Курсовая ТОЭ 3 курс

Применим метод контурных токов.

Корни характеристического полинома – частоты собственных колебаний цепи:

Так как корни характеристического полинома равны полюсам передаточной функции – уравнения состояния цепи составлены правильно.

11

3. Проектирование ЛЦФ методом соответствия переходных характеристик

3.1. Определение частоты дискретизации

Частота дискретизации д 2 определяется с учётом четырёх критериев для максимальной частоты из учитываемых частот:

1)при использовании однопроцентного критерия ширины спектра импульсной характеристики > ∆ с = 4.64151;

2)по критерию удовлетворительного описания минимального временного интервала

переходных характеристик в дискретные моменты времени = , где = д = 0,005. Для ≥ 0 имеем

1а( ) = 0,5 − 0,5 − + 0,57734 −0,5 cos(0,86603 + 1,5708) =

=0,5 − 0,5(1 − ) + 0,57734(1 − 0,5 ) cos(0,86603 + 1,5708)

=0,5 − 0,5 ∙ 0,995 + 0,57734 ∙ 0,9975 cos(0,00433 + 1,5708) = 1д( )

Далее находим

0,5 0,51( ) = − 1 − − 0,995 +

0,00001 3 − 0,00001 2 + 0,00001 = ( − 1)( − 0,995)( 2 − 1.99498 + 0.995006).

После чего определяем ПФ ЛЦФ

12

0,00001 2 − 0,00001 + 0,00001 = 3 − 2,98998 2 + 2,98001 − 0,99003.

3.3. Построение схемы ЛЦФ

Построение схемы ЛЦФ осуществляется на основании выражения для передаточной функции дискретной системы. Схема ЛЦФ изображена на рисунке 10.

0,00001 2 − 0,00001 + 0,00001( ) = 3 − 2,98998 2 + 2,98001 − 0,99003 =

0,00001 −1 − 0,00001 −2 + 0,00001 −3 = 1 − 2,98998 −1 + 2,98001 −2 − 0,99003 −3.

Рис.10. Схема ЛЦФ.

3.4. Численный контроль переходной характеристики ЛЦФ

Осуществим контроль переходной характеристики ЛЦФ как по выражению, так и по передаточной функции.

При контроле по выражению, используем следующую формулу

1д( ) = 0,5 − 0,5 ∙ 0,995 + 0,57734 ∙ 0,9975 cos(0,00433 + 1,5708).

13

При контроле по передаточной функции используем разностное уравнение, получаемое из передаточной функции:

→ ( )(1 − 2,98998 −1 + 2,98001 −2 − 0,99003 −3) = = ( )(0,00001 −1 − 0,00001 −2 + 0,00001 −3).

Применяя обратное z-преобразование, получаем

( ) = 0,00001 ( − 1) − 0,00001 ( − 2) + 0,00001 ( − 3) +

+2,98998 ( − 1) − 2,99151 ( − 2) + 0,99003 ( − 3)

В таблице три приведены значения переходной характеристики для 30 первых точек.

Таблица 3

Как видно из таблицы 3, полученные значения практически совпадают, а, значит, найденные

нами выражения верны.

4. Проектирование ЛЦФ методом использования уравнений

состояния

4.1. Определение дискретной передаточной функции ЛЦФ, синтезированного явным

алгоритмом Эйлера

Расчёт ЛЦФ произведём явным алгоритмом Эйлера.

( ) = ( )| =( −1)⁄ =200( −1) =

0,5 = (200( − 1))3 + 2(200( − 1))2 + 2(200( − 1)) + 1 =

0.0000000625 = 3 − 2,99 2 + 2,98005 − 0,99005.

Как видно из формулы, передаточная функция ЛЦФ, синтезированного методом Эйлера,

отличается от передаточной функции, полученной из переходной характеристики.

Переходная характеристика ЛЦФ

Обратное z-преобразование суммы при наличии комплексно-сопряжённых полюсов может

быть найден следующим образом:

15

=2| 3||− + | cos(arg(− + ) + arg 3) 1( ).

Внашем случае | 3| = | 0.28868| = 0.28868, |0.9975 + 0.00433| = 0.99751, arg(0.9975 +

0.00433) = 0.00434, arg ̇3 = 1.5708.

Таким образом, переходная характеристика имеет

1( ) = (0,5 − 0,5 ∙ 0,995 + 0.57736 ∙ 0.99751 cos(0,00434 + 1.5708)) 1( ).

4.2. Построение схемы ЛЦФ, полученной на основе явного алгоритма Эйлера

Построение схемы ЛЦФ осуществляется на основании выражения для передаточной функции дискретной системы. Схема ЛЦФ изображена на рисунке 11.

0.0000000625( ) = 3 − 2,99 2 + 2,98005 − 0,99005 =

0,0000000619 −3 = 1 − 2,99 −1 + 2,98005 −2 − 0,99005 −3.

Рис.11. Схема ЛЦФ, синтезированного явным алгоритмом Эйлера.

16

4.1. Определение дискретной передаточной функции ЛЦФ, синтезированного смешанным

алгоритмом Эйлера

Расчёт ЛЦФ произведём смешанным алгоритмом Эйлера.

( ) = ( )| =( −1)⁄ =200( −1) =

0,5 = (200( − 1))3 + 2(200( − 1))2 + 2(200( − 1)) + 1 =

0.0000000625 = 3 − 2,99 2 + 2,98005 − 0,99005.

Как видно из формулы, передаточная функция ЛЦФ, синтезированного методом Эйлера,

отличается от передаточной функции, полученной из переходной характеристики.

Переходная характеристика ЛЦФ

Определим полюса звена третьего порядка

0 = 1(0) = 0.

0,0000000625

1 = lim = 0,5.→1 ( − 0,995)( − 0.9975 − 0.00433)( − 0.9975 + 0.00433)

Обратное z-преобразование суммы при наличии комплексно-сопряжённых полюсов может

быть найден следующим образом:

=2| 3||− + | cos(arg(− + ) + arg 3) 1( ).

Внашем случае | 3| = | 0.28868| = 0.28868, |0.9975 + 0.00433| = 0.99751, arg(0.9975 +

0.00433) = 0.00434, arg ̇3 = 1.5708.

Таким образом, переходная характеристика имеет

17

1( ) = (0,5 − 0,5 ∙ 0,995 + 0.57736 ∙ 0.99751 cos(0,00434 + 1.5708)) 1( ).

4.2. Построение схемы ЛЦФ, полученной на основе смешанного алгоритма Эйлера

Построение схемы ЛЦФ осуществляется на основании выражения для передаточной функции дискретной системы. Схема ЛЦФ изображена на рисунке 10.

0.0000000625( ) = 3 − 2,99 2 + 2,98005 − 0,99005 =

0,0000000625 −2 = 1 − 2,99 −1 + 2,98005 −2 − 0,99005 −3.

Рис.12. Схема ЛЦФ, синтезированного явным алгоритмом Эйлера.

18

4.5. Сравнение данных расчёта переходных характеристик ЛЦФ и фильтра-прототипа

Произведём сравнение переходных характеристик, полученных непосредственно из переходной характеристики аналогового прототипа, явного метода Эйлера и смешанного метода Эйлера. В таблице 4 показаны значения для первых 30 отсчётов переходной характеристики, а на рисунке 13 графики переходных характеристик.

Таблица 4

19

Рис. 13. Графики переходных характеристик ЛЦФ Из графиков для переходных характеристик мы видим, что переходные характеристики не

отличаются. Это значит, что методом Эйлера и методом билинейного преобразования достаточно точно можно синтезировать по прототипу ЛЦФ.

20