Достаточные условия существования эквивалентных прямых механизмов планирования в активных системах - Петраков С.Н

æ

Ai

n

ö

s R

n

é n

n +1ù

Gçsi

+

, sC( Ai ) ÷,

т.е.

для

любых

i I

и

таких,

что

si

Î

ê

,

ú

m

è

ø

ëm

m û

выполнено неравенство

æ

i

ö

æ

i

n

ö

G

çsA

+ n +1, G−1i

n+1

(G

i

)

(s))÷

³ G (s) ³ G

çsA

+

, G−1i

n

(G

i

)

(s))÷.

i

i

m

A

C (M

i

i

i

m

A

C ( A

è

s

+ m

ø

è

s

+

ø

m

Рассмотрим некоторый фиксированный s−i

Î Rn−1

и найдем разность

æ

i

n

ö

D(s , s ) = G (s , s ) - G çsA

+

, G−1i

(G i (s , s ))÷.

m

+ m

−i

i

i

−i

i

i

è

i

s

A

C ( A )

−i

i

ø

n

В силу того,

что для любого sI \{i} Î Rn−1

найдется единственный γ ÎÃn−1

такой, что sI \{i} Sγ ,

æ

n

öæ

n ö

æ

n ö2

æ

n ö

J

çs

,

֍s -

÷

- M

çs

-

÷

£ G(s

, s

) - Gçs

,

÷ £

m

I|{i} è

I \{i}

øè

i

m ø

1è

i

m ø

I \{i}

i

è

I \{i}

m ø

æ

γ

n öæ

n ö

æ

n ö2

£ J

çs

, s

−C(γ )

,

֍s

-

÷

+ M

çs

-

÷ .

I|{i} è

C (γ )

m øè

i

m ø

1è

i

m ø

Рассмотрим

механизм

планирования

с

n −1

АЭ,

определяемый

gˆ(s

æ

n ö

n−1

процедурой

планирования

) = g

ç s

,

÷

,

s

Î[0,1]

.

Механизм

I \{i}

I \{i} è

I \{i}

m ø

I \{i}

планирования

gˆ(sI \{i} ) , sI \{i} Î[0,1]n−1

удовлетворяет

условиям

теоремы,

и в

силу

индуктивного

предположения

соответствующая

ему

функция

ˆ

æ

Ai

n

ö

G(s

)

= G

ç s

+

, s

÷ удовлетворяет С.1-С.3. Множества диктаторства

m

I \{i}

I \{i} è

i

I \{i} ø

ˆ

ˆ

механизма gˆ(sI \{i} ) нормальны и Dγ

= G(Sγ ) .

é

n

n +1ù

ˆ

n−1

Пусть для некоторого si Î

ê

,

ú

GI \{i} (s−i , si )Î Dγˆ

,

где вектор γˆ ÎÃ

ëm

m û

существует

и

единствен

в

силу

того,

что

выполнено

С.2.

ˆ

γˆ

ˆ

γˆ

γˆ

В

GC (γˆ) (s)

= gC(γˆ) (sC(γˆ) ,s−C(γˆ) ),

G−C(γˆ) (s) = g−C (γˆ) (sC (γˆ) ,s−C (γˆ) ) + (s−C (γˆ) - s−C (γˆ) ) .

силу того,

что функция G(s−i , si )

непрерывна и возрастает по

si , а функция

æ

Ai

n

ö

Gç s

+

, s

i

÷

глобально

обратима,

множества

точек

i

m

è

C ( A

) ø

γˆ

ì

é

n

n +1ù

ü

ˆ

S

=

ísi

Î

ê

,

ú

G(s−i , si )Î Dγˆ

ý

являются

объединением

замкнутых,

î

ëm

m û

þ

é

n

n +1

ù

< sk+1

непересекающихся отрезков

[sk , sk +1 ] Í

,

, k Q ,

sk

[11].

i

i

ê

ú

i

i

ëm

m û

0

1

что для любых

0

1

ˆ

и

Пусть отрезок [si

, si ] таков,

si Î[si , si ]

G(sI \{i} , si ) Dγˆ

s0

и

s1

являются

граничными

точками

множества

Sγˆ .

Обозначим

i

i

0

0

æ

n

ö

r

= G

(s

−i

, s

),

в

силу

однозначности

G

ç s

,

÷

существует

и

m

I \{i}

I \{i}

i

I \{i}è

I \{i}

ø

0

0

æ

0

n ö

единствен

s

Î S

γˆ

такой,

что r

= G

ç s

,

÷. В силу того, что

g(s)