Основы страховой (актуарной) математики - Г.М.Кошкин
.pdfãäå
|
|
|
1) h |
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
N = |
( |
|
! |
N |
Z |
f( ) (x + ( 1) uhN ) f( )(x) u K(u)du; |
|||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 h |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 < < 1: |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Òàê êàê |
Z |
|
ju K(u)j du < 1; а для каждого x 2 R1 ïðè N ! 1 |
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( ) |
|
|
uhN ) ! f |
( ) |
(x) |
условия 3): |
|
Ñ ó÷å- |
||||
fруемой(x + ( 1) |
|
|
|
|||||||||
|
сходимости выполнены,,и,тоследовательно,условия теоремы Лебега о мажори- |
|||||||||||
том того, что сумма в (6.6.13) равна нулю (из |
j N j = o (hN ) : |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ti |
= 0; i = |
1; : :Лемма: ; 16),.6теперь.4указываетследуетпутьсправедливостьк нахождениюутверждениянепараметрических(6.6.10). оце•-
нок плотности распределения со сколь угодно высокой скоростью сходимости их смещений b (fN (x)). Для этого необходимо использовать ядра
|
|
плотность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
K(uПример) такие, что6.6.K1.(ußäðî) 2 A- ; |
4: |
K(u) 2 A2; åñëè |
|
|
|
|
|||||||||
sup K(u) |
< 1; K(u) = K( u) |
|
|
|
|
|
|||||||||
è |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
u |
|
Z u K(u)du < 1: |
|
|
|
|
|
||||||||
|
Пример 6.6.2. Ядро K(u) 2 A4; åñëè |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
5 |
|
ïðè |
u |
> |
1; |
|
|
|
|
K(u) = 15(3 10u0;+ 7u |
)=2 |
|
; |
ïðè |
jjujj |
1: |
|
|
|||||
ßäðî K(u) 2 A6; åñëè |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
K(u) = 105(5 35u |
2 |
63u4 |
|
33u6)=28; |
ïðè |
|
u |
> |
1; |
|||||
|
|
+0; |
|
|
|
|
|
ïðè |
jjujj |
1: |
Указанные ядра получаются с помощью рекуррентной процедуры, ис- |
|||||
пользующей полиномы Якоби, ортонормированные с весовой функцией |
|||||
(u) = f1 |
u2 |
; juj 1; 0; juj > 1g: K(u) 2 A ; åñëè |
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Xj |
|
|
|
|
K(u) = (u) pj(0)pj(u)(2j + 3)(j + 2)=8(j + 1); |
||||
|
|
=0 |
j + 2 upj+1(u) pj(u) ; |
||
|
|
pj+2(u) = j + 4 |
|||
|
|
|
j + 3 |
|
2j + 5 |
p0(u) = p0(0) = 1; p1(u) = 2u; p1(0) = 0:
81
плотностиЗамечание 6.6.1. Ядра K(u) 2 A ; 4; не обладают свойством ЗамечаниеK(u6).6.20. иЯдрамогут принимать отрицательные значения.
тимальными в классе полиномовK(u) 2ïðèA некоторых; 4; примераограничениях4 являютсяна оп- [20], [21]. K(u)
скоростьОпределениесходимости6.6.3 . Будем говорить, что оценка tN äëÿ t имеет |
|||||||||
äëÿ ÑÊÎ |
2 |
(tN ) |
|
O N |
; > 0 ( в знаках: tN |
2 V N |
;), åñëè |
||
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
справедливо предельное соотношение |
|
|
||||
|
|
|
Nlim |
N u2 (tN ) = C; 0 < C < 1: |
|
|
|
||
|
|
|
!1 |
|
|
|
|
|
|
Определение 6.6.4 . Последовательности |
N |
è |
N называются |
||||||
эквивалентными (в знаках: |
|
|
N N ), åñëè lim j N = N j = 1:
N!1
Теперь покажем, как возможность улучшения скорости сходимости смещениякривой смертейb (f (âx))смыслепозволяетопределенияповышать6.6.3скорость. сходимости оценки
N
вияТеоремалеммы 6.66..46.и1 (оптимальное СКO u2(fN )). Пусть выполнены усло-
мальная |
последовательность. Тогда при |
N ! 1 |
найдется такая опти- |
|||||||||||
|
hN 2 H2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
hN;o = argminhN >0u2 (fN (x)) |
|
2 B2N |
|
|
|
|
(6.6.14) |
||||||
|
|
|
|
; |
||||||||||
|
|
|
|
|
A |
|
|
2 +1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ãäå |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = f(x) Z |
K2(u)du; |
|
B = |
f( )T |
; |
|
|
|||||
|
|
|
! |
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для которой оптимальное СКО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
u2 |
fN (x)jhN =hN;o = u2 (fN;o(x)) O n |
2 |
|
: |
(6.6.15) |
|||||||||
2 +1 |
||||||||||||||
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Â ñèëó ëåìì 6.6.4 è 6.6.3 |
|
u2 (fN (x)) = NhN |
+ B2hN2 + o NhN + hN2 |
: |
|||
|
A |
|
1 |
|
|
Продифференцировав главную часть СКО (6.6.16) по |
hN |
||||
полученное выражение к нулю, находим |
(6.6.16)
и приравняв
1
hN;o |
A |
2 +1 |
= O N |
1 |
: |
(6.6.17) |
|
|
|
|
2 +1 |
||||
2 B2N |
|||||||
|
82 |
|
|
|
|
Подставляя (6.6.17) в (6.6.16), имеем:
|
|
|
|
|
|
|
A 2 B2N |
1 |
|
|
|
|
A |
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 +1 |
|
|
|
|
|
2 +1 |
|
|
|
||||||||
|
u2 (fN;o(x)) |
|
|
|
|
|
|
|
+ B2 |
|
|
|
= |
||||||||||||
|
N |
|
A |
|
2 B2N |
||||||||||||||||||||
|
N |
2 |
B 2 +1 "(2 )2 +1 |
+ 21 |
|
2 |
# = O N |
2 +1 |
|
||||||||||||||||
= |
|
|
|
: • |
|||||||||||||||||||||
|
|
A 2 +1 |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 +1 |
|
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, из теоремы 6.6.1 следует, что при ! 1
fN;o(x) 2 V N |
2 |
! V N 1 : |
(6.6.18) |
2 +1 |
|||
Из (6.6.18) видно, что в смысле определения 6.6.3 скорость сходи- |
|||
|
|
а такжеможетоценокдостичьфункцийско- |
|
ростимости оптимальнойсходимостипараметрическихоценки кривой смертейоценок,fN;o(x) |
|
||
распределения FN (x), FfN (x) и функций надежности sN (x), sfN (x). |
6.7 Нахождение оптимальных параметров размыто- |
||||||
сти в ядерных оценках кривой смертей |
|
|||||
Одной из основных проблем при непараметрическом оценивании плот- |
||||||
ностей |
|
ýòî |
нахождение |
оптимального |
значения |
|
hN;o (X1 |
; : : : ; XN ) |
для определенного набора |
X1; : : : ; XN |
|
||
указывает путь к нахождению оптимального значения параметра.Теорема 6.6.1 |
||||||
адаптивной ядерной оценки |
|
|
hN;o |
|||
са, определенного условиями 1), 2) леммы jhN =hN;o |
|
|||||
|
|
|
fN;o(x) = fN (x) 6.6.4. Отметимплотностейтакже,из класчто- |
путемлеммывыбора6.6.4, можноядра улучшитьK(u) из классаскоростьядер,сходимостиудовлетворяющихСКО оценкиусловию 3)
(см. (6.6.18)). Из (6.6.14) видно, что последовательность |
fN;o(x) |
|
зирующую главные части асимптотического СКО, |
|
hN;o |
|
трудно выписать,минимив- |
явноми ее производнуювиде, так как она выражается через неизвестную плотность
( )
В этом разделе рассмотрены-го порядка fметоды(x). адаптивного ядерного оценива-
ния плотностей, которые делятся на два основных типа. |
|
|
К первому типу относятся методы, связанные с оцениванием по вы- |
||
борке неизвестных параметров главной части асимптотического разло- |
||
жения некоторого критерия качества (например, нахождение |
hN;o ïó- |
|
тем оценивания неизвестных констант |
|
|
Методы нахождения оптимального параметраA è B в (6размытости.6.14)). |
путем непо- |
средственной минимизации некоторого критерия (например, видоизмененного критерия максимума правдоподобия, который рассмотрим ниже) относятся ко второму типу.
83
Первому типу принадлежит параметрический метод, исследованный |
|||||||||||||||||||
в работах [22], [23] для одномерных плотностей и критерия |
|
||||||||||||||||||
JN = E 0Z1 |
(fN (x) f(x))2 dt1. Согласно [18], [24], если K(u) îãðà- |
||||||||||||||||||
@ |
|
|
|
A |
|
K(u) |
|
2, f(x) |
|
|
|
||||||||
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 A |
|
|
|
|
|
|
|
ная и дважды непрерывно-дифференцируемая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ниченное симметричное ядро-плотность, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ограничен- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
плотность и |
|
Z1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(f00(x))2 dx < |
|
1, òî ïðè hN 2 H2: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
||
|
|
|
|
ZR1 |
u2K(u)du |
|
|
|
|
|
|||||||||
JN (NhN ) 1 |
ZR1 |
K2(u)du + 4hN4 |
2 |
ZR1 |
(f |
00(x)) dt: |
|||||||||||||
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Из (6.7.1) следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.7.1) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
hN;o = C N ZR1 |
(f00(x))2 dx 1=5 |
; |
|
|
|
|
(6.7.2) |
||||||||||
где коэффициент C = ZR1 |
K2(u)du ZR1 |
u2K(u)du 2 зависит толь- |
ко от выбранного ядра K(u). Таким образом, неизвестной величиной в
(6.7.2) является интеграл ZR1 |
(f00(x))2. dx, который, например, для нор- |
||||||
мальной плотности равен 3= |
|
8p |
|
|
|
|
|
5 |
Z |
||||||
В работах [25], [23], [30], |
|
|
|
|
|||
|
[31], [53] интеграл |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
(f00(x))2 dx оценивается с помощью непараметрических методов. В данномR1 случае процедура
строятсяпостроенияоценкиадаптивнойинтегралаядернойZ оценки состоит из двух этапов: сначала
(f00(x))2 dx, затем, используя эти оценки
R1
в формулеПрипараметрическом(6.7.2), оцениваетсяметоденеизвестнаяадаптивногоfядерного(x). оценивания неиз-
бежно возникает необходимость вынесения предположения о принадлежностиданного методаf(x) кявляетсянекоторомуто,параметрическомучто, если предположениесемействуневерно,.Недостаткомто мы
получим неоптимальную по скорости сходимости (в смысле выбранного критерия) оценку.
При построении адаптивных ядерных оценок с привлечением непараметрических методов снова возникает задача нахождения параметров непараметрических оценок, которая является аналогичной по сложности той, которую решаем.
84
Указанных выше недостатков удается избежать, если выбирать параметр h эмпирическийN так,критерийчтобы максимизировать.Данная процедура(минимизировать)относится ко второмунекоторыйтипу
методов адаптивного ядерного оценивания. Отметим критерий, впервые примененный для ядерной оценки плотности и описанный в работах [29], [52], который основывается на принципе максимума правдоподобия (см. также обзор [27]). Согласно этим работам параметр h
условия максимума эмпирической функции правдоподобия:N;o выбирается из
hN;o = hN;o (X1; : : : ; XN ) = argmaxh>0 |
" N |
fN 1(Xi)#; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
iY |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
N 1 |
|
|
|
|
N 1 |
|
|
h |
|
|
|
i |
|
(N 1)h j=1;j=i |
|
|||||||
f |
|
(X |
) = |
1 |
X6 |
K |
Xi Xj |
; |
|||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.7.3)
(6.7.4)
hN;o используется при построении адаптивной
fN;o(x) = fN (x)jh =h
образом, называются кросс-проверочнымиN N;o . Оценки,ядернымиполучаемыеоценками плотноданным-
ñòè.В монографии [28, гл. 6.4] изучены проблемы состоятельности кросспроверочных оценок, сделан обзор работ, посвященных методам кросспроверки.
6.8 Оценивание средних |
|
e ; ex; ex:ne; ex1:x2 и дисперсий |
|
D X; D T (x) |
|
Сначала рассмотрим идеологию статистического оценивания на при- |
|||||||
мере простейшей актуарной вероятностной характеристики среднего |
|||||||
времени жизни |
|
|
|
|
|
|
|
e : |
|
Z01 x dF (x) = Z0 |
1 s(x) dx; то в качестве оценок |
||||
Òàê êàê e = E X = |
|||||||
подстановок естественно взять |
|
|
|
||||
e = Z01 x dFN (x) èëè e = Z01 sN (x) dx: |
|
|
|||||
|
|
|
|
b |
|
|
|
Легко убедиться, что эти оценки совпадают между собой. Действи- |
|||||||
b |
|
|
|
b |
|
|
|
тельно, |
1 |
|
1 N |
|
1 N |
||
e = Z0 |
|
|
|||||
x N i=1 (x Xi) dx = |
N i=1 Xi = x; |
||||||
b |
|
|
|
X |
|
|
X |
|
|
85 |
|
|
|
1 1 |
N |
1 N |
Xi |
|
e = Z0 N |
i=1 I(Xi > x) = |
N i=1 Z |
dx = x: |
|
b |
X |
|
X |
|
b |
|
|
|
|
Теперь можно синтезировать оценки для более сложных актуарных характеристик. Например, из представлений дисперсий
|
2 |
D X = E(X ex) |
|
Z 1
2
= (x e ) dF (x);
0
D X = 2 Z01 x s(x) dx (e )2; |
|||||||
следует, что соответственно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
N |
||
|
d |
|
|
Xi |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|||||
DX = N |
(Xi x)2; |
||||||
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
DX = 2 Z |
1 |
1 |
N |
|
|
|
|
|
xN |
XI(Xi > x) dx (x)2 = |
d
d
0 |
i=1 |
|
NN
=N1 XXi2 (x)2 = N1 X(Xi x)2:
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
Z0 |
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Из формулы |
ex= |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
s(x + t) dt получаем, что |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
s(x) |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 1 |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ex = sN (x) Z0 |
|
N i=1 I(Xi > x + t) dt = |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
(Xi x)I(Xi x>0) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
= sN (x) N i=1 |
Z0 |
|
|
|
|
dt = |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
N |
(Xi x)I(Xi x > 0), N |
I(Xi x > 0): |
|
(6.8.1) |
||||||||||||||||||||
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В области |
|
|
|
|
оценка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ет нулевое[X |
|
; ) |
|
|
|
поэтому неврядеопределенаслучаев(ееимеетзнаменательсмысл применятьпринима- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
значение),(N 1 |
|
|
|
|
bx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
вместо (6.8.1) следующую усложненную модификацию: |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
~ |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
N |
|
|
x |
|
X |
i |
|
|
|
e |
= |
(X |
i |
x)I(X |
i |
x > 0) |
|
S |
|
|
|
: |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x |
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
aN |
|
|
|||||||||
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
86 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеем: |
|
|
|
|
|
|
ex:ne |
|
|
|
|
|
n |
s(x+t) dt; D T (x) è Dfmin(T (x); n)g |
||||||||
|
|
|
|
|
|
= s(x) Z0 |
||||||||||||||||
Рассуждая аналогично, для |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
Z0 |
n 1 |
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ex:ne = sN (x) |
|
N i=1 I(Xi > x + t) dt = |
|
|
|
||||||||||||||||
|
d |
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
N |
|
min(n;Xi x)I(Xi x>0) |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
= sN (x) N i=1 Z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt = |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
N min(n; Xi x)I(Xi x > 0), N |
I(Xi x > 0); |
|
|||||||||||||||||||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xi |
|
|
|
|
|
|
||
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
D T (x) = |
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ex)2 |
; |
|
|
|||
|
Xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
d |
|
(Xi x)2I(Xi x > 0) |
^ |
|
|
|
|||||||||||||||
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
N |
|
|
|
x Xi |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
d |
|
|
|
i=1 S |
|
aN |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
D min(T (x); n) = |
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ex)2 |
: |
||||
Xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
d |
|
(min(n; Xi x))2I(Xi x > 0) |
|
^ |
|
||||||||||||||||
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
x Xi |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
d |
|
|
|
|
i=1 S |
aN |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В заключение рассмотрим особенности применения рассмотренных |
||||||||
выше приемов оценивания в коллективном страховании. Например, в |
||||||||
качестве оценки |
|
|
||||||
|
|
|
ex1:x2 можно взять |
|||||
ex1:x2 = |
1 |
|
|
1 |
P^ fmin(X x1; Y x2) > tg dt = |
|||
sN (x1; x2) |
Z0 |
|||||||
d |
|
|
|
|
|
N |
|
|
1 |
1 1 |
Ifmin(Xi x1; Yi x2) > tg dt = |
||||||
= sN (x1 |
; x2) Z0 N i=1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
N |
Z0min(Xi x1;Yi x2) dt = |
|
|
|
= sN (x11; x2) N i=1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
1 |
|
N |
|
|
|
|||
|
Xi |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
= sN (x1 |
|
|
min(Xi x1; Yi x2)Ifmin(Xi x1; Yi x2) > 0g; |
|||||
; x2) N |
||||||||
|
|
|
=1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
87 |
|
1 |
N |
ãäå sN (x1; x2) = |
|
IfXi x1 > 0g IfYi x2 > 0): Заметим, что |
N |
X
приведенная формулаi=1имеет смысл и в случае, когда случайные велизависимостьчины X и Y статистическинеобходимоучитывать,связаны междунапример,собой.приОчевидно,страхованиичто такуюрод-
ственников, работников с одного предприятия и т.п.
6.9 Асимптотическая нормальность оценки функции интенсивности
Так как параметры предельных распределений оценок функций интенсивности выражаются через ковариации оценок функций надежности и плотности распределения, то в этом пункте найдем предельные ковариационные матрицы этих оценок.
Обозначим: bN = (b1N ; : : : ; bsN ) вектор оценок,
C(bn) = " cov(b1:N: :; b1N ) |
:: :: :: |
cov(b1:N: :; bsN ) |
#: |
cov(bsN ; b1N ) |
: : : |
cov(bsN ; bsN ) |
|
Найдем предельную ковариационную матрицу оценок плотности и функции надежности.
Лемма 6.9.1 (ковариационная матрица оценок fN ; sfN ). Åñëè f(x) 2 N0;1 (R) ; sup f(x) < 1; ядро K(u) 2 A; выполнены условия леммы
x2R1+
6.3.1 è |
hN 2 H2; |
òî |
RR1 |
|
|
|
Nlim |
NhN C (fN (x); sN (x)) = f(x) " |
K |
2 |
0 |
||
0(u)du |
||||||
|
|
f |
|
|
|
0 |
!1 |
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно (6.4.1) и (6.6.8)
#
= : (6.9.1)
cov (sN (x); sN (x)) = DsN (x) = N s(x) (1 s(x)) + o N |
; |
|
||||||||||||||
f |
f |
|
f |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
K2(u)du + o |
NhN |
; |
||||||||
cov (fN (x); fN (x)) = DfN (x) = NhN |
Z |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f(x) |
|
|
|
1 |
|
|
|||
следовательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
nh |
|
cov (f |
(x); f |
|
(x)) = f(x) K2 |
(u)du; |
|
|
|||||||
N!1 |
|
N |
N |
|
N |
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
88 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Nlim NhN cov (sN |
(x); sN (x)) = Nlim |
|
|
hN s(x) (1 s(x)) = 0: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Далее, |
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
f |
|
|
|
|
|
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
cov (fN (x); sN (x)) = |
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
f(y)dy |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Nh |
N |
|
h |
|
a |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Z |
|
|
|
|
N |
|
|
N |
y |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(y)dy3: |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1K |
x y |
|
f(y)dy 1 |
|
x y |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
h |
|
a |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Z |
|
|
N |
|
|
|
|
|
Z S |
N |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Òàê êàê |
S( ) |
ограниченная функция, то |
|
|
sup |
|
S(x) C < 1 |
è, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2R1+ |
|
||||||||||||||
таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
hN |
|
S |
|
|
aN |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
NhN Z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
I |
|
|
= |
|
|
1 |
|
|
|
K |
|
|
x y |
|
|
|
|
x |
y |
f(y)dy |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
NhN Z0 |
|
hN |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
1 |
|
|
K |
|
|
x y |
|
|
|
f(y)dy: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
(6.6Согласно.3)и (6.3.(62),.6получаем.3),имеемприпри N ! 1: I1 |
|
= O N 1 |
: Далее, учитывая |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N ! 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
hN |
|
|
|
|
1 |
|
|
aN |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
NhN Z0 |
|
|
|
|
|
Z0 |
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1 |
|
K |
x |
y |
f(y)dy |
|
|
|
|
|
x y |
f(y)dy = O(N 1); |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
cov (fN |
(x); sN |
(x)) = cov (sN (x); fN (x)) = O N |
1 |
|
: |
|
|
(6.9.2) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Лемма 6.9.1 доказана. |
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sN |
(x) |
|
|
|||||||||||||||
а в Выбираякачестве оценкивf |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.3.1), |
|||||||||||||
|
качествеплотностиоценки функцииядернуюнадежностиоценку оценку |
f |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
им оценку подстановки функции интенсивности |
fN (x) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.6.2), постро- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
(x) = |
fN (x) |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.9.3) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sfN (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оценка (6.9.3) представляет собой случайную дробь. Очевидно, что исследовать свойства оценки N (x) труднее, чем оценок числителя и
89
знаменателя. В связи с этим, при нахождении предельного распредекотораяления оценкиприведена(xâ) приложениибудемиспользовать4 как теорематеорему3П.2.Чтобы1.1из применить[32,c. 20],
N
теорему 3П, найдем предельное распределение двумерного случайного
вектора p
NhN (fN (x) f(x); sfN (x) s(x)) :
Для нахождения предельного распределения двумерного случайного вектора нам потребуется центральная предельная теорема в схеме серий, которая сформулирована для двумерного случая и приведена в приложении 4. N
ностьВведемнезависимыхобозначения:одинаковоf ; распределенныхg ; N = 1;двумерных2; : : : последовательвекторов в-
j;N j;N j=1
схеме серий (распределение ( j;N ; j;N ) зависит от N); N = NE ( 1;N ; 1;N )T ( 1;N ; 1;N ) ;
p
здесь T знак транспонирования; k( ; )k = 2 + 2:
|
Теорема 6.9.1 . Пусть |
1) плотность f(z) 2 N ;1 (R) ; |
|||||||||||||||||||
|
x2R1 |
|
|
|
(x) < 1;ïðè |
|
|
|
|
|
|
|
|
K(u) 2 A ; |
|||||||
2) sup f(m) |
|
|
m = |
0; |
; |
3) ÿäðî |
|
||||||||||||||
4) 1 |
|
|
|
(x) = o x |
|
|
x |
|
|
; |
5) выполнены условия леммы 6.3.3; |
||||||||||
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
! 1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(aN + hN ) = 0: |
|
||||||||
|
|
N |
|
|
|
|
2; |
NhN |
|
||||||||||||
мальное |
|
|
lim |
p |
|
|
|
|
|
имеет двумерное предельное нор- |
|||||||||||
6) h |
|
2 H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда вектор |
|||||
p |
|
|
|
N!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
(0; 0); |
|
; |
|
предельная ковариаци- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
распределение |
|
|
s(x)) |
|
|
ãäå |
|
||||||||
|
NhN (fN (x) f(x); sN (x) |
g |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fN f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
онная матрица, определенная в |
(6.9.1). |
|
|||||||||||||||||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о. Представим |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
(fN |
(x) f(x); sN (x) s(x)) = |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
NhN |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
p
=NhN (fN (x) EfN (x); sfN (x) EsfN (x)) +
p
+ NhN (b (fN (x)) ; b (sfN (x))) : (6.9.4)
муВтороевектору:слагаемое в правой части (6.9.4) сходится при N ! 1 к нулево-
p |
NhN |
(b (fN (x)) ; b (sN (x))) = p |
NhN |
(O (hN ) ; O (aN )) = |
|||
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
q |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
p
= O Nh2N +1 ; O NhN aN ! (0; 0):
90