- •Омский государственный технический университет
- •Список сокращений и обозначений
- •Краткая история развития теории эмп
- •1. Основные понятия теории электромагнитного поля
- •2. Описание свойств векторных полей
- •2.2. Дифференциальные характеристики физических полей
- •Если в какой-либо точке , то в этой точке находится«исток» поля(рис. 2.5). Там, где, – соответственно«сток». На рис. 2.5. Приведена система положительного и отрицательного сосредоточенных зарядов.
- •2.3.Основные теоремы векторного анализа
- •Теорема м. Остроградского – к. Гаусса Данная теорема расширяет понятие дивергенции для конечного объема.
- •Теорема д. Стокса
- •2.4. Оператор набла и оператор п. Лапласа
- •Некоторые тождества и операции второго порядка.
- •2.5. Классификация векторных полей
- •3. Система уравнений Максвелла
- •3.1. Уравнения Максвелла в интегральной форме
- •3.2. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме
- •3.3. Уравнение непрерывности
- •3.4. Уравнения Максвелла в комплексной форме
- •3.5. Тангенс угла диэлектрических потерь. Классификация сред
- •4. Граничные условия для векторов эмп
- •4.1. Нормальные составляющие
- •4.2. Тангециальные составляющие
- •5. Теорема Умова-Пойтинга. Баланс эм энергии.
- •6. Волновые уравнения для векторов эмп.
- •7. Решение волновых уравнений. Плоские волны
- •7.1. Плоские эмв как частные решения волновых уравнений
- •7.2. Коэффициенты затухания и фазы
- •7.3. Параметры эмв
- •8. Плоские эмв в диэлектриках
- •8.1. Параметры эмв в диэлектриках с потерями
- •8.2. Поведение диэлектриков в эмп
- •8.3. Поглощение эмп веществом. Диэлектрический нагрев
- •9. Эмп в проводниках. Скин-эффект
- •9.1. Сопротивление проводников на высоких частотах
- •9.2. Сопротивление цилиндрического проводника (общий случай)
- •9.3. Граничные условия на границе идеального проводника
- •10. Эмв в реальных средах
- •10.1. Общая схема анализа эмв в реальных средах
- •10.2. Поляризация эмв
- •10.3. Классификация эмв
- •11. Скалярный и векторный потенциалы эмп
- •11.1. Волновые уравнения для электродинамических потенциалов. Условия калибровки Лоренца и Кулона
- •11.2. Электродинамические потенциалы в безграничном пространстве
- •12. Классификация эмп
- •12.1. Электростатическое и магнитостатическое поля
- •12.2. Стационарное и квазистационарное эмп
- •12.3. Эмп для весьма высоких частот
- •13. Эмв на границе раздела сред
- •13.1. Наклонное падение эмв. Законы Снеллиуса
- •13.2. Коэффициенты отражения и преломления.
- •13.3. Формулы Френеля
- •13.4. Явление полного отражения
- •13.5. Явление полного прохождения
- •13.6. Стоячая волна. Ксв. Кбв
- •14. Связь между продольными и поперечными составляющими эмп
- •Аналогично получается для магнитной составляющей:
- •15. Телеграфные уравнения. Волновые уравнения для напряжения и тока
- •Приложение 1. Некоторые понятия векторной алгебры
- •Приложение 2. Криволинейные системы координат
- •Операции векторного анализа в цск и сск.
- •Приложение 3. Эм параметры некоторых веществ Параметры диэлектриков (при 20с) [5, 19]
- •Параметры проводников
- •Параметры магнитномягких материалов [5]
- •Приложение 4. Некоторые сведения о волновых уравнениях
- •Приложение 5. Некоторые сведения о функциях Бесселя
- •Список литературы
- •Оглавление
- •1. Основные понятия теории электромагнитного поля . . . . . . . . . . . . . . .
- •Приложение 5. Некоторые сведения о функциях Бесселя . . . . . . . . . .
3. Система уравнений Максвелла
Система уравнений Максвелла предложена в 1864 г. Дж. К. Максвеллом как результат обобщения экспериментальных законов электромагнетизма и опубликована в виде 12 уравнений в 1873 г. Современная форма системы уравнений Максвелла (7 уравнений) была получена О. Хевисайдом и Г. Герцем [6].
Из высказываний современников Максвелла о его теории и системе уравнений стоит упомянуть высказанную Л. Больцманом цитату из «Фауста»: «Не бог ли эти знаки начертал? Таинственен их скрытый дар!..», а также Г. Герца: «Трудно избавиться от чувства, что эти математические формулы живут независимой жизнью и обладают своим собственным интеллектом, что они мудрее, чем мы сами и их первооткрыватели, и что мы извлекаем из них больше, чем было в них заложено первоначально»[6, 7].
Ниже будут рассмотрены четыре уравнения системы Максвелла, в которую также входят материальные уравнения (1.5)-(1.7).
3.1. Уравнения Максвелла в интегральной форме
. (3.1)
. (3.2)
. (3.3)
. (3.4)
Первое уравнение Максвелла (3.1) является обобщениемзакона Био-Савара-Лапласа(I - ток в проводе длинойdl,r - расстояние от оси провода):
, - (3.5)
на случай переменного тока. Закон Био-Савара – результат экспериментальных исследований магнитных полей тонких проводников с током, проведенных Ж. Био и Ф. Саваром в 1820 г., который П. Лаплас сформулировал в виде (3.5) [8].
Для прямолинейного проводника с током . Таким образом, было доказано, что вокруг проводника с током существует магнитное поле, индукция которого (B) пропорциональна силе тока, протекающего в проводнике.
Максвелл предположил, что магнитное поле порождается не только током проводимости, но итоком смещения(рис. 3.1.)
В некоторых источниках в качестве основы первого уравнения Максвелла считают закон Ампера, но он определяетсилу, действующую на элемент тока:
. (3.6)
В случае двух прямолинейных параллельных проводников , гдеd- расстояние между проводниками 1 и 2.
Введенный Максвеллом ток смещения– это по существуизменяющееся во времени электрическое поле. Основанием назвать эту величину«током»служит лишь совпадение ее размерности с размерностью тока. Из физических свойств действительного тока ток смещения обладает лишь одним – способностью создавать магнитное поле. Введение тока смещение позволило «уравнять в правах» электрическое и магнитное поля[8].
Сумму тока проводимости и тока смещения называют полным током.
Второе уравнение Максвелла (3.2) является обобщениемзакона электромагнитной индукции М. Фарадея(левая часть (3.2) – электродвижущая сила, наводимая в контуреL; правая часть (3.2) –изменение во временимагнитного потока). Знак «минус» в правой части соответствуетправилу Ленца: «Наведенный токвсегда направлен так, чтобыпротиводействоватьпричине, его вызывающей»[8].
Заслуга Максвелла состоит в том, что из закона ЭМ индукции он вывел понятие материального контура: контур не обязательно должен быть проводящим, аможет быть воображаемым, проходящим через любые среды, - в этом случае векторыисвязаны в точке пространства без участия вещества.
Третье уравнение Максвелла (3.3) является обобщениемтеоремы Гаусса(левая часть – поток векторачерезS, правая часть – полный заряд, заключенный вS, для непрерывного и дискретного распределения заряда). Теорема Гаусса была доказана для электростатического поля. Максвелл постулировал справедливость этого закона для произвольных веществ, зарядов и полей.
Силовые линии электрического поля начинаются и заканчиваются на зарядах– носителях электрического поля (рис. 2.5) . При отсутствии электрических зарядов силовые линии электрического поля будутзамкнутыми.
Четвертое уравнение Максвелла (3.4) является аналогом теоремы Гаусса для магнитного поля и выражаетпринцип непрерывности магнитного потока. Входящий и выходящий потоки черезSравны. Силовые линиизамкнуты.
Интегральные уравнения Максвелла верны для физических объектов. Для получения уравнений в дифференциальной форме необходимо осуществить предельный переход, при котором данный объект стягивается в точку.