Лабораторная работа 4 / lab4/LR_4/ВМ_4.doc
Министерство образования и науки РФ
Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет
“ЛЭТИ”
кафедра МОЭВМ
Лабораторная работа No4 по дисциплине вычислительная математика
на тему:
«Метод хорд».
г. Санкт-Петербург
- Год
I. Цель работы:
Найти корень уравнения для функции методом хорд с заданной точностью Eps, исследовать скорость сходимости и обусловленности метода.
II. Общие сведения:
Пусть найден отрезок [a, b], на котором функция меняет знак. Для определенности положим (a)>0, (b)<0. В методе хорд процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений к корню уравнения принимаются значения c0, c1, . . . точек пересечения хорды с осью абсцисс, как это показано на рис.1.
Сначала находится уравнение хорды АВ:
Для точки пересечения ее с осью абсцисс (x=c0, y=0) получается уравнение
Далее сравниваются знаки величин (a) и (с0) и для рассматриваемого случая оказывается, что корень находится в интервале (a, c0), так как (a) *(с0)<0. Отрезок [c0,b] отбрасывается. Следующая итерации состоит в определении нового приближения c1 как точки пересечения хорды АВ1 с осью абсцисс и т.д. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значение (cn) не станет по модулю меньше заданного числа .
Алгоритмы методов бисекции и хорд похожи, однако метод хорд в ряде случаев дает более быструю сходимость итерационного процесса, причем успех его применения, как и метода бисекции, гарантирован.
III. Порядок выполнения работы:
Графически или аналитически отделить корень уравнения (т.е. найти отрезки [Left, Right], на которых функция удовлетворяет условиям применимости метода).
Составить подпрограмму - функцию вычисления функции , предусмотрев округление значений функции с заданной точностью Delta с использованием программы Round.
Составить головную программу, вычисляющую корень уравнения и содержащую обращение к подпрограмме f(x), HORDA, Round и индикацию результатов.
Провести вычисления по программе. Теоретически и экспериментально исследовать скорость сходимости и обусловленность метода.
IV. Выполнение работы:
- Отделим графическим методом корни уравнения , т.е. найдем отрезки
[Left, Right], на которых функция удовлетворяет условиям применимости метода бисекции. Для этого сначала определим абсолютное число обусловленности задачи вычисления корня:
= ,
тогда Eps Delta / |1/(3x2-3+2e-x) |.
Теперь графически определим отрезок [Left, Right].
Где .
Проанализировав результаты, мы получаем отрезок [1, 2].
2) Составим подпрограмму - функцию вычисления функции , предусмотрев округление значений функции с заданной точностью Delta с использованием программы Round.
double F(double x)
{
extern double c,d,delta;
double s;
long int S;
s = x*x*x-3*x-2*exp(-x);
if( s/delta < 0 )
S = s/delta - .5;
else
S = s/delta + .5;
s = S*delta;
s = Round( s,delta );
return(s);
}
3) Составим головную программу, вычисляющую корень уравнения и содержащую обращение к подпрограмме f(x), HORDA, Round и индикацию результатов.
void main()
{
clrscr();
int k;
long int s;
float a1,b1,eps1,delta1;
double a,b,eps,x;
double F(double);
cout<<f(x)=x*x*x-3x-2e(deg(-x))<<endl<<endl;
printf(Input eps: );
scanf(%f,&eps1);
eps = eps1;
printf(Input a: );
scanf(%f,&a1);
a = a1;
printf(Input b: );
scanf(%f,&b1);
b = b1;
printf(Input delta: );
scanf(%f,&delta1);
delta = delta1;
x = HORDA(a,b,eps,k);
printf(x=%f k=%d ,x,k);
getch();
}
4) Проведем вычисления по программе, варьируя значения параметров Eps (точность вычисления корня) и Delta (точность задания исходных данных).
eps | delta | a | b | x* | k |
0,1 | 0,1 | 1 | 2 | 1,782341 | 2 |
0,01 | 0,1 | 1 | 2 | 1,782341 | 2 |
0,001 | 0,1 | 1 | 2 | 1,782341 | 2 |
0,0001 | 0,1 | 1 | 2 | 1,782341 | 2 |
0,00001 | 0,1 | 1 | 2 | 1,782341 | 2 |
0,000001 | 0,1 | 1 | 2 | 1,782341 | 2 |
0,1 | 0,01 | 1 | 2 | 1,781064 | 3 |
0,01 | 0,01 | 1 | 2 | 1,784796 | 3 |
0,001 | 0,01 | 1 | 2 | 1,784796 | 3 |
0,0001 | 0,01 | 1 | 2 | 1,784796 | 3 |
0,00001 | 0,01 | 1 | 2 | 1,784796 | 3 |
0,000001 | 0,01 | 1 | 2 | 1,784796 | 3 |
0,1 | 0,001 | 1 | 2 | 1,781506 | 3 |
0,01 | 0,001 | 1 | 2 | 1,784866 | 4 |
0,001 | 0,001 | 1 | 2 | 1,785486 | 5 |
0,0001 | 0,001 | 1 | 2 | 1,785486 | 5 |
0,00001 | 0,001 | 1 | 2 | 1,785486 | 5 |
0,000001 | 0,001 | 1 | 2 | 1,785486 | 5 |
0,1 | 0,0001 | 1 | 2 | 1,781510 | 3 |
0,01 | 0,0001 | 1 | 2 | 1,784893 | 4 |
0,001 | 0,0001 | 1 | 2 | 1,785377 | 5 |
0,0001 | 0,0001 | 1 | 2 | 1,785464 | 6 |
0,00001 | 0,0001 | 1 | 2 | 1,785464 | 6 |
0,000001 | 0,0001 | 1 | 2 | 1,785464 | 6 |
0,1 | 0,00001 | 1 | 2 | 1,781505 | 3 |
0,01 | 0,00001 | 1 | 2 | 1,784890 | 4 |
0,001 | 0,00001 | 1 | 2 | 1,785379 | 5 |
0,0001 | 0,00001 | 1 | 2 | 1,785449 | 6 |
0,00001 | 0,00001 | 1 | 2 | 1,785462 | 7 |
0,000001 | 0,00001 | 1 | 2 | 1,785462 | 7 |
0,1 | 0,000001 | 1 | 2 | 1,781505 | 3 |
0,01 | 0,000001 | 1 | 2 | 1,784890 | 4 |
0,001 | 0,000001 | 1 | 2 | 1,785379 | 5 |
0,0001 | 0,000001 | 1 | 2 | 1,785450 | 6 |
0,00001 | 0,000001 | 1 | 2 | 1,785461 | 8 |
0,000001 | 0,000001 | 1 | 2 | 1,785461 | 8 |
- delta=0.1: b) delta=0.01:
- delta=0.001: d) delta=0.0001:
e) delta=0.00001: f) delta=0.000001:
5) Из полученных результатов видно, что, чем более высокая точность выходных данных нам необходима, тем больше нам необходимо сделать итераций. Кроме того, из таблицы видно, что с ростом ошибок в исходных данных, уменьшается точность выходных данных. Таким образом, теоретические результаты совпадают с экспериментальными данными.
V. Вывод:
Проанализировав результаты работы программы, мы можем сделать вывод, что число итераций метода хорд возрастает с ростом требуемой точности выходных данных. Обусловленность задачи нахождения корня уравнения для функции прямо пропорциональна величине |1/(3x2-3+2e-x)| и точности задания исходных данных и обратно пропорциональна точности вычисления корня, т. е., чем ближе |1/(3x2-3+2e-x) | и Delta к 0 и чем больше Eps, тем задача хуже обусловлена, и наоборот.