Добавил:

strider Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Прикладная механика

Файл:

Vorobyev_kormilitsyn_2015

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.12.2019

Размер:

1.37 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Окончание табл. 3.1

Вари-	Схема,	Длина участка, м			Сосредоточенный мо-				Распределенный мо-
Вари-	Схема,	Длина участка, м				мент, Н·м				мент, Н·м/м
ант	рис. 3.8					мент, Н·м				мент, Н·м/м
ант	рис. 3.8	l1	l2	l3	M1		M2	M3	m1		m2	m3
		l1	l2	l3	M1		M2	M3	m1		m2	m3
21	а	0.4	0.1	0.2	30		70	20	0		0	40
22	а	0.2	0.3	0.2	0		4	0	10		–10	10
23	а	0.3	0.2	0.2	0		–8	6	–40		30	0
24	а	0.1	0.2	0.3	8		0	0	–40		–40	10
25	а	0.4	0.3	0.2	–4		5	0	10		0	–10

4. АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ПРИ ПЛОСКОМ ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИИ, РАССМАТРИВАЕМЫХ ПО СТЕРЖНЕВОЙ РАСЧЕТНОЙ СХЕМЕ

При плоском поперечном изгибе стержня внешние силы расположены в одной плоскости и действуют по нормали к его оси. Совместим с этой плоскостью оси х, z декартовой системы координат. В сечениях стержня возникнет поперечная сила Qz и изгибающий момент My.

Дифференциальные уравнения равновесия элемента стержня устанавливают связь между внутренними и внешними силовыми факторами:

dQ				dM y
z	q	z	,		Q . Эти уравнения используются для проверки правиль-

dx				dx	z

ности построения эпюр Qz и My.

Пример 4.1. На рис.4.1 приведена стержневая расчетная схема элемента

конструкции постоянного поперечного сечения высотой h= 12·10-2 м и ширинойb=6·10-2 м. Стержень закреплен с помощью двух опор. На расстоянии l=0,2м от его левого конца расположена шарнирная неподвижная опора, а на расстоянии 3l - шарнирная подвижная опора. На стержень в плоскости xoz действуют внешние силы: q = 100 Н/м; Р = ql; М = ql2. Допускаемое напряжение материала стержня [σ]=100 МПа.

Требуется: 1) построить эпюры поперечной силы Qz и изгибающего момента My; 2) определить положение опасного сечения и значения наибольших нормальных и касательных напряжений; 3) проверить прочность стержня; 4) определить напряжения в точке С (zc=h/4) сечения на площадке, составляющей угол α = 30° с осью х, 5) определить главные напряжения и положение главных площадок.

Решение. Обозначим реакции опор через А, H, B. Направления реакций выбираем произвольно. Запишем уравнения равновесия стержня:

	Xi 0	H 0,
	i
M ( y, A) 0	Pl M 1,5ql2 2Bl 0 B 0.75ql
i

M ( y,B) 0 3Pl M 0,5ql2 2Al 0 A 1,25ql.

У стержня три грузовых участка. Проведем сечение на первом грузовом участке. Рассмотрим равновесие левой отсеченной части стержня (рис. 4.2):

Zi 0		P Qz 0	Qz P ql 20 Н,
i
M ( y,O1) 0		Px M y 0	M y Px qlx.
		Функция изменяется по линейному закону и
	принимает в граничных точках участка следую-
	щие значения: M y 0 0,			M y l 4 Н м.

Проведем сечение на втором грузовом участке. Рассмотрим равновесие левой отсеченной части стержня (рис. 4.3):

Zi 0 P A Qz 0 Qz A P 5 H. i

M ( y,O2 ) 0	Px A x l M y 0	M y Px A x l .
i

Изгибающий момент изменяется по линейному закону и принимает в граничных точках участка следующие значения:

M y l 4 Н м, M y 2l 0.75ql2 3 Н м.

Проведем сечение на третьем грузовом участке. Сечение делит стержень на две части. Рассмотрим равновесие правой отсеченной части (рис. 4.4):

Zi 0		B q(3l x) Qz 0,
i
		Qz B q(3l x);
M ( y,O3) 0 B(3l x) q(3l x)2 / 2 M y 0,
i
M	y	B(3l x) q(3l x)2 / 2.
	y

На этом участке поперечная сила меняет знак, значит значения изгибающего момента My в сечении, где Qz= 0:

dM y Qz 0 B q(3l x); x 2,25l M y 2,25l dx1

экстремальное

1,125 Н м.

На рис. 4.5 построены эпюры поперечной силы Qz и изгибающего момента My. Следует отметить, что на эпюре My положительные значения принято откладывать вниз, отрицательные – вверх.


Опасным является сечение х = l,					где My = \|My\|max = 4Н·м (рис. 4.5).
Определим		наибольшие		нормальные	напряжения в опасном сечении:
			/ Wy 0, 278 105 Па.
x max	M y	max
Проверим прочность				стержня: x max 0,278 105 Па 1 108 Па.

Условие прочности выполняется.

Определим напряжения в точке С опасного сечения (рис. 4.6):

M yc

z 0,139 105 Па,

J y

Qz S*y

bh 3h

0,313 104 Па.

bz J y

bh3

Напряжения на площадке, составляющей угол α = 30° с осью х, определяем по формулам:

xcos2 xzsin 2 0,93 104 Па ;2x sin 2 xzcos 2 0,76 104 Па.

Определим главные напряжения в точке С:

	0,5				. 0,65 кПа,
	0,5	x	2	4 2	. 0,65 кПа,			14,5 кПа.
1,3		x	x	xz		1	3

Положение главных площадок находим, используя формулу:

tg 2	2 xz	1,625	2 58, 4	1	29, 2 ,	2	90 .

	x						1

Пример 3.2. На рис. 4.7 приведена стержневая расчетная схема элемента конструкции постоянного поперечного сечения высотой h и шириной b; h/b = 2. Стержень закреплен с помощью заделки. На стержень в плоскости xoz действуют внешние силы: q = 200 Н/м; Р = 100 Н; М = 50 Н∙м. Длина участка стержня l =1 м. Допускаемое напряжение для материала стержня

[σ]=200 МПа.

Требуется: 1) построить эпюры поперечной силы Qz и изгибающего момента My; 2) определить положение опасного сечения; 3) из условия прочности стержня определить размеры поперечного сечения b и h.

Решение. В заделке могут возникнуть реакции в виде горизонтальной и вертикальной сил и момента. Горизонтальная реакция в данном случае отсутствует, поскольку нет внешних сил, направленных вдоль оси x. Обозначим реакции в заделке через А и MA.Для нахождения опорных реакций запишем уравнения равновесия стержня:

Zi 0 A ql P 0 A 100 H, i

M ( y, A) 0	M A ql2	2 Pl M 0	M A 50 Н м.
i

У стержня два грузовых участка.

1) Первый грузовой участок: x (0, l) . Проведем сечение на этом участке. В сечении изобразим внутренние усилия Qz и M A, положительные в соответствии с правилом знаков. Рассмотрим равновесие левой отсеченной части стержня (рис. 4.8):

Zi 0 A qx Qz =0 Qz A qx. i

Найдем значения перерезывающей силы на границах участка:

Qz (0) 100 Н, Qz (l) 100 Н.

Запишем уравнение равновесия для моментов относительно точки О1:

M ( y,O1) 0 M y M A qx2 2 Ax 0; M y M A qx2 2 Ax

На границах участка M y (0) 50 Н м, M y (l) 50 Н м.

Найдем экстремум функции My(вершину параболы). Для этого приравняем нулю выражение для перерезывающей силы:

Qz A qxэ 0 xэ Aq 0,5 м,

где xэ – координата, соответствующая экстремуму (принадлежит данному грузовому участку). Экстремальное значение изгибающего момента

M y (xэ ) 75 Н м.

Если xэ не принадлежит данному грузовому участку, то экстремума My нет, и для построения эпюры нужна третья точка. Для этого следует вычислить значение изгибающего момента для любого x (0, l) .

2) Второй грузовой участок: x (l, 2l) .

Проведем сечение на этом участке и отбросим левую часть. В сечении изобразим внутренние усилия Qz и M A, положительные в соответствии с правилом знаков (рис. 4.9). Рассмотрим равно-

весие правой отсеченной части стержня:

Zi 0 Qz 0. i

M ( y,O2 ) 0 M y M 0;

M y M 50 Н м

Эпюры Qz и M A, построенные в соответствии с расчетами, показаны на рис. 4.10.

Определим положение опасного сечения. Опасным является сечение, в котором напряжение x максимально по модулю. Максимальному напряжению соответствует точка, где My = |My|max. Координата опасного сечения

х = 0,5 м, где My = |My|max = 75 Н·м (рис. 4.10).

Рассчитаем из условия прочности размеры сечения стержня. Запишем условие прочности при изгибе: M y max Wи , где Wи – момент сопро-

тивления сечения при кручении (W bh2 6 для прямоугольного сечения и

W r3

4 для круглого). В нашем случае

(bh2) . С учетом

max

условия

h/b = 2, получим: b 3

M y

max

0.83 102 м , h 1.66 102 м .

Полученные значения конструктор должен округлить до ближайших больших значений из ряда стандартных нормальных размеров (см. прил.1):

b = 0,85 см, h = 1,7 см.

Задание 3. На рис. 4.11 и в табл. 4.1 и 4.2 приведены расчетные схемы, геометрические параметры и внешние силовые факторы, вызывающие плоский поперечный изгиб в стержнях.

Требуется:

1.Определить опорные реакции.

2.Используя метод сечений, записать уравнения внутренних усилий Qz и My на каждом грузовом участке.

3.Построить эпюры Qz и My.

4.Определить положение опасного сечения.

5.Подобрать для четных вариантов размеры круглого поперечного сечения стержня, а для нечетных вариантов - прямоугольного поперечного сечения, если h/b= 2. Материал стержня – сталь Ст5.

Таблица 4.1. Параметры расчетной схемы

Вариант		Длина участка, м			Расчетная схема,
Вариант	l1		l2	l3	рис. 4.11
	l1		l2	l3	рис. 4.11
1	0.4		0.1	0.3	а
2	0.4		0.3	0.2	б
3	0.3		0.2	0.1	а
4	0.4		0.2	0.2	б
5	0.3		0.2	0.3	а
6	0.2		0.2	0.2	б
7	0.1		0.3	0.1	а
8	0.1		0.2	0.1	б
9	0.2		0.2	0.3	а
10	0.4		0.1	0.2	б
11	0.1		0.2	0.2	а
12	0.2		0.2	0.2	б
13	0.3		0.1	0.2	а
		28

					Окончание табл. 3.1

Вариант		Длина участка, м			Расчетная схема,
Вариант	l1		l2	l3	рис. 4.11
	l1		l2	l3	рис. 4.11
14	0.3		0.4	0.2	б
15	0.2		0.4	0.1	а
16	0.1		0.3	0.3	б
17	0.1		0.1	0.1	а
18	0.1		0.1	0.2	б
19	0.1		0.2	0.2	а
20	0.2		0.2	0.2	б
21	0.2		0.1	0.1	а
22	0.2		0.3	0.1	б
23	0.3		0.2	0.2	а
24	0.4		0.2	0.1	б
25	0.3		0.3	0.2	а

Таблица 3.2. Внешние нагрузки

Вари-	Сосредоточенная				Сосредоточенный				Распределенная сила,
Вари-		сила,	Н			момент, Н·м				Н/м
ант		сила,	Н			момент, Н·м				Н/м
ант	P1	P2		P3	M1		M2	M3	q1	q2	q3
	P1	P2		P3	M1		M2	M3	q1	q2	q3
1	–25	0		—	6		0	4	0	150	200
2	0	–70		–10	5		3	0	400	0	0
3	30	50		—	0		0	3	–100	0	200
4	0	–40		0	4		0	1	0	100	100
5	–50	10		—	0		0	–1	300	0	0
6	60	0		–40	0		4	0	300	–300	0
7	20	–50		—	–7		0	2	0	0	400
8	20	0		–30	0		2	6	0	0	150
9	0	–60		—	0		0	–3	100	–100	100
10	30	–30		30	5		0	0	100	120	0
11	40	–30		—	0		–6	0	50	0	0
12	–30	0		0	0		0	1,5	140	–90	0
13	50	0		—	0		–2	0	0	100	–80
14	20	–20		0	0		0	3	–200	300	0
15	0	40		—	0		0	4	–300	0	200
16	–40	0		–10	2		0	.0	200	0	160
17	0	20		—	0		–3	0	0	–130	–120
18	0	0		10	3		0	0	0	0	–110
19	30	20		—	0		–2	0	0	–300	60
20	0	20		10	0		–5	2	100	0	0
21	20	10		—	4		2	0	–200	0	0
22	–10	40		0	0		–5	4	300	0	–100
23	0	–50		—	5		0	0	0	150	100
24	40	0		–30	0		2	5	0	300	0
25	30	20		—	0		4	0	0	200	–200
						29

Приложения

1. Ряды номинальных размеров по ГОСТ 6636-69

		Ряд			Дополнительный
Ra 5	Ra 10		Ra 20	Ra 40	размер
1,0	1,0		1,0	1,0
				1,05
			1,1	1,1
				1,15
	1,2		1,2	1,2	1,25
				1,3	1,35
			1,4	1,4	1,45
				1,5	1,55
1,6	1,6		1,6	1,6	1,65
				1,7	1,75
			1,8	1,8	1,85
				1,9	1,95
	2,0		2,0	2,0	2,05
				2,1	2,15
			2,2	2,2	2,3
				2,4
2,5	2,5		2,5	2,5
				2,6	2,7
			2,8	2,8	2,9
				3,0	3,1
	3,2		3,2	3,2	3,3
				3,4	3,5
			3,6	3,6	3,7
				3,8	3,9
4,0	4,0		4,0	4,0	4,1
				4,2	4,4
			4,5	4,5	4,6
				4,8	4,9
	5,0		5,0	5,0	5,2
				5,3	5,5
			5,6	5,6	5,8
				6,0	6,2
6,3	6,3		6,3	6,3	6,5
				6,7	7,0
			7,1	7,1	7,3
				7,5	7,8
	8,0		8,0	8,0	8,2
				8,5	8,8
			9,0	9,0	9,2
				9,5	9,8

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>