Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Новосибирский государственный технический университет»
Факультет бизнеса
Кафедра экономической информатики
Расчетно-графическая работа
по дисциплине «Математическое моделирование»
Вариант №16
Выполнил:
Группа: ФБИ – 22.
Преподаватель: Соболева О.Н.
Новосибирск 2015
Содержание
1.Задание №1. 3
2.Задание №2. 5
3.Задание №3. 12
-
Задание №1.
Цены двух видов товаров равны соответственно и денежных единиц. Определить, при каких количествах x и y продаж этих товаров прибыль будет максимальной, если функция издержек имеет вид
.
Решение:
Сумма оборотов 1 и 2 видов товаров записывается следующим образом:
.
Запишем целевую функцию – сумма оборотов двух видов товаров за вычетом издержек: , при ограничениях и x, y – целые числа, т.е. .
В среде приложения MatLab, создадим скрипт для целевой функции, который изображен на рисунке 1.
Рисунок 1 – Функция Prob1_Fun
Текст головной программы с использованием функции fminsearchпредставлен на рисунке 2.
Рисунок 2 – Головная программа для функции fminsearch
Результат выполнения головной программы представлен на рисунке 3.
Рисунок 3 – Результат работы функции fminsearch
Второй вариант решения предполагает использование функции quadprog. Необходимым условием применения данной функции является возможность представления целевой функции в следующей матричной записи:
.
Для нашей задачи:
Ввод данных коэффициентов для матриц и использование функции quadprogпривидены на рисунке 4.
Рисунок 4 – Головная программа для функции quadprog
Результат выполнения головной программы представлен на рисунке 5.
Рисунок 5 – Результат работы функции quadprog
В заключении необходимо домножить значение целевой функции на (-1). Действительно, полученные результаты полностью согласуются с ручными вычислениями:
Условие наличия в точке максимума: – выполняется.
Вычисление значения целевой функции в точке :
Ответ: усл. ед.
-
Задание №2.
Предположим, что для изготовления продукции P1 и P2 требуется использование трех видов ресурсов R1, R2, R3. Количество ресурсов и нормы их расхода на изготовление единицы каждого вида продукции известны и задаются в таблице 1.
Таблица 1 – Нормы расхода ресурсов на изготовление каждого вида продукции
Виды ресурсов |
Количество ресурсов |
P1 |
P2 |
R1 |
37 |
||
R2 |
70 |
1 |
2 |
R3 |
35 |
2 |
2 |
Прибыль, получаемая предприятием от реализации единицы продукции P1 и P2, составляет соответственно и денежных единиц. В задаче требуется составить такой план выпуска продукции видов P1 и P2, при котором прибыль предприятия от реализации всей продукции оказалась бы максимальной.
Решение:
Составим математическую модель задачи:
Скрипт для целевой функции и скрипт для нелинейных ограничений в среде MatLabпредставлены на рисунках 6 и 7 соответственно.
Рисунок 6 – Функция Prob2_Fun
Рисунок 7 – Функция Prob_Nonlin
Аналитическое решение задачи произведено с помощью функции fmincon. Головная программа представлена на рисунке 8.
Рисунок 8 – Головная программа для функции fmincon
Результат выполнения головной программы представлен на рисунке 9.
Рисунок 9 – Результат работы функции fmincon
В заключении необходимо домножить значение целевой функции на (-1).
Графическое решение данной задачи можно разделить на следующие этапы:
-
Построение ОДР задачи.
-
Построение линий уровня целевой функции.
-
Определение, находится ли максимум целевой функции внутри ОДР. Вычисление значения целевой функции – искомый результат.
-
Определение точки касания границы ОДР и линии уровня.
-
Нахождение координат точки касания.
-
Вычисление значения целевой функции в точке касания – искомый результат.
Текст скрипта графического решения задачи представлен на рисунке 10.
Рисунок 10 – Скрипт для графического решения задачи
Результат графического решения задачи представлен на рисунке 11.
Рисунок 11 – Графическое решение задачи №2
Анализ рисунка №2 позволяет сделать ряд следующих выводов:
-
Глобальный максимум целевой функции не принадлежит ОДР.
-
Граница ОДР задана единственным графиком неявной функции .
-
Целевая функция принимает свое наибольшее значение в точке касания границы ОДР и линии уровня (Z≈ 43,5).
Для определения координат точки касания необходимо произвести увеличение 1-ой координатной четверти в месте непосредственного касания. Касание границы ОДР и линии уровня (Z≈ 43,5) представлено на рисунке 12.
Рисунок 12 – Точка касания граничной кривой и линии уровня (Z= 43,5)
Следовательно, . Решение, полученное графическим способом, согласуется с результатом аналитических вычислений.
Однако решаемая задача является задачей целочисленного линейного программирования (), соответственно необходимо произвести округление полученного результата до целых в меньшую сторону: .
Значение целевой функции равно: усл. ед.
Ответ: усл. ед.