Лабораторная работа 4 / lab 4.doc

Федеральное агенство по образованию РФ

СПбГЭТУ «ЛЭТИ»

Кафедра МО-ЭВМ

Факультет КТИ

ОТЧЕТ

по лабораторной работе № 4

Метод хорд.

Дисциплина: вычислительная мпатематика

Студент группы 4351

Кузьменко А.

Преподаватель:

Щеголева Н.Л.

Санкт-Петербург

2006

Лабораторная работа № 4

Метод хорд.

1. Постановка задачи.

Найти корень уравнения  для функции  с заданной точностью Eps методом хорд, исследовать скорость сходимости и обусловленность метода.

2. Теоретические сведения.

Пусть найден отрезок (a, b), на котором функция  меняет знак. Для определенности примем (a) > 0, (b) < 0. В методе хорд процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений к значению корня уравнения  принимаются значения c₀, c₁, . . . , c_n точек пересечения хорды с осью абсцисс, как это показано на рис.3.1.

Сначала решается уравнение хорды АВ:

Для нахождения точки пересечения ее с осью абсцисс (x = c₀, y = 0) используется уравнение

Далее сравниваются знаки величин (a) и (с₀) и для рассматриваемого случая оказывается, что корень находится в интервале (a, c₀), так как (a)(с₀) < 0. Отрезок (c₀, b) отбрасывается. Следующая итерация состоит в определении нового приближения c₁ как точки пересечения хорды АВ₁ с осью абсцисс и т. д. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значение (c_n) не станет по модулю меньше заданного числа e (см. 3.1).

3. Текст программ.

#include <math.h>

#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

#include "methods.h"

#include <conio.h>

#include <iostream.h>

double delta;

void main()

{

int k;

long int s;

float eps1,delta1,a1,b1;

double eps,a,b,x;

printf("введите delta:");

scanf("%f",&delta1);

delta = delta1;

printf("введите eps:");

scanf("%f",&eps1);

eps = eps1;

printf("введите a:");

scanf("%f",&a1);

a = a1;

printf("введите b:");

scanf("%f",&b1);

b = b1;

x = HORDA(a,b,eps,k);

printf("x=%f k=%d\n",x,k);

getch();

}

double F(double x)

{

 extern double delta;

 double s;

 if (x==0) {printf ("Деление на 0!"); getch(); exit(1);}

 { s = (pow(x,4))-(13*(x*x))Я(1/x);

s = Round( s,delta );

return(s);

 }

}

double HORDA(double Left,double Right,double Eps,int &N)

{

double FLeft = F(Left);

double FRight = F(Right);

double X,Y;

if (FLeft*FRight>0.0)

{puts("Неверное задание интервала\n");getch();exit(1);}

if (Eps<=0.0)

{puts("Неверное задание точности\n");getch();exit(1);}

N=0;

if (FLeft==0.0) return Left;

if (FRight==0.0) return Right;

do

{

X = Left-(Right-Left)*FLeft/(FRight-FLeft);

Y = F(X);

if (Y == 0.0) return (X);

if (Y*FLeft < 0.0)

{ Right=X; FRight=Y; }

else

{ Left=X; FLeft=Y; }

N++;

}

while ( fabs(Y) >= Eps );

return(X);

}

4. Вычислительный эксперимент.

Для вычисления простых корней уравнения необходимо сначала их изолировать, то есть определить интервалы, в которых находятся только по одному корню. Уравнение  f(x)=x⁴-13x²Я1/x имеет 5 корней. График функции:

Таким образом, если изолировать корни уравнения, получим 5 интервалов:

(-3, -2.9), (-2.1, -2), (0.02, 0.03), (1.9, 2), (3, 3.1)

Ниже приведена таблица, в которой отражены результаты работы программы, вычисляющей корни уравнения с определенной точностью методом хорд. (Здесь x1 — корень из интервала (-3, -2.9), x2 — из (-2.1, -2), x3 — из (0.02 , 0.03). x4 — из (1.9, 2), x5 — из (3, 3.1))

eps	delta	x1	k1	x2	k2	x3	k3	x4	k4	x5	k5
0,1	0,000001	-2,987132	1	-2,026237	1	0,027851	16	1,975913	1	3,00971	1
0,05	0,000001	-2,987132	1	-2,026237	1	0,027813	18	1,975913	1	3,00971	1
0,01	0,000001	-2,988648	2	-2,025059	2	0,027793	21	1,975052	2	3,010777	2
0,001	0,000001	-2,988648	2	-2,025059	2	0,027786	26	1,975052	2	3,010894	3
0,0001	0,000001	-2,988672	3	-2,025042	3	0,027786	32	1,975022	3	3,010906	4
0,00001	0,000001	-2,988672	3	-2,025042	3	0,027786	37	1,975021	3	3,010908	5
0,000001	0,000001	-2,988672	3	-2,025042	3	0,027786	43	1,975021	3	3,010908	5

Следующая таблица отображает зависимость количества итераций (k) метода хорд от требуемой точности результата (eps):

eps	x	k
5	0,031426	7
1	0,028397	11
0,5	0,028036	13
0,1	0,027851	16
0,05	0,027813	18
0,01	0,027793	21
0,005	0,027788	23
0,001	0,027786	26
0,0005	0,027786	28
0,0001	0,027786	32
0,00005	0,027786	33
0,00001	0,027786	37
0,000005	0,027786	39
0,000001	0,027786	43

Также количество итераций зависит от длины интервала, локализующего корень:

a	b	|a-b|	k
3	3,011	0,011	1
3	3,02	0,02	3
3	3,05	0,05	4
3	3,08	0,08	5
3	3,1	0,1	5
2,9	3,2	0,3	9
2,7	3,2	0,5	10
2,5