Среднее Заочное отделение / 5 семестр / Курсовой ЦМПУ / 5 Раздел 2

По данным таблицы 1 запишем логические функции для одноразрядного компаратора в СДНФ:

(1)

Если значения a_i и b_i таковы, что правые части функций принимают единичные значения, то соотношения, указанные в индексах левых частей, выполняются. Если правые части функций принимают нулевые значения, то соотношения между a_i и b_i противоположны указанным.

Логическая схема одноразрядного компаратора, реализующая функции (1), приведена на рисунке 4.

Рисунок 4 – Логическая схема одноразрядного компаратора

Остановимся подробнее на равенстве чисел. Заметим, что функция F_A=B функция «Равнозначность». По смыслу она противоположна функции F_A≠B «Неравнозначность»:

(2)

Поэтому проверку равенства одноименных разрядов двух чисел можно осуществить, используя логический элемент «Исключающее ИЛИ», дополненный инвертором (рисунок 5).

Когда цифры в одноименных разрядах чисел А и В одинаковы, то на выходах всех логических элементов «Исключающее ИЛИ» нулевые сигналы и функция F_A=B = 1. Если хотя бы в одной паре разрядов находятся разные цифры, то на выходе соответствующего логического элемента «Исключающее ИЛИ» единичный сигнал и функция F_A=B = 0, что указывает на неравенство чисел А и В.

Рисунок 5 – Логическая схема для проверки равенства двух многоразрядных двоичных чисел

Рассмотрим теперь неравенство чисел, используя выражение (1). Пусть А > В. Выявление такого неравенства начинается со старших разрядов; если они равны, то сравнивается следующая пара одноименных разрядов и т.д. Например, в случае трехразрядных чисел могут быть следующие варианты:

• неравенство цифр в старших разрядах (a₂ > b₂), что в соответствии с (1) представляется выражением . При этом неравенство чисел А > В описывается тем же выражением;

• равенство цифр в старших разрядах (a₂ = b₂), что представляется

выражением и неравенство цифр в средних разрядах (a₁ > b₁), что описывается выражением . При этом неравенство чисел А > В представляется конъюнкцией двух приведенных выражений ;

• равенство цифр в старших и средних разрядах a₂ = b₂, a₁ = b₁, что описывается выражениями и , и неравенство цифр в младших разрядах (a₀ > b₀), что описывается выражением . При этом неравенство чисел А > В представляется конъюнкциями трех предыдущих выражений .

Поскольку возможен любой из трех вариантов, то выражение, учитывающее все варианты, запишется в виде дизъюнкций приведенных конъюнкций:

(3)

Если на выходе схемы (рисунок 6), элементы которой реализуют выражение (3), устанавливается единичный сигнал, то число А > B.

Рисунок 6 – Логическая схема для проверки неравенства двух

трехразрядных двоичных чисел

На рисунке 7 предыдущая схема дополнена логическим элементом «Исключающее ИЛИ–НЕ» (на входы которого подаются разряды a₀, b₀), конъюнктором (на выходе которого формируется функция F_A=B) и элементом ИЛИ–НЕ (на выходе которого формируется функция F_A<B). Если a₂ = b₂, a₁ = b₁, a₀ = b₀, то F_A=B = 1, т. е. число А = В. Если в результате сравнения чисел F_A>B = 0 и F_A=B = 0, то на выходе элемента ИЛИ–НЕ единичный сигнал (F_A<B = 1), т. е. число A < B.

Рисунок 7 – Логическая схема трехразрядного компаратора

По аналогичным схемам (см. рисунок 7) строятся компараторы для сравнения двоичных чисел с большей разрядностью.

2.2 Разработка логической схемы счетчика с коэффициентом пересчета К_пер =12

Методику синтеза счетчика на JK-триггерах рассмотрим на примере синтеза логической схемы счетчика с коэффициентом пересчета K_пер = 12 при использовании карт Карно.

Необходимое число триггеров будет определяться как минимальное n, удовлетворяющее неравенству пер. В данном случае число триггеров n = 4.

В счетчике с коэффициентом пересчета K_пер = 12 двенадцать состояний, причем каждый двенадцатый импульс сбрасывает счетчик в нулевое состояние. Переход счетчика из текущего в следующее состояние связан с переключением триггеров. Для переключения триггеров счетчика в требуемые состояния (таблица 2) на их входах J и K необходимы определенные уровни сигналов. В таблице 3 показаны все возможные переходы состояний триггера и требуемые для этих переходов уровни сигналов на входах J и K. На основании таблицы 3 в таблице 2 указаны уровни сигналов на входах J и K, которые обеспечивают переходы счетчика в следующее состояние.

Таблица 2 – Таблица переходов счетчика с коэффициентом пересчета K_пер = 12, совмещенная с таблицей истинности комбинационных схем возбуждения входов J и K триггеров

Таблица 3 – Таблица переходов JK-триггера

Пусть к моменту подачи первого импульса счетчик находился в состоянии 0000. Под действием этого импульса должно быть обеспечено новое состояние 0001 (таблица 2). Следовательно, в триггере младшего разряда T₀ происходит переход вида 01, обеспечиваемый при следующих уровнях на информационных входах: J₀ = 1, K₀ = X. В остальных триггерах происходит переход вида 00, который обеспечивается уровнями J₁ = 0, K₁ = X, J₂ = 0, K₂ = X, J₃ = 0, K₃ = X. Эти значения занесены в клетки карт Карно для входов J и K всех триггеров, соответствующие состоянию счетчика 0000 (рисунок 2). Пользуясь таблицей 2, можно заполнить карты Карно для входов J и K всех триггеров счетчика. При этом следует помнить, что уровни сигналов на входах J и K являются логическими функциями текущего состояния триггеров и на картах Карно (рисунок 2) под Q₃, Q₂, Q₁, Q₀ понимается текущее состояние счетчика, т.е. перед поступлением на вход счетчика очередного импульса. На картах Карно знаком «Ф» обозначены неопределенные значения функций возбуждения входов J и K, соответствующие лишним состояниям счетчика.

Следует помнить, что при минимизации не полностью заданных логических функций произвольные и неопределенные значения функции можно доопределять с целью упрощения результата минимизации. Следовательно, на картах Карно при записи результата минимизации в МДНФ в замкнутые области следует объединять клетки, заполненные единицами, а также произвольными и неопределенными значениями логической функции.

Рисунок 8 – Карты Карно для счетчика с коэффициентом пересчета K_пер = 12

Следует помнить, что при минимизации не полностью заданных логических функций произвольные и неопределенные значения функции можно доопределять с целью упрощения результата минимизации. Следовательно, на картах Карно при записи результата минимизации в МДНФ в замкнутые области следует объединять клетки, заполненные единицами, а также произвольными и неопределенными значениями логической функции.

По картам Карно запишем следующие выражения для функций возбуждения входов J и K всех триггеров счетчика в МДНФ:

J₃=Q₀·Q₁·Q₂; K₃=Q₀·Q₁;

(4)

J₁=Q₀; K₁=Q₀;

J₀=1; K₀=1.

Логическая схема счетчика, построенная по логическим функциям (4), представлена на рисунке 9.

Рисунок 9 – Логическая схема счетчика на JK-триггерах с коэффициентом пересчета K_пер = 12

Работа счетчика (рисунок 9) поясняется временными диаграммами, приведенными на рисунке 10 (число входных импульсов N определяется по формуле N = K_пер + 1).

Рисунок 10 – Временные диаграммы работы счетчика с коэффициентом пересчета K_пер = 12

Из временных диаграмм следует, что каждый двенадцатый импульс сбрасывает счетчик в исходное нулевое состояние, а тринадцатый начинает новый цикл работы, повторяющий предыдущий.

2.3 Разработка логической схемы компаратора четырехразрядных двоичных чисел в основном базисе

Логическую схему четырехразрядного компаратора двоичных чисел разработаем в основном базисе. Для этого на основании логических функций (1)…(3) запишем логические функции для выходов четырехразрядного компаратора.

Используя выражение (1) запишем вариант неравенства А > В четырехразрядного числа для каждого разряда отдельно:

;

(5)

;

.

Используя все варианты из выражения (5) выведем формулу, определяющую неравенство двух четырехразрядных чисел:

(6)

Однако если все разряды числа будут равны, то выражение будет записано следующим образом:

(7)

В противном случае:

(8)

Построим логическую схему четырехразрядного двоичного компаратора в основном базисе (лист 1).

Проверим правильность функционирования данной логической схемы. Для этого на входы подадим числа A = 1000₍₂₎ и В = 1011₍₂₎, где а₃ = 1, а₂ = 0, а₁ = 0, а₀ = 0, b₃ = 1, b₂ = 0, b₁ = 1, b₀ = 1.

Таким образом, на выходе получили результат: F_A>B = 0, F_A<B = 1, F_A=B = 0. Следовательно, A < B, т.е. 1000₍₂₎ < 1011₍₂₎.

19