Лабораторная работа 5 / lab5/LR_5/ВМ_5.doc

Министерство образования и науки РФ

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет

“ЛЭТИ”

 

кафедра МОЭВМ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Лабораторная работа No5 по дисциплине вычислительная математика

на тему:

«Метод Ньютона».

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г. Санкт-Петербург

1. Год

I. Цель работы:

 

Найти корень уравнения для функции методом Ньютона с заданной точностью Eps, исследовать скорость сходимости и обусловленности метода.

 

II. Общие сведения:

 

В случае, когда известно хорошее начальное приближение решения уравнения , эффективным методом повышения точности является метод Ньютона. Он состоит в построении итерационной последовательности сходящейся к корню уравнения .

Метод Ньютона допускает простую геометрическую интерпретацию (рис. 2). Если через точку с координатами провести касательную, то абсцисса точки пересечения этой касательной с осью Ох будет очередным приближением x_n+1 корня уравнения .

Для оценки погрешности n-го приближения корня предлагается пользоваться неравенством

где М₂-наибольшее значение модуля второй производной на отрезке [a,b]; m₁-наименьшее значение модуля первой производной на отрезке [a,b]. Таким образом, если то Это означает, что при хорошем начальном приближении корня после каждой итерации число верных десятичных знаков в очередном приближении удваивается, т.е. процесс сходится очень быстро (имеет место квадратическая сходимость). Из указанного следует, что при необходимости нахождения корня с точностью итерационный процесс можно прекращать, когда

(3.1)

Рассмотрим один шаг итераций. Если на (n-1)-м шаге очередное приближение x_n-1 не удовлетворяет условию окончания процесса, то вычисляются величины и следующие приближение корня При выполнении условия (3.1) величина x_n принимается за приближенное значение корня с, вычисленное с точностью .

III. Порядок выполнения работы:

 

1. Графически или аналитически отделить корень уравнения (т.е. найти отрезки [Left, Right], на которых функция удовлетворяет условиям сходимости метода Ньютона).

2. Составить подпрограмму - функцию вычисления функции , f(x) предусмотрев округление значений функции с заданной точностью Delta.

3. Составить головную программу, вычисляющую корень уравнения и содержащую обращение к подпрограммам , , (x), Round, NEWTON и индикацию результатов.

4. Выбрать начальное приближение корня x₀ из [Left, Right] так, чтобы >0.

5. Провести вычисления по программе. Исследовать скорость сходимости метода и чувствительность метода к ошибкам в исходных данных.

 

IV. Выполнение работы:

 

1. Отделим графическим методом корни уравнения , т.е. найдем отрезки

[Left, Right], на которых функция удовлетворяет условиям применимости метода бисекции. Для этого сначала определим абсолютное число обусловленности задачи вычисления корня:

= ,

 

 

тогда Eps Delta / |1/(3x²-3+2e^-x) |.

Теперь графически определим отрезок [Left, Right].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Где .

    Проанализировав результаты, мы получаем отрезок [1, 2]. На этом отрезке мы можем брать любое начальное приближение x, т. к. >0 всюду на отрезке [1, 2].

2)Составим подпрограмму вычисления функции и производной этой функции f(x) = 3x² – 3 + 2e^(-x).

 

double F(double x)

{

extern double c,d,delta;

double s;

long int S;

s = x*x*x-3*x-2*exp(-x);

if( s/delta < 0 )

S = s/delta - .5;

else

S = s/delta + .5;

s = S*delta;

s = Round( s,delta );

return(s);

}

 

double F1(double x)

{

extern double delta;

double s;

long int S;

s = 3*x*x-3+2*exp(-x);

if( s/delta < 0 )

S = s/delta - .5;

else

S = s/delta + .5;

s = S*delta;

s = Round( s,delta );

cout<< {f(x)=<<s<<}<<endl;

return(s);

}

 

3)Составляем головную программу, вычисляющую корень уравнения с заданной точностью Eps и содержащую обращение к подпрограмме f(x), программам-функциям NEWTON, Round и представление результатов.

 

void main()

{

clrscr();

int k;

long int s;

float x11,eps1,delta1;

double x1,eps,x;

double F(double);

printf(Input eps: );

scanf(%f,&eps1);

eps = eps1;

printf(Input x1: );

scanf(%f,&x11);

x1 = x11;

printf(Input delta: );

scanf(%f,&delta1);

delta = delta1;

x = NEWTON(x1,eps,k);

printf(x=%f k=%d ,x,k);

getch();

}

 

 

4) Проведем вычисления по программе, варьируя значения параметров Eps (точность вычисления корня) и Delta (точность задания исходных данных).

 

eps	delta	a	b	x1	x*	k	f(x*)
0,000001	0,1	1	2	1,5	1,792345	2	0,047736173	0,143459
0,00001	0,1	1	2	1,5	1,792345	2	0,047736173	0,143459
0,0001	0,1	1	2	1,5	1,792345	2	0,047736173	0,143459
0,001	0,1	1	2	1,5	1,792345	2	0,047736173	0,143459
0,01	0,1	1	2	1,5	1,792345	2	0,047736173	0,143459
0,1	0,1	1	2	1,5	1,792345	2	0,047736173	0,143459
0,000001	0,01	1	2	1,5	1,785154	3	-0,002120657	0,145014
0,00001	0,01	1	2	1,5	1,785154	3	-0,002120657	0,145014
0,0001	0,01	1	2	1,5	1,785154	3	-0,002120657	0,145014
0,001	0,01	1	2	1,5	1,785154	3	-0,002120657	0,145014
0,01	0,01	1	2	1,5	1,785154	3	-0,002120657	0,145014
0,1	0,01	1	2	1,5	1,790901	2	0,03768143	0,143769
0,000001	0,001	1	2	1,5	1,785470	3	5,89554E-05	0,144945
0,00001	0,001	1	2	1,5	1,785470	3	5,89554E-05	0,144945
0,0001	0,001	1	2	1,5	1,785470	3	5,89554E-05	0,144945
0,001	0,001	1	2	1,5	1,785470	3	5,89554E-05	0,144945
0,01	0,001	1	2	1,5	1,785470	3	5,89554E-05	0,144945
0,1	0,001	1	2	1,5	1,790933	2	0,037904014	0,143762
0,000001	0,0001	1	2	1,5	1,785461	4	-3,13644E-06	0,144947
0,00001	0,0001	1	2	1,5	1,785461	4	-3,13644E-06	0,144947
0,0001	0,0001	1	2	1,5	1,785461	4	-3,13644E-06	0,144947
0,001	0,0001	1	2	1,5	1,785461	4	-3,13644E-06	0,144947
0,01	0,0001	1	2	1,5	1,785490	3	0,00019694	0,144941
0,1	0,0001	1	2	1,5	1,790882	2	0,037549275	0,143773
0,000001	0,00001	1	2	1,5	1,785462	4	3,76262E-06	0,144947
0,00001	0,00001	1	2	1,5	1,785462	4	3,76262E-06	0,144947
0,0001	0,00001	1	2	1,5	1,785462	4	3,76262E-06	0,144947
0,001	0,00001	1	2	1,5	1,785462	4	3,76262E-06	0,144947
0,01	0,00001	1	2	1,5	1,785483	3	0,000148645	0,144943
0,1	0,00001	1	2	1,5	1,790886	2	0,037577097	0,143772
0,000001	0,000001	1	2	1,5	1,785462	4	3,76262E-06	0,144947
0,00001	0,000001	1	2	1,5	1,785462	4	3,76262E-06	0,144947
0,0001	0,000001	1	2	1,5	1,785462	4	3,76262E-06	0,144947
0,001	0,000001	1	2	1,5	1,785462	4	3,76262E-06	0,144947
0,01	0,000001	1	2	1,5	1,785483	3	0,000148645	0,144943
0,1	0,000001	1	2	1,5	1,790886	2	0,037577097	0,143772

 

 

 

 

eps	delta	a	b	x1	x*	k	f(x*)
0,000001	0,1	0	90	86	1,785440	12	-0,000148014	0,371503
0,00001	0,1	0	90	86	1,785440	12	-0,000148014	0,371503
0,0001	0,1	0	90	86	1,785440	12	-0,000148014	0,371503
0,001	0,1	0	90	86	1,785440	12	-0,000148014	0,371503
0,01	0,1	0	90	86	1,785440	12	-0,000148014	0,371503
0,1	0,1	0	90	86	1,785440	12	-0,000148014	0,371503
0,000001	0,01	0	90	86	1,786826	13	0,00942374	0,370994
0,00001	0,01	0	90	86	1,786826	13	0,00942374	0,370994
0,0001	0,01	0	90	86	1,786826	13	0,00942374	0,370994
0,001	0,01	0	90	86	1,786826	13	0,00942374	0,370994
0,01	0,01	0	90	86	1,785826	13	0,002515709	0,371361
0,1	0,01	0	90	86	1,787271	12	0,012501153	0,370831
0,000001	0,001	0	90	86	1,785465	13	2,44599E-05	0,371494
0,00001	0,001	0	90	86	1,785465	13	2,44599E-05	0,371494
0,0001	0,001	0	90	86	1,785465	13	2,44599E-05	0,371494
0,001	0,001	0	90	86	1,785465	13	2,44599E-05	0,371494
0,01	0,001	0	90	86	1,785465	13	2,44599E-05	0,371494
0,1	0,001	0	90	86	1,786623	12	0,00802057	0,371069
0,000001	0,0001	0	90	86	72,462218	4	380265,2739	0,004664
0,00001	0,0001	0	90	86	72,462218	4	380265,2739	0,004664
0,0001	0,0001	0	90	86	72,462218	4	380265,2739	0,004664
0,001	0,0001	0	90	86	72,462218	4	380265,2739	0,004664
0,01	0,0001	0	90	86	72,462218	4	380265,2739	0,004664
0,1	0,0001	0	90	86	75,762224	3	434641,4079	0,004459
0,000001	0,00001	0	90	86	84,415770	36	601295,4058	0,003996
0,00001	0,00001	0	90	86	84,415770	36	601295,4058	0,003996
0,0001	0,00001	0	90	86	84,415770	36	601295,4058	0,003996
0,001	0,00001	0	90	86	84,415770	35	601295,4058