Унифицированные системы стимулирования - Караваев А.П

11

Активная система 5 (АС5):

АС1 и АС5 будут рассмотрены в четвертом разделе. Активные системы с фиксированным числом АЭ, т.е. АС2, являются основным предметом изучения настоящей работы и рассматриваются в разделе 6. Леммы настоящего раздела показывают связь других АС с АС2. Активные системы АС6 подробно изучаются в [6]. Свойства унифицированных систем стимулирования для АС2, АС3, АС4, АС6, АС7 изучаются в разделе 5.

В силу наличия неопределенности при фиксированной системе стимулирования значение функционала

H(y) − S(y)

является случайной величиной (поскольку типы и, следовательно, действия случайны). Поэтому будем считать, что задачей центра является реализация некоторого действия y¯ "в среднем", или, учитывая предпо-

ложение A1, Eyi = y¯.

В соответствии с этим центр должен "в среднем" минимизировать затраты

где M есть допустимое множество функций стимулирования.

12

Рациональное поведение АЭ заключается в выборе наилучшего yi, ò.å.

Решением задачи (39)-(41) является набор функций (или одна функция, если система унифицированная) {σi}ni=1 (оптимальных функций

стимулирования) и (при данных типах активных элементов) набор дей- ствий {yi}ni=1 (оптимальных действий активных элементов, согласован-

ных с функциями стимулирования), а сама задача называется задачей синтеза оптимальной системы стимулирования.

Оптимальными будем называть функции стимулирования (системы стимулирования) активных элементов, которые являются решением задачи (39)-(41), реализуемые активными элементами действия при оптимальной системе стимулирования также называть оптимальными.

Лемма 3.2. Задача синтеза оптимальной системы стимулирования в АС3 с вероятностной неопределенностью и количеством элементов n

эквивалентна задаче синтеза оптимальной системы стимулирования в АС3 с вероятностной неопределенностью и с одним элементом (и с увеличенным в n раз средним действием).

Лемма 3.3. Задача синтеза унифицированной системы стимулирования в детерминированной АС2 с числом элементов n является частным

случаем задачи синтеза унифицированной системы стимулирования в АС3 с одним элементом при вероятностной неопределенности типа АЭ.

Определим функцию действия f : Ω → X следующим (неоднознач-

ным) образом:

f(r) Argmax(σ(x) − c(r, x)).

x≥0

Данная функция (точнее, одна из ее реализаций) есть соответствие между типом АЭ и действием, которое он реализует при данной (унифицированной) системе стимулирования.

4. Персонифицированные системы стимулирования

Рассмотрим задачу минимизации затрат для реализации некоторого действия в активных системах (1) и (5) мы можем назначать каждому из активных элементов персональную систему стимулирования (считаем, что тип каждого активного элемента нам точно известен и что по этому типу мы можем точно восстановить его функцию затрат).

Рассмотрим дискретный случай, а именно, пусть в активной системе имеется n активных элементов, причем i-й активный элемент имеет тип

ri Ω, {ri}ni=1 = Ω0 Ω.

Тогда задача минимизации суммарных затрат на стимулирование записывается следующим образом:

13

где f(r) есть функция действия активных элементов, а σi(x) функция стимулирования i-го активного элемента.

В [4] показано, что при данной постановке задачи оптимальными являются квазикомпенсаторные системы стимулирования, и вместо функций стимулирования достаточно рассматривать ci точечные стимулирова-

ния активных элементов при реализации необходимых действий xi, ïðè-

÷åì ci = c(ri, xi). Тогда, поскольку σi(x) = ciI{x=xi}, ãäå I{·} функцияиндикатор, задача переписывается в следующем виде:

n

X

c(ri, xi) → min

при выполнении условия

n

X

xi = x¯.

i=1

Решая минимизационную задачу методом множителей Лагранжа

Пример 4.1. Рассмотрим случай квадратичных затрат активных элементов c(ri, x) = x2/ri, и пусть множество возможных типов есть

Ω0 = {ri}ni=1, Ω0 Ω. Тогда

cx(ri, xi) = cx(rj, xj) 2xi/ri = 2xj/rj xi = xjri/rj.

Суммарное действие

i=1

Âсилу этого получаем, что действие i-ãî ÀÝ

,n

15

При этом суммарные затраты равны

Сравнивая суммарные затраты с затратами одного элемента (уравнения (46) и (47)) можно заметить, что при наличии нескольких элементов можно считать, что в системе вместо этих нескольких элементарных элементов имеется один составной элемент, причем этот составной элемент по своим затратам эквивалентен элементарному элементу с типом, равным сумме типов элементарных элементов (см. также механизмы внутрифирменного регулирования в [4]).•

Перейдем теперь к рассмотрению непрерывного случая, а именно, рассмотрим ситуацию, когда типы активных элементов имеют равномерное на Ω распределение. Вновь будем предполагать, что тип каждого из ак-

тивных элементов центру точно известен и каждому из них можно сопоставить соответствующую систему стимулирования.

Рассуждая аналогично дискретному случаю, получаем, что оптимальное стимулирование элемента r для реализации действия f(r) есть

c(r, f(r))I{x=xi} и задача минимизации затрат записывается следующим

Для f(r) решения этой задачи при любом r должно выполняться

равенство cx(r, f(r)) = λ > 0.

Пример 4.3. Рассмотрим случай квадратичных затрат c(r, x) = x2/r.

Тогда должно выполняться равенство cx(r, f(r)) = λ, следовательно

f(r) = λr2 .

Исходя из ограничения (49)

лизующего действие f(r), σ(f(r)) = c(r, f(r))).

16

Средние затраты на стимулирование равны

Функция стимулирования находится из условия σ(f(r)) = c(r, f(r)).

5. Свойства функций стимулирования и функций действия

В данном разделе будем рассматривать активные системы с унифицированной системой стимулирования. Рассмотрим свойства (и взаимосвязь) функции стимулирования и функции действия в общем случае (даже при неоптимальной функции стимулирования).

Функция действия и функция стимулирования связаны между собою через условие рационального выбора АЭ:

Поскольку задача Активного Элемента является частью задачи поиска оптимальной системы стимулирования, то подробное исследования решения задачи (50) и установления совместных свойств функции действия и функции стимулирования необходимы для дальнейшего исследования. Данный раздел целиком посвящен изучению взаимосвязи между этими функциями как в дискретном, так и в непрерывном случае.

Фактически функция действия есть зависимость реализуемого действия от типа активного элемента: всегда можно препочтения центра определить таким образом, что при выполнении Гипотезы Благожелательности активный элемент типа r будет реализовывать действие f(r).

Мы постараемся узнать большее: какими свойствами обладает функция f(r), как она связана с функцией стимулирования σ(x) (не считая опре-

деления (50)), какими свойствами обладает функция стимулирования, которой соответствует заданная функция действия.

Начнем исследование с самых простых свойств функции действия. Лемма 5.1. Пусть f(r) решение задачи (50) для некоторой

σ(x) M. Тогда для любого r Ω выполняется неравенство

σ(f(r)) − c(r, f(r)) ≥ 0,

т.е. стимулирование действия, реализумого некоторым активным элементом системы, всегда не меньше затрат этого элемента на реализацию данного действия.

Лемма 5.2. Пусть f(r) решение задачи (50) для некоторой σ(x) M. Тогда f(r) является неубывающей функцией.

Следовательно, вне зависимости от системы стимулирования, вне зависимости от затрат (необходима лишь отрицательная смешанная производная) действие, реализуемое активным элементом с большим типом

17

всегда не меньше действия, реализуемого активным элементом с меньшим типом.

Теорема 5.1. Пусть f(r) решение задачи (50) для некоторой σ(x) M. Тогда целевая функция АЭ

σ(f(r)) − c(r, f(r))

является возрастающей функцией r.

Данная теорема имеет важную экономическую интерпретацию. Мы говорили, что большему значению r соответствует лучший тип активно-

го элемента. В данной теореме утверждается, что при возрастании типа Активного Элемента значение целевой функции строго возрастает. Это означает, что чем больший тип имеет активный элемент, тем большую "прибыль" он получает помимо компенсации своих затрат.

Жизненная необходимость данного условия обусловлена следующим фактом: получение лучшего типа (например, через дополнительное образование и т.п.) требует больших затрат, и, если бы прибыль при улучшении типа не изменялась, то не было бы никаких стимулов это дополнительное образование получать затраты вырастут, а прибыль (целевая функция) не изменится.

Определим оператор Φ : M → M следующим образом:

(51)Φ(σ)(x) = inf (σ(f(r)) − c(r, f(r)) + c(r, x)),

r Ω

где f(r) решение задачи (50) с функцией σ(x). Очевидно, что Φ(σ) может, вообще говоря, зависеть от конкретного выбора функции f(r) (поскольку определение f(r) с помощью (50) допускает в общем случае

неоднозначность), однако в дальнейшем (теорема 5.3) будет доказано, что вне зависимости от f(r) функция Φ(σ)(x) зависит только от σ(x).

Мы покажем, что Φ(σ)(·) обладает всеми необходимыми свойствами функции стимулирования и ее можно использовать вместо функции σ(·), но, наряду со свойствами функции σ(·), она обладает многими другими

достоинствами, например абсолютной непрерывностью, и работать с ней несомненно легче, чем с σ(·). Используя функцию Φ(σ)(·) (вместо σ(·))

можно значительно сузить класс всех допустимых функций стимулирования (т.к. от этой замены не изменяются затраты и функция действия).

Свойства оператора Φ описываются несколькими следующими лем-

ìàìè.

Лемма 5.3. Пусть f(r) решение задачи (50) для σ(x) и σ˜(x) =

σ˜(f(r)) = σ(f(r)) r Ω.

19

Лемма 5.8. Пусть r1, r2 типы активных элементов, при которых реализуется минимум при определении функции σ˜(x) = Φ(σ)(x) для x1 è x2 соответственно:

(52)σ˜(xi) − c(ri, xi) = σ(f(ri)) − c(ri, f(ri)),

è x1 < x2. Тогда типы активных элементов упорядочены соответствующим образом, т.е. r1 ≤ r2.

Оператор Φ(·) обладает тем свойством, что определяемая с его помо-

щью функция стимулирования является "максимальной", а именно, Лемма 5.9. Пусть f(r) решение задачи (50) для σ(x) и σˆ(x), причем

σˆ(f(r)) = σ(f(r)) r Ω. Тогда σ˜(x ) ≡ Ψ(σ)(x ) ≥ σˆ(x ) для любого x, т.е. функцию σ˜(x) нельзя увеличить ни в одной точке так, чтобы f(r)

осталась решением задачи (50) и выплаты активным элементам сохранились.

При непрерывной функции действия (которая, напомним, является неубывающей) можно выписать дифференциальные уравнения на функцию стимулирования. В случае наличия разрывов в функции действия функцию стимулирования можно восстановить на множестве разрыва.

Лемма 5.10. Пусть Ω = [r0; r1] и f(r) решение задачи (50) для σ(x) и σ˜(x) = Φ(σ)(x) и пусть функция f(r) разрывна в некоторой точ-

Одним из основных результатов данного раздела является установление равенства функций действия почти всюду, за исключением счетного числа точек.

Теорема 5.4. Пусть f1(r), f2(r) два различных решения (функции действия) задачи (50) для некоторой функции стимулирования σ(x),

Ω = [r0; r1]. Тогда f1(r) è f2(r) отличаются только в своих точках разрыва.

Âданном разделе мы рассмотрели связь функция стимулирования

èфункций действия. Показано, что при рассмотрении задач синтеза оптимальных функций стимулирования можно ограничиться абсолютно непрерывными возрастающими функциями стимулирования. Доказано, что непрерывные функции стимулирования, для которых функции действия одинаковы, отличаются на константу. Предложен механизм, с помощью которого можно изменить функцию стимулирования на абсолютно непрерывную, не изменяя функцию действия и выплаты активным элементам. В общем случае показано, что лучший активный элемент будет выполнять большее действие, а целевая функция лучшего активного элемента принимает строго большие значения, чем целевая функция худшего активного элемента (даже при неоптимальных функциях стимулирования). Доказано, что функции действия для одной и той же функции стимулирования отличаются только в своих точках разрыва (а, учитывая неубывание функций действия, множество точек разрыва счетно). В зависимости от поведения функции действия в точке (непрерывность, разрывность, убывание/возрастание) описано поведение функции стимулирования.

20

6.Решение задачи в дискретном случае

Âданном разделе будет рассмотрена задача синтеза оптимальной унифицированной системы стимулирования (и ее свойства) для детермини-

рованной активной системы с n активными элементами, в которой центр

знает лишь множество типов активных элементов.

Как и ранее, обозначаем S(¯x) минимальные затраты центра по реализации активными элементами суммарного действия x¯ (см. формулу

(4)). Будем рассматривать активную систему (2) (количество активных элементов n, центр знает множество типов активных элементов, унифи-

цированная система стимулирования).

Как отмечалось ранее, задачей центра является максимизация функ-

ционала

XX

P

σ:¯x= xi(σ) i=1

Основным в решении данной задачи является нахождение функции S(¯x), поскольку далее остается только решить задачу максимизации

функции одной переменной.

Таким образом, будем решать задачу

при введенных ранее предположениях.

Для простоты изложения будем предполагать в дальнейшем x0 = 0.

Большая часть результатов этой части основывается на формуле, приведенной в [3], о которой говорится в следующей теореме.

Теорема 6.1. Пусть σ˜(x) унифицированная система стимулирования, при которой i-й активный элемент выбирает действие xi,

k=1

Используя представление (56) для функции стимулирования, можно найти дифференциальное уравнение, связывающее действия xk è xk+1 при оптимальной функции стимулирования (если xk−1 < xk < xk+1 < xk+2), о чем и говорит следующая

Лемма 6.1. Если σ(x) оптимальная в смысле задачи (53-55) функция стимулирования, при которой k-й активный элемент реализует действие xk, è xi−1 < xi < xi+1 < xi+2, 1 ≤ i ≤ n − 2, то верно следующее