Механизмы функционирования многоуровневых организационных систем - Новиков Д.А

Если функция дохода центра H(y) = å α yi, функция затрат АЭi –

i

ci(yi) = yi2 /2βi, то гарантированная эффективность системы стимулирова-

ния, реализующей план x при наблюдении состояний АЭ с погрешно- стью, равна:

Kg(x, δ) = α å (xi – δi) – å ci(xi) = å (α xi – xi2 /2βi ) – α å δi,

количество информации, получаемое при измерении состояния АЭ равно [14]: Ii(δi) = ln i – ln δi. Ограниченность возможностей центра по пере-

работке информации накладывает на совокупность ошибок измерений

следующее условие: å Ii(δi) ≤ H0.

i

При заданном фонде суммарного стимулирования (фонде заработ- ной платы) R задача стимулирования в рассматриваемой АC со слабо связанными АЭ имеет следующий вид:

При выбранном виде целевых функций задача стимулирования рас- падается на две несвязанные задачи – определения оптимального плана и определения оптимальной точности измерений состояний АЭ.

второй задачи: δi = exp ( H 0 / N), где H 0 = å ln i – H0.

i

Содержательно оптимальные планы совпали с планами, оптималь-

ными в задаче стимулирования с точными измерениями состояний АЭ (см. раздел 1.3 и другие примеры), а оптимальная точность измерений оказалась одинаковой для всех АЭ, что обусловлено одинаковым вкладом всех АЭ в целевую функцию центра.

71

Если все АЭ одинаковы, то максимальная гарантированная эффек- тивность стимулирования равна:

K maxg (N) = α 2RβN – R – α N exp ( – H0 / N),

Функция (N) вогнута по N, следовательно, существует опти-

мальный при заданных ограничениях "размер" активной системы. ∙ Рассмотренные в настоящем разделе частные модели ни в коем слу-

чае не следует рассматривать как некий полный комплекс моделей сти- мулирования, отражающих информационные эффекты в иерархических многоуровневых АС. Нашей целью, скорее, было, с одной стороны, максимально убедительно продемонстрировать наличие информационно- го фактора, а с другой – призвать специалистов по управлению социаль- но-экономическими системами, психологии, теории информации и др. к

дальнейшему теоретическому и практическому исследованию этого богатейшего класса задач.

1.7. УНИФИЦИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ СТИМУЛИРОВАНИЯ

Рассматриваемые в предыдущих разделах задачи стимулирования заключались в определении зависимости поощрения или наказания каждого конкретного активного элемента от результатов его деятельно- сти. Такие системы стимулирования в [22] было предложено называть индивидуальным стимулированием. В отличие от индивидуального стимулирования, центр может использовать одну и ту же для всех АЭ зависимость поощрения от результатов деятельности (выбираемые раз- личными АЭ действия при этом, естественно, могут быть различными). Если зависимость выплат от действий и/или результатов деятельности одинакова для всех АЭ (или их части), то такую систему стимулирования назовем унифицированной.

Как отмечалось во введении, привлекательность унификации управ- ления заключается в снижении информационной нагрузки на управляю- щие органы (позитивное влияние информационного фактора). В то же время, использование "уравниловки" может привести к снижению эффек- тивности управления. Поэтому исследуем более подробно преимущества и недостатки унифицированных систем стимулирования.

72

Рассмотрим задачу синтеза унифицированной системы стимулиро- вания в двухуровневой АС. Целевая функция центра имеет вид:

(1.7.1) fi(yi) = s(yi) – ci(yi).

Пусть требуется использовать унифицированную систему стимули- рования из заданного класса, например – скачкообразную систему стиму- лирования (С-типа и один план для всех АЭ [81]), пропорциональную систему стимулирования (L-типа с единой ставкой оплаты [81]) и т.д.

Рассмотрим задачу синтеза унифицированной системы стимулиро- вания первого рода, в которой центр назначает общий для всех АЭ план и использует унифицированную систему стимулирования С-типа.

Если целевая функция центра монотонна по действиям всех актив- ных элементов и нет ограничений на стимулирование то, очевидно, следует назначать максимальный допустимый план. Отметим следующий качественный эффект. Использование унифицированной системы стиму- лирования фактически сводит непрерывную задачу к дискретной –

характерными точками являются правые границы множеств реализуемых действий АЭ – назначать планы, отличные от одной из этих точек, не имеет смысла и, более того, не эффективно [22,24,81].

Поясним последнее утверждение. Если при индивидуальном стиму- лировании в АС со слабо связанными элементами увеличение ограниче- ния на суммарное стимулирование, условно говоря – на фонд заработной платы (ФЗП), приводит к (непрерывному) изменению эффективности стимулирования, то в АС с унифицированными системами стимулирова- ния дело обстоит иначе. В силу отмеченной выше "дискретности" соот- ветствующей задачи стимулирования, увеличение (в определенных пределах) ФЗП может не изменять оптимального плана и, следовательно, снижать эффективность управления. Другими словами, существует минимальная величина (пороговое значение) увеличения суммарного ФЗП, на которое система реагирует (см. алгоритм (1.7.5)-(1.7.7), а также подробное описание модели в [26]). Аналогичный эффект имеет место и в задаче второго рода, к описанию которой мы переходим. Сначала, в качестве иллюстрации, рассмотрим следующий пример.

Пример 1.7.1. Пусть ставка оплаты g ³ 0 одинакова для всех актив- ных элементов, то есть si(yi) = g yi. Если функция затрат i-го АЭ:

ci(yi) = bi y2i , bi ³ 0, то максимум его целевой функции достигается в точке

73

зависимость его полезности от ставки оплаты имеет вид:

i=1 β i

Оценим теперь ту выгоду или те потери, которые центр несет из-за необходимости использования унифицированной системы стимулирова- ния. Для этого вычислим значение целевой функции центра при исполь- зовании индивидуального пропорционального стимулирования (когда для

каждого АЭ устанавливается индивидуальная ставка заработной платы

от b. Содержательно последнее условие вполне соответствует рассужде- ниям, приводимым в теории предельной полезности: должна быть выбра- на такая точка, в которой приращение дохода центра от увеличения

действия каждого активного элемента в точности равно приращению затрат на стимулирование [81,138]. При использовании оптимальных индивидуальных систем стимулирования L-типа максимальное значение

74

методом решения одноэлементной базовой задачи стимулирования вто- рого рода [19,81] состоит из трех этапов.

На первом этапе для каждого k = 0, N определяются (условимся, что, если верхний индекс суммирования меньше нижнего, то вся сумма равна нулю) следующие зависимости:

Содержательно, k – число АЭ, выполняющих план. В силу предпо- ложения упорядоченности АЭ по затратам, если k-му АЭ выполнять план выгодно, то это выгодно и всем АЭ, имеющим меньшие номера в упоря- дочении затрат. Таким образом, имеем N+1 возможную комбинацию (начиная с того, что ни один из АЭ не выполняет план, и заканчивая тем, что все они его выполняют). Качественно, введение предположения об упорядоченности АЭ по затратам уменьшает число возможных комбина- ций – в общем случае при фиксированном плане число этих комбинаций порядка 2N. Более того, если упорядочение АЭ по затратам зависит от их действий, то число возможных комбинаций еще более возрастет.

На втором этапе для каждого k = 0, N определяется максимум (1.7.5) по множеству допустимых планов, то есть ищется какой план следует назначить, если известно, что выполнять его будут заданное число АЭ:

(1.7.6) Φ* = max Φ (x).

k k x A

На третьем шаге определяется набор АЭ (их число в случае упоря- доченности затрат), выполнение плана которыми доставляет максимум целевой функции центра:

(1.7.7) k* = arg max Φ*k .

k =0,N

Эффективность стимулирования при этом равна K3 = Φ*k* .

Таким образом, в результате применения описанного алгоритма оп- ределяется число АЭ, которые выгодно стимулировать в смысле побуж- дения к выполнению плана (это первые k* АЭ в их упорядочении по

затратам) и оптимальный план x* = arg max Φk* (x). Отметим, что рас-

x A

смотренный алгоритм соответствует отсутствию ограничений на унифи- цированную функцию стимулирования. Если присутствуют ограничения сверху на индивидуальные поощрения АЭ или на суммарный фонд сти- мулирования, то на втором и третьем этапах максимумы должны вычис-

76

ляться по таким планам и комбинациям АЭ, которые удовлетворяют имеющимся ограничениям.

Сравнение эффективности данного унифицированного механизма с эффективностью соответствующего механизма индивидуального стиму- лирования позволяет придти к выводу, что "ценой унификации" является следующая разность:

Если присутствуют дополнительные ограничения на стимулирова- ние, то максимумы в (1.7.8) должны вычисляться по соответствующим множествам. В качестве иллюстрации возможной неэффективности унифицированных систем стимулирования QK-типа в задачах второго рода рассмотрим следующий пример.

Пример 1.7.2. Пусть ci(yi) = bi yi2 , b1 £ b2 £ b3, yi ³ 0, Hi(yi) = aiyi,

i Î I, Тогда " x Î A:

F0(x) = 0; F1(x) = a1x – b1x2; F2(x) = (a1+a2)x – 2b2x2; F3(x) = (a1+a2+a3) x – 3b3x2;

x1* = a1/2b1; x*2 = (a1+a2)/4b2; x*3 = (a1+a2+a3)/6b3;

план, эффективность унифицированного стимулирования равна K3 = 1/4. Эффективность же индивидуального стимулирования – K* = 11/24 > 1/4.

ка 45%. В рассматриваемом примере унификация "обходится" примерно в половину эффекта! ∙

77

Таким образом, в некоторых АС (см. задачи второго рода [81] с сис- темами стимулирования L-типа и С-типа в примерах 1.7.1 и 1.7.2, соот- ветственно) использование унифицированных систем стимулирования может приводить к снижению эффективности. В то же время, в некото- рых АС, точнее – в задачах стимулирования L-типа в АС со слабо связан- ными АЭ, имеющими функции затрат типа Кобба-Дугласа, оптимальны- ми являются именно унифицированные системы стимулирования. В качестве иллюстрации рассмотрим следующий пример, предложенный

si(yi) = gi yi. Таким образом, целевая функция АЭ имеет вид: fi(yi) = gi yi – ci(yi). Вычислим действие, выбираемое АЭ при использовании центром

некоторой фиксированной системы стимулирования: (1.7.9) y*i (gi) = gi1/(α-1) ri,

и определим минимальные затраты на стимулирование, по реализа- ции этого действия:

(1.7.10) Ji(gi) = α1 giα/(α-1) ri.

Пусть центр заинтересован в выполнении активными элементами плана R по суммарному выпуску с минимальными затратами на стимули- рование. Тогда его цель заключается в выборе ставок оплаты {gi} в ре- зультате решения следующей задачи:

N

где W = å ri. Так как оптимальные ставки оплаты одинаковы для всех

i=1

АЭ, то оптимальна именно унифицированная система стимулирования

78

(отметим, что совпадение величин γ *i , i = 1, N , обусловлено специфи-

кой задачи – видом целевой функции, функций затрат АЭ и т.д.). Двойственной к задаче (1.7.11) является задача максимизации сум-

марного выпуска при ограниченном фонде стимулирования:

ì N

ïå y* (γ ) ® max

(1.7.13) íi=1 N i i {γ i} .

ï åϑ (γ ) = R

î i=1 i i

Решение задачи (1.7.13) имеет вид:

то есть в двойственной задаче (естественно) оптимальным решением также является использование унифицированных систем стимулирова- ния. ∙

Более того, унифицированные пропорциональные системы стимули- рования оптимальны (в классе пропорциональных систем стимулирова- ния) в более широком классе АС. Более конкретно, пусть функции затрат АЭ имеют вид:

(1.7.15) ci(yi, ri) = ri ϕ ( yi ),

ri

где ϕ(.) – гладкая монотонно возрастающая выпуклая функция (в примере

1.7.3 ϕ(t) = α1 tα). Тогда получаем, что реализуемое действие определяет-

ся следующим образом: (1.7.16) y*i (γi) = ri ϕ ' -1(γi),

где ϕ ' -1(.) – функция, обратная производной функции ϕ(.) (ср. с (1.7.9)). Минимальные затраты на стимулирование равны (ср. с (1.7.10)):

(1.7.17) ϑi(γi) = ϕ ( ϕ ' -1(γi) ).

Решение задачи типа (1.7.11) для рассматриваемого случая имеет вид (ср. с 1.7.14)):

Таким образом, унифицированные пропорциональные системы сти- мулирования оптимальны в активных системах со слабо связанными АЭ, функции затрат которых имеют вид (1.7.15).

79

Таким образом, во-первых, в многоуровневых активных системах использование унифицированных систем стимулирования (как и систем коллективного стимулирования – см. раздел 1.5) снижает информацион- ную нагрузку на управляющие органы, то есть имеет место положитель- ный информационный эффект (проявление информационного фактора). Во-вторых, иногда эти системы стимулирования оказываются оптималь- ными (см. пример 1.7.3). В-третьих, возможность использования общих

для всех АЭ управляющих параметров оказывается важной в механизмах планирования (см. гипотезу слабого влияния и механизмы открытого управления в [17,22,24] и раздел 2.5 настоящей работы).

С другой стороны, как было показано выше, переход от индивиду-

ального к унифицированному стимулированию может приводить к потере заинтересованности в результатах деятельности и, следовательно, к потере эффективности (условно эти потери можно отнести к фактору агрегирования). Поэтому "цена унификации" (1.7.8) может быть исполь- зована как оценка для сравнения преимуществ, обусловленных информа- ционным фактором и потерь, вызванных наличием фактора агрегирова- ния (см. более подробно обсуждение взаимосвязи факторов в главе 4).

1.8. СТИМУЛИРОВАНИЕ КАК ПЕРЕРАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДОХОДОВ

На практике широко распространено вознаграждение экономических агентов в зависимости от показателей финансовой деятельности органи- зации, в которой они работают. Например, выплата бонусов, льготная продажа акций компании-работодателя, вознаграждения по итогам дея- тельности за отчетный период и т.д. В этом случае задача стимулирова- ния может рассматриваться как задача перераспределения доходов, точнее – распределения дохода центра между ним и активными элемен- тами. Качественно, использование таких систем поощрения позволяет координировать интересы организации в целом и ее членов. Подобные эффекты могут достигаться, когда целевая функция АС (центра, выра- жающего интересы системы в целом) монотонна по значениям целевых функций активных элементов (см., например, [26]), или когда целевая функция АЭ монотонно зависит от значения функции дохода центра. Рассмотрим последний случай более подробно, а именно предположим,

что стимулирование в двухуровневой АС заключается в распределении между АЭ части дохода всей системы, то есть дохода центра от деятель-

80