Прикладные модели - Бурков В.Н. Новиков Д.А

lT (u,v) = (lT (u,v)1,...,lT (u,v)r ) заменить на однокомпонентные пото-

ки lT' (u,v) : lT' (u,v) = α1lT (u,v)1 + ... + αr lT (u,v)r .

Следовательно, имеем задачу с однокомпонентными потоками и выпуклой функцией затрат K′(×) . Решением данной задачи явля-

ется равное распределение нагрузки между узлами графа органи- зации – нагрузка L1' = ... = L'n = LT / n .

Стоимость организации при такой загруженности узлов равна n × K'(LT / n) , и это минимальная стоимость организации суммарно-

го потока LT с n управляющими узлами.

Однако произвольное перераспределение загруженности меж- ду управляющими узлами невозможно, поскольку оно полностью определяется группами, которые контролируют узлы, и группами, которые контролируют их непосредственные подчиненные. Следо- вательно, мы можем только изменить граф организации, передав часть подчиненных одного узла другому. Вместе с передачей подчиненных произойдет и перераспределение потоков.

Например, возьмем узел v графа организации и два подчинен- ных ему узла v',v''Î Q(v) . Изменим граф организации, передав узел

v'' в подчинение узлу v' . Если при этом сумма стоимостей узлов v и v' K(LT (v)) + K(LT (v')) в новом графе будет меньше, чем сумма

их стоимостей в старом, то и общая стоимость нового графа уменьшилась по сравнению со старым, так как стоимости осталь- ных узлов не изменились.

Возможны и ситуации, когда стоимость организации будет уменьшаться при передаче подчиненного узла в обратном направ- лении.

Таким образом, если в некотором графе организации возмож- на передача подчиненных от более загруженного узла v1 менее загруженному узлу v2, сглаживающая разницу в контролируемых ими потоках, то такой граф не является оптимальным.

Итак, мы определили, какие организации не будут оптималь- ными. Однако как найти оптимальную организацию? Даже в столь упрощенной постановке задача поиска оптимального графа орга- низации остается вычислительно сложной. Однако на практике обычно достаточно найти «хорошую» организацию, затраты на содержание которой не сильно превышают минимальных. Для решения же этой задачи можно предложить следующий алгоритм.

61

1. Найдем примерное количество узлов в дереве организации

Если бы мы могли распределить потоки поровну между n уз- лами графа организации, то количестве узлов в графе, равном n* достигался бы минимум затрат на содержание организации.

2. Определим «эталонный» поток L := LT / n* , приходящийся

на один узел.

3. Будем последовательно добавлять в граф организации узлы таким образом, чтобы контролируемый ими поток был как можно ближе к эталонному потоку L до тех пор, пора каждая связь техно-

логического графа не будет контролироваться одним из узлов графа организации.

Рассмотрим следующий пример. Пусть для технологического

Одна из организаций, построенных по приведенному выше ал- горитму, изображена на рисунке 17. Загруженность управляющих узлов I-IV: LI = 16 , LII = 15 , LIII = 13 , LIV = 20 , стоимость органи- зации P(G) = 2250 , что не сильно отличается от минимально воз-

можной стоимости системы с четырьмя управляющими узлами

Рис. 17. Пример приближенно оптимальной структуры

системы управления технологическими связями

62

В наших рассуждениях предполагается, что в каждом узле графа организации находится один менеджер-контролер. Как показано выше, оптимальным является равное распределение загруженности менеджеров. В то же время, можно заметить, что в больших организациях с ростом уровня, на котором находится менеджер, неизбежно растет и объем потока, который он вынуж- ден контролировать. Соответственно растут и затраты на содержа- ние узла графа организации. Таким образом, возникает необходи- мость во вспомогательном аппарате (секретарях, помощниках), который не принимает непосредственно решений, но помогает принимать решения менеджеру. Несмотря на то, что содержание дополнительных служащих требует средств, за счет уменьшения потока, приходящегося на одного служащего, удается получить выигрыш в стоимости содержания узла.

Таким образом, одним из обобщений рассматриваемой модели

является допущение возможности нахождения в одном узле графа организации нескольких сотрудников.

На рисунке 18 приведены функции затрат узла, в котором на- ходится один менеджер (кривая 1), менеджер и секретарь (кривая 2), менеджер и два секретаря (кривая 3).

Рис. 18. Функции затрат узла при различном числе

сотрудников аппарата

Из рисунка видно, что с ростом объема контролируемого по- тока выгодно сначала содержание одного менеджера, потом добав-

63

ление ему секретаря (помощника), потом добавление еще одного и так далее. Жирной линией на рисунке показана «эффективная» функция затрат, относящаяся к наилучшему составу узла.

Если зафиксировать такое правило формирования состава, то можно вернуться к исходной постановке задачи, считая функцию затрат узла равной «эффективной» функции затрат.

Рис. 19. Аппроксимация функции затрат узла

выпуклой гладкой функцией

Неудобство работы с «эффективной» функцией затрат узла за- ключается в том, что она, в общем случае, не выпуклая и даже не дифференцируемая. Однако ее можно аппроксимировать гладкой выпуклой функцией, как показано на рисунке 19, для получения приближенного решения задачи формирования структуры в соот- ветствии с описанным выше алгоритмом.

9. МЕХАНИЗМЫ СМЕШАННОГО ФИНАНСИРОВАНИЯ

Крупные проекты, как правило, редко финансируются из од- ного источника. Инициаторы проекта стараются привлечь средства федерального и регионального бюджетов, различные фонды, сред- ства частных фирм и т.д. Задача финансирования в этом случае относится к классу задач распределения ресурса (затрат).

Рассмотрим механизмы смешанного финансирования проек- тов. Примем для определенности, что имеется n типов региональ-

64

ных проектов (социальной защиты, охраны окружающей среды, строительства дорог и т.д.), к реализации которых желательно привлечь средства частных фирм. Однако, проекты могут быть экономически невыгодны для частных фирм, поскольку отдача от них (эффект на единицу вложенных средств) меньше единицы.

Обозначим эффект от проектов на единицу вложенных средств для

i-ой фирмы через ai (ai < 1, i =1,n ).

Региональный бюджет ограничен и явно недостаточен для реализации необходимого числа проектов. Однако частные фирмы не прочь получить бюджетные деньги или льготный кредит. Идея смешанного финансирования состоит в том, что бюджетные сред- ства или льготный кредит выдаются при условии, что фирма обя- зуется выделить на проект и собственное финансирование. Как правило, на практике фиксируется доля средств, которую должна обеспечить фирма (например, 20% средств выделяется из бюджета, а 80% – составляют собственные средства фирмы). Однако, такая жесткая фиксация доли бюджетных средств имеет свои минусы. Если эта доля мала, то будет незначительным и объем частных средств, а если велика, то, во-первых, желающих вложить собст- венные средства будет слишком много, и придется проводить дополнительный отбор (например, на основе конкурсных меха- низмов), а во-вторых, уменьшается эффективность использования бюджетных средств. Ниже рассматривается механизм смешанного финансирования с гибко настраиваемой величиной доли бюджет- ного финансирования.

Дадим формальную постановку задачи разработки механизма смешанного финансирования. Имеются n фирм – например, потен- циальных инвесторов в программы социального развития региона.

Имеется также централизованный фонд финансирования программ развития. Каждая фирма предлагает для включения в программу социального развития проекты, требующие суммарного финанси- рования Si. Эти проекты проходят экспертизу, в результате которой определяется их социальная ценность fi(Si). Помимо социальной ценности, предлагаемый фирмой пакет проектов имеет экономиче- скую ценность ϕi(Si) для фирмы. На основе заявок фирм центр (менеджер проекта, руководство региона и т.д.) определяет объемы финансирования проектов фирм {xi} (как правило, xi ≤ Si), исходя из ограниченного объема бюджетных средств R. Процедура

65

{xi = πi(S), i =1,n } называется механизмом смешанного финанси-

рования. Дело в том, что недостающие средства yi = Si – xi фирма обязуется обеспечить за свой счет. Таким образом, интересы фир- мы описываются выражением:

(1) ϕi(Si) – yi,

где ϕi(Si) – доход фирмы (если фирма берет кредит yi в банке, то учитывается процент за кредит). Задача центра заключается в том, чтобы разработать такой механизм π(S), который обеспечит мак-

равновесные стратегии фирм (точка Нэша соответствующей игры). Рассмотрим линейный случай, когда ϕi(Si) = ai Si, fi(Si) = bi Si,

ограничения общности, что R = 1. Заметим, что в данном случае может иметь место xi(S) > Si (фирма получает средств больше, чем заявляет). Будем считать, что в этом случае разность xi(S) – Si остается у фирмы.

Определим ситуацию равновесия Нэша. Для этого подставим

(2) в (1) и определим максимум по Si выражения

66

где Q = åqi . При этом должно, очевидно, выполняться условие

i

Si* ³ 0 или

(4) Qqi < n1-1, i =1,n .

Если это условие нарушается, то соответствующие фирмы вы- бывают из состава претендентов. С новыми значениями Q и n вычисления следует повторить. Если при этом появляются новые фирмы, для которых нарушается (4), то эти фирмы также выбыва- ют, и т.д. За конечное число шагов будет получена ситуация рав- новесия, такая, что для всех фирм выполняется (4). Пусть фирмы упорядочены по возрастанию qi, то есть q1 £ q2 £ ... £ qn. Для опре- деления числа фирм – претендентов на участие в социальных программах развития региона необходимо найти максимальное k

Нетрудно определить, что максимальное k = 3. Действитель-

но:

q1 + q2 = 0,3 > q2 = 0,2 , 1

в то же время

q1 + q22 + q3 = 0,3 = q3 = 0,3 .

67

Таким образом, претендентами на участие в программе по схеме смешанного финансирования являются первые две фирмы.

Если bi = li для всех i, то суммарный эффект от программы состав-

ляет (с учетом R = 1) L(S ) = (n -1) = 3 1 , а суммарное финанси-

Q3 3

рование S = 2 79 . Таким образом, финансирование программы в 2 79 раза превышает бюджетные средства. Заявки фирм в равнове-

сии: S1 = 2 92 , S2 =195 .

В рассмотренном примере мы взяли li = bi, i = 1,n . Поставим

задачу определить механизм прямых приоритетов, обеспечиваю- щий максимум социального эффекта. Необходимо определить

приоритеты {li} таким образом, чтобы суммарный эффект был

максимальным. Задача сводится к определению {li ³ 0} таких что

величина

j

Соответственно l0i = 1α-i0ai ,i =1,n , (с точностью до постоян-

ного множителя). Интересно отметить, что в случае двух фирм оптимальные приоритеты не зависят от коэффициентов при функ- циях социального эффекта b1 и b2.

68

Рассмотрим второй пример, в котором определим оптималь- ные приоритеты для задачи предыдущего примера. Для случая

что больше 31/3. Увеличилось и суммарное финансирование до 31/8.

При оптимальных приоритетах может измениться число фирм

– претендентов на участие в программе. Поэтому необходимо проверить варианты с тремя фирмами и более. Рассмотрим вариант с тремя фирмами. Имеем:

p1 = 0,1; p2 = 0,2; p3 = 0,3; β1 = 1/6; β2 = 1/3; β3 = 1/2;

Поскольку все {αi0} меньше 1/2, то условия (4) выполнены. Подставляя в (6), получаем:

Как видим, эффективность механизма смешанного финанси- рования увеличилась. Рассмотрим случай четырех фирм. Имеем:

p1 = β1 = 0,1; p2 = β2 = 0,2; p3 = β3 = 0,3; p4 = β4 = 0,4;

Условия (4) по-прежнему выполняются. Суммарный социаль- ный эффект составит:

Поскольку социальный эффект опять увеличился, необходимо проверить случай n = 5. Имеем:

p1 = 0,1; p2 = 0,2; p3 = 0,3; p4 = 0,4; p5 = 0,5;

69

Условие (4) не выполняется для пятой фирмы. Поэтому опти- мальное решение включает четыре фирмы-претендента с суммар- ным социальным эффектом 45/24. За счет выбора оптимального механизма смешанного финансирования удалось увеличить соци- альный эффект примерно на 25% при том же объеме бюджетного финансирования.

Рассмотрим теперь нелинейный случай. Примем, что эффект от реализации проектов для i-ой фирмы составляет

(8) ϕi (Si )- yi = α1 Siα ri1−α , 0 < α <1.

Вэтом случае интересы фирмы описываются выражением

(9)ϕi (Si ) − yi = α1 Siα ri1−α − (Si − xi ) .

Проведем анализ механизма прямых приоритетов

Примем, что имеет место гипотеза слабого влияния, согласно

которой фирмы не учитывают влияния своей заявки на общий множитель (åS j )−1 . В этом случае равновесная заявка i-ой фирмы

определяется из условия

70