Курсовик / VMKUR_6.DOC

Cанкт-Петербургский Государственный Электротехнический Университет.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КАФЕДРА МОЭВМ

 

Отчет по курсовой работе

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Преподаватель :                Титов М.С.

Студент :                Виноградо К.Ю.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Санкт-Петербург

д/ММ/гг

 

 

 

Задание на курсовую работу :

 

Используя программы - функции BISECT , NEWTON , HORDA , ITER, Round из файла metods.cpp найти корень уравнения f(x)=0 с заданной точностью методом бисекции , Ньютона , хорд и итераций соответственно .

Исследуйте обусловленность методов и зависимость числа итераций от точности результата Eps при изменении Eps от 0.1 до 0.000001 .

 

Порядок выполнения работы :

 

1. Графически или аналитически отделить корень уравнения (т.е. найти отрезки [Left, Right], на которых функция удовлетворяет условиям применимости методов).
2. Составить подпрограмму- функцию вычисления функции и ее производной (при необходимости), предусмотрев округление их значений с заданной точностью Delta с использованием библиотечной функции Round.
3. Составить головную программу, содержащую ввод исходных данных, обращение к подпрограммам BISECT, NEWTON, HORDA, ITER вывод результатов.
4. Выполнить вычисления по программе. Построить графики зависимости числа итераций, необходимых для достижения заданной точности Eps, от величины Eps, а также достижимой точности результатов от точности Delta задания функции .
5. Теоретически и экспериментально сравнить методы бисекции, Ньютона, хорд и итераций по скорости сходимости и степени обусловленности.
6. Результаты оформить в виде отчета, содержащего постановку задачи, тексты разработанных программ, результаты теоретического и экспериментального анализа в виде таблиц и графиков, выводы.

 

F(x)=tg(x)-1/x

 

Oai?aoeaneia aaaaaiea :

A aaiiie ?aaioa enneaao?ony aou?a iaoiaa iaoi?aaiey ei?iy iaeeiaeiiai o?aaiaiey.

1. Iaoia Aenaeoee iniiaai ia iieiaeiiii aaeaiee io?acea, ia eiioao eioi?iai ooieoey i?eieiaao ciaaiey ?aciuo ciaeia. Yoi naiue iaaeaiiue iaoia ec aaiiuo, iaiaei ii naiue oiiue.
2. Iaoia Iu?oiia aaiiao?eanee yeaeaaeaioai caiaia iaaieuoie aoae e?eaie y=f(x) eanaoaeuiie, i?iaaaaiiie a iaeioi?ie oiea e?eaie. Yoi iaei ec naiuo auno?uo iaoiaia o.e. iaeaaaao eaaa?aoeiie nei?inou? noiaeiinoe. Ii oiiinoe onooiaao iaoiao Aenaeoee.
3. Iaoia Oi?a iniiaai ia i?iii?oeiiaeuiii aaeaiee io?acea.Yoi iioe naiue auno?ue iaoia, iaiaei ii oiiinoe ii onooiaao iaoiao Aenaeoee.
4. Iaoia I?inouo Eoa?aoee iniiaai ia caiaia aaiiie ooieoee a?oaie ooieoeae. Yoi iaei ec auno?uo iaoiaia, i?eai ai iaiuoa ia?aiao? q, oai auno?aa iieoaaony ?acoeuoao.

 

Niaa??aiea ?aaiou :

1. Eieaeecoai ei?ie o?aaiaiey. A aaiiii o?aaiaiee ei?aiae iiiai. Auaa?aai io?acie, ia eioi?ii ooieoey, ia?aay e aoi?ay i?iecaiaiua iiiioiiiu ( ni. a?aoeee ) , yoi iaiaoiaeiua oneiaey iaoiaia iaoi?aaiey ei?iy. A aaiiii neoaa auaa?ai io?acie [0.5;1.2] i?e ei?ia o?aaiaiey 0.8.
2. Aey iaoiaa i?inouo eoa?aoee aaiaei iiao? ooieoe? (x)=x-*f(x) I?iaa?yai auiieieiinou oneiaey iiiioiiiinoe (x) = (ci. a?aoee) . Ii a?aoeeo aeaii, oi f(x)>0 ia enneaaoaiii io?acea. f(x): 0<m=f₁(0.5)f(x)f₂(1.2)=M; m=5.29844, M=8.310040, q0.362432, =0.120331. Auae?aai iaaeuiia i?eaee?aiea ?aaiia eaaie a?aieoa (0.5).
3. Aey iaoiaa Iu?oiia auae?aai iaaeuiia i?eaee?aiea, ioaaa?uaa oneiae? f(x₀)*f”( x₀)>0, ii a?aoeeai aeaii, oi i?aaay a?aieoa oaiaeaoai?yao yoiio oneiae?, iiyoiio a eaanoaa iaaeuiiai i?eaee?aiey aa?ai eaao? a?aieoo, ?aaio? 0.5 .
4. Enneaaoai aaiiua iaoiau ii nei?inoe noiaeiinoe , eciaiyy Eps io 0.1 ai 0.000001 i?e Delta =0. Aaiiua e ?acoeuoaou i?eaaaaiu a oaaeeoa e ioia?a?aiu ia a?aoeeao.
5. Enneaaoai aaiiua iaoiau ii noaiaie iaoneiaeaiiinoe , eciaiyy Delta io 0.1 ai 0.000001 i?e ciaaieyo Eps=0.000001 e Eps=0.01. Aaiiua e ?acoeuoaou i?eaaaaiu a oaaeeoa e ioia?a?aiu ia a?aoeeao.
6. Aueneyai iaoneiaeaiiinoe f(x) == 0,276040 e (x)==2,29400

 

 

Oекст программы :

#include <conio.h>

#include <iostreams.h>

#include methods.h

double delta[18]={0,0,0,0,0,0,0,

        0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001,

        0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001};

double a=0.120331

int c2;

//----------------------------------

void main()

{

int i,c1;

double left=0.5,

    right=1.2,

    x;

double eps[18]={0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001,

        0.000001,0.000001,0.000001,0.000001,0.000001,0.000001,

        0.01,0.01,0.01,0.01,0.01,0.01};

cout<<endl;

for (c1=1;c1<5;c1++)

{

for (c2=0;c2<18;c2++)

{

switch (c1)

    {

    case 1:

    cout<<Метод бисекции.........;

    x=BISECT(left,right,eps[c2],i);

    cout<<endl<<Delta=<<delta[c2]<< Eps=<<eps[c2]<<endl;

    cout<<X=<<x<< число интерации=<<i<<endl;

    break;

    case 2:

    cout<<Метод Ньютона..........;

    x=NEWTON(3.6,eps[c2],i);

    cout<<endl<<Delta=<<delta[c2]<< Eps=<<eps[c2]<<endl;

    cout<<X=<<x<< число интерации=<<i<<endl;

    break;

    case 3:

    cout<<Метод Хорд.............;

    x=HORDA(left,right,eps[c2],i);

    cout<<endl<<Delta=<<delta[c2]<< Eps=<<eps[c2]<<endl;

    cout<<X=<<x<< число интерации=<<i<<endl;

    break;

    case 4:

    cout<<Метод простых итераций.;

    x=ITER(3.6,eps[c2],i);

    cout<<endl<<Delta=<<delta[c2]<< Eps=<<eps[c2]<<endl;

    cout<<X=<<x<< число интерации=<<i<<endl;

    break;

    }

getch();

}

cout<<endl;

}

getch();

}//main

double F(double x)

{

double f;

f=tan(x)-1/x;

f=Round(f,delta[c2]);

return f;

}

double F1 (double x)

{

double f;

f=tan(x)*tan(x)+1/(x*x)+1;

f=Round(f,delta[c2]);

return f;

}

double func (double x)

{

double f;

f=x-a*(tan(x)+1/x);

f=Round(f,delta[c2]);

return f;

}

 

Текст модулей :

#include <stdio.h>

#include <math.h>

#include <stdlib.h>

extern double F (double);

//extern double c,d;

extern double func (double);

double BISECT(double Left,double Right,double Eps,int &N)

{

double E = fabs(Eps)*2.0;

double FLeft = F(Left);

double FRight = F(Right);

double X = (Left+Right)/2.0;

double Y;

if (FLeft*FRight>0.0) {puts(Неверное задание интервала );exit(1);}

if (Eps<=0.0) {puts(Неверное задание точности );exit(1);}

N=0;

if (FLeft==0.0) return Left;

if (FRight==0.0) return Right;

while ((Right-Left)>=E)

{

    X = 0.5*(Right + Left); /* вычисление середины отрезка */

    Y = F(X);

    if (Y == 0.0) return (X);

    if (Y*FLeft < 0.0)

    Right=X;

    else

    { Left=X; FLeft=Y; }

    N++;

};

return(X);

}

double Round (double X,double Delta)

{

if (Delta<=1E-9) {puts(Неверное задание точности округления );exit(1);}

if (X>0.0) return (Delta*(long((X/Delta)+0.5)));

else return (Delta*(long((X/Delta)-0.5)));

}

double ITER(double X0,double Eps,int &N)

{

if (Eps<=0.0) {puts(Неверное задание точности );exit (1);}

double X1=func(X0);

double X2=func(X1);

N = 2;

while( (X1 - X2)*(X1 - X2) > fabs((2*X1-X0-X2)*Eps) )

{

    X0 = X1;

    X1 = X2;

    X2 = func(X1);

    N++;

}

return(X2);

}

double NEWTON (double X,double Eps,int &N)

{

extern double F1 (double);

double Y,Y1,DX;

N=0;

do

{

Y = F(X);

if (Y==0.0) return (X);

 

Y1 = F1(X);

if (Y1==0.0) {puts(Производная обратилась в ноль );exit(1);}

 

DX=Y/Y1; X=X-DX; N++;

}

while (fabs(DX)>Eps);

return (X);

}

double HORDA(double Left,double Right,double Eps,int &N)

{

double FLeft = F(Left);

double FRight = F(Right);

double X,Y;

if (FLeft*FRight>0.0) {puts(Неверное задание интервала );exit(1);}

if (Eps<=0.0) {puts(Неверное задание точности );exit(1);}

 

N=0;

if (FLeft==0.0) return Left;

if (FRight==0.0) return Right;

do

{

    X = Left-(Right-Left)*FLeft/(FRight-FLeft);

    Y = F(X);

    if (Y == 0.0) return (X);

    if (Y*FLeft < 0.0)

    { Right=X; FRight=Y; }

    else

    { Left=X; FLeft=Y; }

    N++;

}

while ( fabs(Y) >= Eps );

return(X);

}

 

 

Выводы :

 

В ходе выполнения курсовой работы была исследована работа четырех методов вычисления и уточнения корней нелинейного уравнения . Для этого был выбран отрезок ,на котором сама функция, ее первая и вторая производные монотонны, что является необходимым условием при вычислении корня функции методом хорд и Ньютона.

Так-же в работе необходимо было оценить обусловленность методов , для этого был выбран большой ряд пар чисел Eps и Delta , для обьективной оценки методов .

 

Скорость сходимости и точность результатов :

 

Если проанализировать графики iter(Eps) для всех четырех методов то можно сразу заметить что лучшим по скорости сходимости являются методы Ньютона, Хорд и Простых Итераций.

Это подтверждается теорией :

-метод Хорд обладает линейной сходимостью;

-метод Ньютона обладает квадратичной скоростью сходимости:

-метод Простых Итераций сходится тем быстрее, чем меньше окажется q, в данном случае q0,362432, что подтверждает быструю сходимость метода ( всего 18 итерации при высокой точности для данного уравнения ).

Самым медленным оказался метод Бисекции , это подтверждается теорией, что метод сходится по геометрической прогрессии со знаменателем q=0.5. Однако этот метод является самым точным для заданного Eps.

По графикам видно, что при изменении Delta от 0.1 до 0.000001 при постоянных значениях Eps=0.01 и Eps=0.000001 точные результаты получаются при Delta < 0.001.

 

Обусловленность задачи :

 

Данная задача являеться не очень хорошо обусловленной т.к коэффициент обусловленности в данной задаче равен 0,276040. В данной задаче метод Итераций являеться хорошо обусловленным так как в нем используеться другая функция ( x=f(x) ) имеющая коэффициент обусловенности примерно равный 2,29400.