Шпоры по сопромату у Окопного

43.Физический смысл частного решения. Nx – погонное усилие. m = Nx/h. Расчет оболочек по безмом. теории ведут по ур-м Лапласа: _m/_m + _/_ = p/h. Для цилиндрич. оболочки _m  , _ = R; _ = pR/h. Вычисл. отн. деформ. оболоч. в окруж. направл. _ = (1 / E)(_ - _m) = pR/Eh - N_xR/Eh. Найдем радиальную деформ. оболочки: w_безм = _R = pR²/Eh - N_xR/Eh. Т. о. частн. реш. неод. ур-ия осесим. деформ. круг. цилиндр. оболоч. имеет смысл нормального прогиба оболочки, найд. по безмом. теории.

44. Типичные краевые условия. 1. Жесткое защемление: w = 0; dw/dx = 0. 2. Шарнирное операние: w = 0; d²w/dx² = 0. 3. Край нагружен моментом m и силой q. d³w/dx³ = q/D; d²w/dx² = - m / D. 4. Свободный край: d³w/dx³ = 0; d²w/dx² = 0. Вывод: на каждом краю можно поставить 2 условия. Получим 4 условия для 4 const.

45. Определение внутренних силовых факторов и напряжений. Q = D(d³w/dx³), N_x = const. N_y = Eh(e/R) + + N_x. M_x = D(d²w/dx²). M_y = M_x. _x = (E/(1 - ²))(_o + (w/R) – z(d²w/dx²)). _y = (E/(1 - ²))(_o + w/R – - z(d²w/dx²)). Знаем, что: (E/(1 - ²))(_o + (w/R)) = N_x/h; M_x = D(d²w/dx²) => (d²w/dx²) = M_x/D. (E/(1 - ²))(_o + w/R) = N_y/h; M_y = M_x => (d²w/dx²) = M_x/D. (Ez/(1-²))(M_x12(1-²)/Eh³) = - 12M_xz/h³. Тогда: _x = N_x/h – 12M_xz/h³; _y = N_x/h – 12M_yz/h³; ^max_min_x = N_x/h  6M_x/h²; ^max_min_y = N_y/h  6M_y/h². _экв  [].

46. Теория краевого эффекта. Длинную оболочку можно разделить на участки краевого эффекта и безмоментнтн. теорию. k = ⁴(3(1 - ²))/(Rh).  = /k – полуволна краев. эфф., k – волновое число. Терию надо выбирать так: h/R << 1 – безмоментн. теория, h/R ~ 1/10 теория краев. эфф. R ~ h – теория Ломе.

47. Осесимметричные задачи теории упругости. Рассм. ПСК (R, , z). Если деформ. не зависят от  и от z – плоская осесимм. задача теор. упруг. Примеры: 1. Вращ. диск. 2. Толстостен. цилиндр под давл. Гипотезы: 1. Сплошности. 2. Изотроп. и однород. 3. Деформ. малы. 4. Справедлив закон Гука.

48. Вывод ур-ия равновесия. Рассм. диск – отрезок трубы, толщиной dz. r₁, r₂ – размеры. р₁, р₂ – внутр/внеш. давл. Элемент на r от центра, размер dr. (рис. такой). По прямым граням _, по кривым r внутрь, _r + d_r – наружу. _z = _rz = _r = 0 – имеем плоск. напряж. сост. _, _r – главные напряж. Угол на элемент от центра d. Длина внутр. дуги - rd, внеш. – (r + dr)d. Имеем: - _r(rddz) + (_r + d_r)[(r + dr)ddz] - 2_drdzsin(d/2) = 0. Углы малы. Получаем d_r/dr + _r_/r = 0 (1). Рис: Элемент отдельно, без деформации расстояние до него r, размер dr, после внутр. грань сместилась на u, внешняя на u + du, размер стал dr + du.  = l / l => _r = ((dr + + du) – dr)/dr = du/dr. _ = ((u + du)d - dud)/rd = ((r + u)d - rd)/rd = u/r. Итак, _r = du/dr; _ = u/r (2). Если исключ. из соотн. (2) радиал. перемещ. u, то получим: u = _r, _r = (d/dr)(_r). Итак, (d/dr)(_r) - _r = 0.

49. Ур-ие равновесия в перемещениях, его интегрирование. Исключ. из ур-ия (1) (см ) напряж. Для этого восп. законом Гука: _r = (E/(1 - ²))(_r + _). _ = (E/(1 - ²))(_ + _r). Подставим (2) (см ). _r = (E/(1 - ²))(du/dr + u/r). _ = (E/(1 - ²))(u/r + du/dr). Это подставим в (1). Получим: d²u/dr² + (1/r)(du/dr) – (1/r²) = 0. Перепишем его в виде: (d/dr)[(1/r)(d/dr)(ur)] = 0. Решение ищем в виде: u(r) = C₁r + C₂(1/r). Краевые условия: _r_{r = r1} = - p₁; _r_{r = r2} = - p₂. Запиши напряжения через ф-ию u. Решая получ. систему отн. С₁ и С₂ получаем: С₁ = ((1 - )/E)(p₁r₁² – p²r₂²)/(r₂² – r₁²). С₂ = ((1 + )/E)(p₁ – p₂)r₁²r₂²/(r₂² – - r₁²). Итак, u = ((1 - )/E)(p₁r₁² – p²r₂²)r / (r₂² – r₁²) + ((1 + )/Er)(p₁ – p₂)r₁²r₂²/(r₂² – r₁²). (1-я ф-ла Ломе). (см ).

50. Формулы Ламе. Подставляя константы С₁ и С₂ (см ) в ур-ия для _r, _, получаем: _r, = (p₁r₁² – p₂r₂²)/(r₂² – r₁²) -,+ (p₁ – p²)r₁²r₂²/(r₂² – r₁²)r₂ – 2-я ф-ла Ломе.

51. Применение формул Ламе для расчета цилиндров. Для открытого цилиндра _z = 0, _z = (1/E)[_z - (_r + + _)] = - (/E)2(p₁r₁² – p₂r₂²)/(r₂² – r₁²) = const. Для закрытого цилиндра _z = (p₁r₁² – p₂r₂²)/(r₂² – r₁²) = const. _z = (1/E)[_z - (_r + _)] = (1/E)[(p₁r₁² – p₂r₂²)/(r₂² – r₁²) - 2(p₁r₁² – p₂r₂²)/(r₂² – r₁²)] = const.

52. Ф-лы Мариотта. Рассм. тонкостенный цилиндрич. сосуд. Толщина стенки  мала ( << r₁). r₂ = r₁ + . Внутреннее давление р, наружного нет. r, = ((pr₁²/(r₂² – r₁²))(1 -,+ r₂²/r²). Подставляем r₂ = …, учитываем, что (r₁ + )²  r₁² + 2r₁, получаем: _ = pr₁/; _z = pr₁/2. => _ = 2_z. _r/_ ~ /r₁. Мариотт для /r₁  1/10 (5%).

53. Температурные напряжения в толстостенных цилиндрах. Соотн. Дюамеля-Неймана: e_r = (1/E)[s_r - - m(s_q + s_z)] + aT(r). e_q = (1/E)[s_q - m(s_r + s_z)] + aT(r). e_z = (1/E)[s_z - m(s_r + s_q)] + aT(r) = const. Разрешая эту систему, получаем: s_r = (E/(1+m)(1-2m))[(1-m)e_r + m(e_q + e_z) – (1+m)aT(r)]. s_q = (E/(1+m)(1-2m))[(1-m)e_q + m(e_r + + e_z) – (1+m)aT(r)]. s_z = (E/(1+m)(1-2m))[(1-m)e_z + m(e_r + e_q) – (1+m)aT(r)]. Напряж. s_r и s_q удовл. условию ds_r/dr + (s_r - s_q)/r = 0; e_r = du/dr; e_q = u/r. Используя эти соотн. и подст. их в ур-ия равновес. в напряж-ях получим ур-е в перемещ.: d²u/dr² + (1/r)(du/dr) – (1/r²)u = ((1+m)/(1-m))a(dT(r)/dr). Решение ищем в виде: u(r) = u_o(r) + u_ч(r). Пусть р1 = р2 = 0, тогда s_r½_r=r1 = s_r½_r=r2 = 0 и решение имеет вид: u(r) = C₁r + C₂/r + (1/r)((1 + + m)/(1-m))a∫_r1^rT(r)rdr. Для определения постоянных С₁ и С₂ используем условия s_r½_r=r1 = s_r½_r=r2 = N_z = 0. Находим С₁ и С₂, подставляем их в выражения для напряжений и получаем: s_r = (E/(1-m))[(- a/r²)∫_r1^rT(r)rdr + + ((r² – r₁²)/(r₂² – r₁²)r²)a∫_r1^r2T(r)rdr]. s_q = (E/(1-m))[(a/r²)∫_r1^rT(r)rdr + ((r² + r₁²)/(r₂² – r₁²)r²)a∫_r1^r2T(r)rdr - aT(r)]. s_z = (E/(1-m))[(2/(r₂² – r₁²))a∫_r1^r2T(r)rdr + (1 - m)e_z - aT(r)]. Предположим, что расширение цилиндра в продольн. направлении не стеснено. Тогда для " сечения N_z = 0 или N_z = ∫₀^2p∫_r1^r2s_zrdrdq = 0. Отсюда e_z = (2a/(r₂² – r₁²))∫_r1^r2T(r)rdr и s_z = (E/(1-m))[(2a/(r₂² – r₁²))∫_r1^r2T(r)rdr - aT(r)]. Для Т = const s_r = s_q = s_z = 0. Для логарифмич. закона распред. t°: T(r) = T₂ + (T₁ – T₂)(ln(r₂/r)/ln(r₂/r1)). s_r = - (Ea(T₁–T₂)/2(1-m)ln(r₂/r₁))[ln(r₂/r₁) + + (r₁²/(r₂² – r₁²))(1 – r₁²/r²)ln(r₂/r)]. s_q = (Ea(T₁–T₂)/2(1-m)ln(r₂/r₁))[1 - ln(r₂/r₁) - (r₁²/(r₂² – r₁²))(1 + r₁²/r²)ln(r₂/r₁)]. s_z = (Ea(T₁–T₂)/2(1-m)ln(r₂/r₁))[1 - 2ln(r₂/r₁) - 2(r₁²/(r₂² – r₁²))ln(r₂/r₁)] (N_z = 0). Т₁ – внутри, Т₂ – снаружи.

54. Понятие об устойчивости форм равновесия. Рисунок с шариками и буграми. Устойчивое положение: малые возмущения – малые отклонения от ПР. Безразличн. положение, неуст. равн. Т. Лагранжа-Дирхле: необх. и достат. услов. устойч. форм. равн. системы явл. достиж. потенц. энерг. изолир. мин. Рис.:½стержень, закреплен снизу. сверху нагрузка Р. 3 вар.: Р < Ркр, Р = Ркр, Р > Ркр. А также арка, консольн. балка. Потеря уст-ти 1-ого рода: несоотв. формы, котор. приним. стержень после потери уст. формам, соотв. прилож. силам.

55. Устойчивость упругого сжатого стержня. Рис.: горизонт. стержень, сжимается нагр. Р. Длина l, прогиб u(z), EJ_x = const. Найдем условия. при котор. реш. дифф. ур-ия прогиба стержня не явл. единств. (возможно несколько форм равн.). Ур-ие d²u/dz² = M_x/EJ_x явл. приближ. Пусть все силы консервативны, т.е. не меняются не по направл., не по мод. М_x = - pu(z). d²u/dz² = - pu/EJ_x, k² = p/EJ. d²u/dz² + k²u = 0. u(0) = u(l) = 0. u(z) = 0 соотв. прямолин. форме равн. стержня. Найдем нетривиал. реш. u(z) = C₁sinkz + C₂coskz. 1. u(0) = 0 => C₂ = 0. 2. u(l) = 0 => C₁sinkl = 0. Т. к. С₁ ¹ 0, то sinkl = 0 => kl = np (n = 1, 2, …). k² = p/EJ => ф-ла Эйлера (см ¯).

56. Ф-ла Эйлера. Р_кр = n²p²EJ/l², (n = 1, 2, 3…). Корни ур-ия sinkl = 0 дают те значения силы Р, при котор. $ формы равновес. стержня с искривл. осью. u(z) = sin(npz/l). Ф-ла Эйлера позвол. найти те значения силы Р, для котор. $ нетривиал. реш. исходн. ур-я (критические силы). Физ. смысл (реальн.) имеет только n = 1. Р_кр = p²EJ/l² (продольный изгиб). Т. к. исходное ур-ие явл. приближ. то при больших деформациях его решение неверно. Рассмотрим прогиб в середине стержня u(l/2) = f. f = (2Ö2l/p)Ö(P/Pэ – 1), где Рэ = p²EJ/l². При Р » Ркр наблюдается увеличение податливости в отн. попереч. изгиба. (2 близких потенц. возм. сост.).

57. Зависимость критической силы от условия закрепления стержня. Общее выражение: Р_кр = p²EJ/(ml)². m - коэфф. приведения длины, показ. во сколько раз след. увеличить длину шарнирно-оперт. стержня, чтобы Р_кр для него = Р_кр стержня длиной l при данн. гранич. услов. Для одного защемленного конца и для другого свободного m = 2, для другого шарнирно-опертого конца m = 0,7.

58. Границы применимости ф-лы Эйлера. Можно применять, пока действует закон Гука. s_кр = Р_кр/F = = p²EJ/((ml)²F) = … = p²E/l², l = ml/i, i = Ö(J/F) – радиус инерции [м, см]. Предельный случай, когда s_кр = s_пц. l = ml/i, l_пред = pÖ(E/s_пц). Ф-лой Э. можно польз., когда l > l_пред. Е » 200ГПа, s_пц » 200МПа. l_пред » 100. График: lОs. Ф-ла Э. (график как С/х). Реальн. эксперим. идет ниже и пересек. ось ординат в точке 400МПа.

59. Расчеты на устойчивость за пределами упругости. Ф-ла Ясинского: s_кр = а - bl. a и b можно найти из условий стыковки. Для ст3 а = 210МПа, b = 1,14МПа. Эта ф-ла – это лишь аппроксимация эксперим. данных. Есть и другие, напрмер s_кр = а - bl² (Джонсона), или s_кр = а/(1 + bl²)…

60. Коэффициент снижения допускаемых напряжений. Запишем условие устойчивости: s = Р/F £ [s]_y, где [s]_y = s_кр/[n]_y. [n]_y > [n]. Т. к. необх. учит. начальн. неправильности, эксцентриситет прилож. нагрузки и другие фактоы, то [s_y] = s_пр/[n]y - s_т[n]/s_т[n] = s_кр/sт – [n]/[n]_y - s_т/[n] = j(l)[s]. j(l) = [n]/[n]_y. Итак, [s_y] = j(l)[s]; s = P/F £ [s]_y. j - коэфф. сниж. допуск. напряж. j зависит только от величины гибкости l = ml/i, i = Ö(J/F). j = j(l). Выбирается из таблиц. При проектировочн. расчете принимается j₁ = 0,5 … 0,6. F₁ ³ P/j[s] ® сечение. По F₁ нах. истинн. значение j₁'. j₂ = ½ (j₁ + j₁' )…

61. Рациональные формы поперечных сечений сжатых стержней. Обладают наибольшим моментом инерции при заданной площади поперечного сечения, будучи равноустойчивыми отн. обех осей. l_х = l_у. То m_х = m_у, J_x = J_y. Наиболее рациональн. сечение – кольцевое. Квазирациональное – квадратное. Модуль Юнга (Е) – единств. мех. хар-ка, определяющ. сопрот. стержня при потери устойчивости. Е = (190 – 210)МПа.

 = M_z/W_p W_p = J_p/(d/2) = d³/16  = d/dl  = M_z/GJ_p J_p = d⁴/32  = M_zl/GJ_p M = N/ M = 30N/n_o d  ³16M_z/[]  = r = r/l J_p/R = W_p  = M_zR/J_p J_p = (D⁴/32)[1 – d⁴/D⁴] W_p = (D³/16)[1 – d⁴/D⁴] _MX = - M_xy/J_x _MУ = - M_yx/J_y J_x = bh³/12 b – ширина  = M_xy/J_x + M_yx/J_y = 0 – ур-е нейтральной линии. M_эвк^М = (М_x² + M_y² + 0.75M_z²) M_экв^сенв = (М_х² + М_у² + M_z²) M_изг = (M_x² + M_y²) _изг = M_x/W_x + M_y/W_y _r, = (p₁r₁² – p₂r₂²)/(r₂² – r₁²) -,+ ((p₁ – p₂)r₁²r₂²/(r₂² – r₁²))(1/r²) _z = (p₁r₁² – p₂r₂²)/(r₂² – r₁²) _r = - (ET)/(2(1-)ln(r₂/r₁))[ln(r₂/r) + (r₁²/(r₂² – r₁²))(1 – r₂²/r²)ln(r₂/r₁)] _ = -(ET) / (2(1-) ln(r₂/r₁)) [1- 2ln(r₂/r)-(r₁²/(r₂²–r²))(1+r₂²/r²)ln(r₂/r₁)] _z = -(ET) / (2(1- )ln(r₂ / r₁ ) )[1-2ln(r₂ / r) - (2r₁² /(r₂² – r² ) )ln( r₂ / r₁ )] p_к = (D/2r₂)/((1/E₁)((r₁² + r₂²)/(r₂² – r₁²)-m₁)+(1/E₂)((r₂² + r₃²)/(r₃² – r₂²) + m₂)) – контактн. давл. R =s_min/s_max (R_-1) n = n_sn_t/Ö(n_s²+ n_t²) n_R=s_-1/(Ks_a+Ys_m) n_-1 = s_-1/Ks_a K = s_-1 / s_-1д w(r) = C₁+C₂r²+C₃lnr+C₄r²lnr + pr⁴/64D D=Eh³/12(1-m²) M_r=D(d²w/dr² + (m/r)(dw/dr)) M_q=D((1/r)(dw/dr)+ m(d²w/dr²)) Q = D(d/dr)(Dw) D = d²/dr² + (1/r)(d/dr) s_r(r) = 6M_r(r) / h² s_q(r) = 6M_q(r) / h² -для круг. пластины w(x) = C₁e ^{– kx} coskx + C₂e ^{– kx} sinkx + p_oR² / Eh N_y = Ehw/R + mN_x M_x = D(d²w/dx²) M_y=mM_x s_x = N_x/h±6M_x/h² s_y = N_y / h ± 6M_y / h² dw/dx = - ke ^{– kx} [(C₁ – C₂)coskx + (C₁ + C₂)sinkx)] d²w/dx² = 2k²e ^{– kx} [C¹sinkx – C²coskx] d³w/dx³ = 2k³e ^{– kx} [(C₁ + C₂)coskx – (C₁ – C₂)sinkx] - для оболочки l = 8PD³n / Gd⁴ c = Gd⁴/8D³n при Р = 1 - для пружины