Самоорганизация социально-экономических систем - Пугачева Е.Г. Соловьенко К.Н

2. Допустим, 1 < λ < 3 . Как видно из рис. 2.31, последовательность {xn} сходится к ненулевому значению х*, которое может быть найдено из уравнения х* = λ õ*(1 – õ*). Все точки, удовлетворяющие последнему уравнению, будем называть неподвижными точ-

êàìè, òàê êàê õ1 = õ*, õ2 = õ*, …, õn = õ* при любом n. При λ < 1 квадратное уравнение λ (õ*)2 + õ*(1 – λ ) = 0 имеет один неотрица-

тельный корень: х* = 0. Ïðè λ > 1 неотрицательных корней два: х* = 0 è õ* = (λ – 1) / λ . Таким образом, при λ = 1 происходит бифуркация: неподвижная точка х* = 0 теряет устойчивость, а вновь появившаяся точка становится устойчивой.

Устойчивость неподвижной точки х* = f(õ*) можно определить следующим образом. Пусть xn = õ* + ∆ xn, ãäå ∆ xn — малое число. Если точка устойчива, то с ростом n величина |∆ xn| должна уменьшаться. Используя разложение функции в ряд Тейлора и пренебрегая членами, пропорциональными (∆ xn)2, (∆ xn)3 и т.д., получим оценку для ∆ xn+1:

60.

Е.Г. Пугачева, К.Н. Соловьенко. Самоорганизация социально-экономических систем

3. Пусть теперь 3 < λ < 3,449... Численный анализ уравнения (2.6) при значении λ = 3,2 (õ1 = 0,8) показывает, что в системе устанавливаются периодические колебания (рис. 2.33).

Рис. 2.33. Периодические колебания (λ = 3,2)

Поведение системы качественно изменилось. В данном случае последовательность {хn} устроена таким образом, что x2n+1 → a1, x2n → a2 при n → ∞ . Эти числа связаны соотношениями a1 = f(a2), a2 = f(a1). Тогда говорят, что отображение (2.6) имеет устойчивый цикл с периодом 2, и обозначают его S2 (ðèñ. 2.34).

Переход от неподвижной точки (ее можно считать циклом S1) к циклу S2 произошел в результате бифуркации, которая имеет на-

62.

2. Некоторые сведения из теории обыкновенных дифференциальных уравнений

звание бифуркации удвоения периода. Точка х* при этом не ис- чезла и осталась неподвижной точкой, однако величина

df (x* )

dx

стала больше единицы.

Найдем неподвижные точки отображения (2.6) и исследуем их устойчивость. Для этого решим уравнение f(f(x*)) = x*, которое для f(x) = λ x(1 – x) примет вид

Два корня приведенного уравнения четвертой степени нам известны. Это х1* = 0 è õ2* = (λ – 1) / λ . Разделив формулу (2.8) на x* è íà (x* – (λ – 1) / λ ), получим квадратное уравнение λ 3(x*)2 – (λ 3 + λ 2)x* + + (λ 2 + λ ) = 0, корнями которого являются

Условие устойчивости цикла S2 определяется формулой

df (x1 ) df (x2 ) < 1, dx dx

которая следует из неравенства (2.7) и правил дифференцирования сложной функции.

В рассматриваемом случае

n → ∞ (рис. 2.35). При этом в системе устанавливаются периоди- ческие колебания с периодом 4 (рис. 2.36).

63.

Последовательно увеличивая параметр λ , мы увидим циклы S8, S16, S32, S64, S128, S256 и т.д. При этом каждый цикл S2p теряет устойчивость и устойчивым становится цикл S2p+1. Наконец, при значении λ = 3,5699... (его иногда обозначают λ ∞ ) формула (2.6) дает уже непериодическую последовательность {хn}. Поведение выглядит случайным. На самом же деле это загадочное поведение полностью определено детерминированным законом (2.6). Непериодический, случайный процесс возникает как предел все более сложных структур (циклов S2p). Таким образом, хаос возникает как сверхсложная организация (цикл S2∞ ) (ðèñ. 2.37).

Хаотическое поведение слишком чувствительно к изменению исходных данных. Изменение х1 на одну миллионную может существенно повлиять на ход решения. На рис. 2.38 представлены графики решений уравнения (2.6) при х1 = 0,8 è õ1 = 0,800 01 ñîîò-

64.

Соответствующий хаотический режим на фазовой плоскости представлен на рис. 2.39.

65.

Обозначим через λ 1, λ 2, λ 3... те значения параметра λ , при которых происходили удвоения периода. В 1971 г. американский уче- ный М. Фейгенбаум установил интересную закономерность: последовательность {λ n} образует возрастающую последовательность, быстро сходящуюся к точке накопления λ ∞ = 3,5699... Разность значений λ , соответствующих двум последовательным бифуркациям, уменьшается каждый раз с приблизительно одинаковым коэффициентом:

Знаменатель прогрессии δ = 4,6692... теперь носит название постоянной Фейгенбаума. За точкой накопления λ ∞ апериодические и периодические аттракторы чередуются (рис. 2.40).

В 1978 г. М. Фейгенбаум сделал открытие, состоящее в том, что сценарий перехода к хаосу через бесконечный каскад бифуркаций удвоения периода универсален для большого класса динамических систем. Сценарий Фейгенбаума стали обнаруживать в системах самой различной природы — физике, химии, биологии, экологии и т.д. Каскад бифуркаций в социальной области анализируется, например, в работах американского исследователя Т. Янга [150].

66.

2. Некоторые сведения из теории обыкновенных дифференциальных уравнений

x

1,0

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0

Рис. 2.40. Бифуркационная диаграмма

Независимо от конкретного вида системы и ее сложности теория универсальности Фейгенбаума дает количественные предсказания. Константа δ и ряд других констант выступают как универсальные константы, такие же как π или e. Таким образом, данная теория установила, что большой класс нелинейных явлений демонстрирует не только одинаковое качественное поведение, но и универсальные количественные закономерности.

Позже были обнаружены еще несколько универсальных сценариев перехода к хаосу. Работы последних лет позволяют предположить, что в природе обычно реализуются всего несколько универсальных сценариев. Это огромный шаг к пониманию внутреннего единства нелинейных явлений.

2.11. Свойства странного аттрактора

Динамический хаос в фазовом пространстве выглядит как клубок траекторий, например такой, как показан на рис. 2.41. Для установившихся колебаний, соответствующих динамическому хаосу, Д. Рюэль и Ф. Такенс в 1971 г. предложили название — «стран-

ный аттрактор».

67.

Е.Г. Пугачева, К.Н. Соловьенко. Самоорганизация социально-экономических систем

z

Рис. 2.41. Аттрактор Лоренца

«Странность» хаотического аттрактора состоит не столько в необычном виде, сколько в тех новых свойствах, которыми он обладает. Странный аттрактор — это прежде всего притягивающая область для траекторий из окрестных областей. При этом все траектории внутри странного аттрактора динамически неустойчивы. Другими словами, если представить предельное множество как «клубок» в фазовом пространстве, то точка, характеризующая состояние системы, будет принадлежать этому «клубку» и не уйдет в другую область фазового пространства. Однако мы не можем сказать, в каком месте клубка будет находиться точка в данный момент времени.

Одним из таких парадоксальных свойств является чувстви-

нием времени. Если аттрактор есть особая точка, то d(t) = 0. Если аттрактор — предельный цикл, то d(t) будет периодической функ-

68.

2. Некоторые сведения из теории обыкновенных дифференциальных уравнений

– так как величина df / dX обычно изменяется в различных точ-

ках траектории, то будем вычислять среднее значение ln|df / dX| для большого числа итераций.

Пример

Рассмотрим логистическое уравнение [126]

–df / dX = 4(1 – 2X); n+1 = 4Xn(1 – Xn):

–взяв в качестве начального значения х1= 0,1, вычислим значения величины для первых десяти итераций (табл. 2.1):

Таблица 2.1

Вычисление ляпуновского показателя

69.