. ∆ мат А, должен быть отличн. от 0.
2. Если ∆ мат А отличен от 0, то – это мат – невынужденнная/неособенная, в противном случае вырожденная/особенная.
3.Теорема- обрат мат А-1 сущ(и единстаенная) тогда, когда исходная мат не вырожденная.
Алгеобраические доп.
1.Вычисляем определитель матрицы А и убеждаемся, что он отличен от нуля (в противном случае матрица А необратима).
2.Строим ||Aij|| - матрицу из алгебраических дополнений элементов aij.
3.Транспонируем матрицу ||Aij||, тем самым получаем ||Aij||T.
4.Умножаем каждый элемент матрицы ||Aij||Tна число 1/|A|. Этой операцией завершается нахождение обратной матрицы A-1.
5.Проводим проверку результата, вычисляя произведения A*A-1 и A-1*A. Если A*A-1=A-1*A=E, то обратная матрица найдена верно, в противном случае где-то была допущена ошибка.
Жордана-Гаусcовские преобразование.
К прямой А прибавляем Е и посредством элементарных преобразований на месте мат А должна образоваться мат Е, а на Е ⇒ A-1.
И в конце сделать проверку. См 5