Министерство общего и профессионального образования РФ

_________________

 

Санкт-Петербургский государственный электротехнический

университет

______________________________________________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И РЕШЕНИЕ СИСТЕМ

ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

 

Методические указания

к лабораторным работам по дисциплине

“ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА”

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Санкт-Петербург

1998

Министерство общего и профессионального образования РФ

__________________

 

Санкт-Петербургский государственный электротехнический

университет

____________________________________________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И РЕШЕНИЕ СИСТЕМ

ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

 

Методические указания

к лабораторным работам по дисциплине

“ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА”

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Санкт-Петербург

1998

 

УДК 519.7

 

Интерполирование функций и решение систем линейных алгебраических уравнений: Методические указания к лабораторным работам по дисциплине Вычислительная математика / Сост.: В.Н. Кафтасьев, А.Р. Лисс, М.С. Титов; СПбГЭТУ. СПб., 1998. 32 с.

 

Содержат формулировку заданий лабораторных работ и необходимые для их исполнения пояснения. При разработке лабораторных работ особое внимание уделяется вопросам исследования точности и обусловленности применяемых методов машинных вычислений.

Предназначены для студентов ФАВТ направления Информатика и вычислительная техника и специальности 220400, а также для студентов других специальностей, изучающих численные методы решения задач на ЭВМ.

 

 

 

 

 

Утверждено

редакционно-издательским советом университета

в качестве методических указаний

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

© СПбГЭТУ, 1998

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Цикл лабораторных работ предназначен для студентов 2-го курса (четвертый семестр), изучающих дисциплину “Вычислительная математика” и работающих в компьютерных классах на базе ЭВМ типа IBM PC AT-286 и выше, снабженных компилятором языка С (С++). Работы цикла посвящены отработке тем “Интерполирование функций” и “Задачи линейной алгебры”. Каждая из работ ставит целью изучение либо конкретного численного метода, либо набора численных процедур (схем, формул), позволяющих реализовать выполнение одной из классических задач вычислительной математики: интерполирование функций в случаях неравноотстоящих и равноотстоящих узлов и решение систем линейных алгебраических уравнений с использованием различных вычислительных способов. Порядок расположения лабораторных работ в методических указаниях соответствует последовательности изложения лекционного материала. Для углубленного изучения упомянутых задач и методов их решения целесообразно воспользоваться изданиями [1]-[10]. Данные методические указания являются продолжением материала, изложенного авторами в [11].

Выполнять каждую лабораторную работу следует поэтапно в следующем порядке:

- подготовка к решению задачи на персональной ЭВМ (ПЭВМ);

- проведение вычислительного эксперимента на ПЭВМ;

- анализ результатов вычислений;

- оформление отчета.

Подготовка к решению задачи на ПЭВМ производится как вне ком-пьютерного класса, так и непосредственно на ПЭВМ. Она включает:

- ознакомление с описанием работы и заданием для выполнения;

- составление программных модулей, содержащих определенные заданием и персональным вариантом вычислительные процедуры, и/или ввод исходных данных;

- компиляцию разработанных программных модулей, их отладку и сопряжение с имеющимися для большинства работ программами-функциями, реализующими конкретные численные методы;

- планирование вычислительного эксперимента на ПЭВМ в рамках выполняемого задания.

Подпрограммы-функции, предназначенные для применения в процессе вычислений, представлены в виде библиотеки модулей на языке программирования С++. Это предопределяет ориентацию цикла работ на студентов, владеющих данным языком и навыками программирования в необходимом объеме.

I?iaaaaiea aueneeoaeuiiai yenia?eiaioa ia IYAI inouanoaeyaony a niioaaonoaee n ii?yaeii auiieiaiey ?aaiou e caaaieai ia enneaaiaaiea oeacaiiuo caaeneiinoae e iaoneiaeaiiinoe ecoaaiiai iaoiaa.

Aiaeec ?acoeuoaoia aueneaiee caee?aaony a iino?iaiee enneaaoaiuo caaeneiinoae e n?aaieoaeuiie ioaiea iaoiaa (aueneeoaeuiie i?ioaao?u) ii oa?aeoa?iui aey aaiiie a?oiiu iaoiaia ia?aiao?ai, iai?eia? nei?inoe noiaeiinoe, noaiaie iaoneiaeaiiinoe, ainoe?eiie oiiinoe e o. i.

Aiaeec ?acoeuoaoia e ioi?ieaiea ioaoa i?iecaiayony aia eiiiu?oa?iiai eeanna.

Ioao aie?ai niaa??aou:

- iinoaiiaeo caaae;

- oaenou ?ac?aaioaiiuo i?ia?aii;

- ?acoeuoaou aueneaiee, eo oai?aoeaneee e yenia?eiaioaeuiue aiaeec a aeaa oaaeeo e a?aoeeia, niaa?aiiuo iaiaoiaeiuie eiiiaioa?eyie;

- ?acaa?iooua auaiau ii eaai?aoi?iie ?aaioa.

 

 

1. EIOA?IIEE?IAAIEA OOIEOEE

 

Ionou aaeeeia yaeyaony ooieoeae a?aoiaioa . Yoi iciaaao, oi e?aiio ciaaie? ec iaeanoe ii?aaaeaiey iinoaaeaii a niioaaonoaea ciaaiea . Iaiaei ia i?aeoeea anoi iaecaanoia naycu ia?ao e , o. е. iaaicii?ii caienaou yoo naycu a aeaa iaeioi?ie caaeneiinoe . A a?oaeo neoayo i?e ecaanoiie caaeneiinoe aa eniieuciaaiea a i?aeoeaneeo caaaao cao?oaieoaeuii (iai?eia?, iia niaa??eo nei?iua, o?oaii aueneyaiua au?a?aiey).

Iaeaieaa ?ani?ino?aiaiiui e aa?iui для практического использования neoaai, eiaaa aea nayce ia?ao ia?aiao?aie e iaecaanoai, yaeyaony caaaiea yoie nayce a aeaa iaeioi?ie oaaeeou , a eioi?ie aene?aoiiio iii?anoao ciaaiee a?aoiaioa iinoaaeaii a niioaaonoaea iii?anoai ciaaiee ooieoee . Yoe ciaaiey – eeai ?acoeuoaou ?anaoia, eeai yenia?eiaioaeuiua aaiiua. Ia i?aeoeea iiaoo iiiaaiaeouny ciaaiey aaeeeiu e a a?oaeo oieao, ioeeiuo io oceia . Oaeei ia?acii, i?eoiaei e iaiaoiaeiinoe eniieuciaaiey eia?ueony oaaeeiuo aaiiuo aey i?eaee?aiiiai aueneaiey eneiiiai ia?aiao?a i?e e?aii ciaaiee (ec iaeioi?ie iaeanoe) ii?aaaey?uaai ia?aiao?a , iineieueo oiiay naycu iaecaanoia.

Yoie oaee neo?eo caaaa i i?eaee?aiee (aii?ieneiaoee) ooieoee: aaiio? ooieoe? o?aaoaony aii?ieneie?iaaou (i?eaee?aiii caiaieou) iaeioi?ie ooieoeae oae, oiau ioeeiiaiea (a iaeioi?ii niunea) io a caaaiiie iaeanoe auei iaeiaiuoei. Ooieoey i?e yoii iacuaaaony aii?ieneie?o?uae.

Aey i?aeoeee aa?ai neoae aii?ieneiaoee ooieoee iiiaieaiii

(1.1)

Yoio neoae, o. a. i?eaee?aiea iiiaieaiaie, yaeyaony iaiie ec caaa eeanneaneiai eneaiiiai aiaeeca [3], [4], [8], [10]. ?anniio?ei aii?ieneiaoe? yoiai ?iaa e iaoiau aa ?aaeecaoee a aueneeoaeuiuo i?ioaao?ao ia YAI. Eiyooeoeaiou a i?ioaao?ao iiaae?a?ony oae, oiau ainoeu iaeiaiuoaai ioeeiiaiey iiiaieaia io aaiiie ooieoee.

Anee i?eaee?aiea no?ieony ia caaaiiii aene?aoiii iii?anoaa oiae , oi aii?ieneiaoey iacuaaaony oiaiie. Iaiei ec iniiaiuo oeiia oiaiie aii?ieneiaoee yaeyaony eioa?iiee?iaaiea, eioi?ia caee?aaony a neaao?uai: aey aaiiie ooieoee no?ieony iiiaieai (1.1), i?eieia?uee a caaaiiuo oieao oa ?a ciaaiey , oi e ooieoey , o. a.

(1.2)

I?e aaiiie iinoaiiaea caaae i?aaiieaaaaony, oi n?aae ciaaiee iao iaeiaeiauo: i?e . Oiee iacuaa?ony oceaie eioa?iieyoee, a iiiaieai - eioa?iieyoeiiiui iiiaieaiii. Aeecinou eioa?iieyoeiiiiai iiiaieaia e caaaiiie ooieoee ninoieo, oaeei ia?acii, a oii, oi eo ciaaiey niaiaaa?o ia caaaiiie nenoaia oiae (oceia).

Iaeneiaeuiay noaiaiu eioa?iieyoeiiiiai iiiaieaia . A yoii neoaa aiai?yo i aeiaaeuiie eioa?iieyoee, oae eae iaei iiiaieai

(1.3)

eniieucoaony aey eioa?iieyoee ooieoee ia anai ?anniao?eaaaiii eioa?aaea eciaiaiey a?aoiaioa . Eiyooeoeaiou iiiaieaia (1.3) iaoiayo ec nenoaiu o?aaiaiee (1.2). Ii?ii iieacaou, oi i?e () yoa nenoaia eiaao aaeinoaaiiia ?aoaiea [1] - [4], [10].

Aicii?iu aaa neoay caaaiey ooieoee :

- oiee ?aniieaaa?ony ia ine aanoenn ia?aaiiia?ii ia различных расстояниях одна от другой - случай неравноотстоящих узлов;

- oiee ?aniieaaa?ony ia ine aanoenn ?aaiiia?ii n фиксирован- ным шагом - случай равноотстоящих узлов.

В ea?aii ec oeacaiiuo neoaaa aey eioa?iiee?iaaiey ooieoee i?eiaiy?ony ?aceeiua eioa?iieyoeiiiua oi?ioeu. Eo ecoaie? iinayuaiu, niioaaonoaaiii, eaai?aoi?iua ?aaiou 9 e 10.

 

 

1.1. Интерполяционные формулы для неравноотстоящих узлов

 

Ionou ecaanoiu ciaaiey iaeioi?ie ooieoee a n+1 ?aceeiuo oieao , eioi?ua iaiciaei neaao?uei ia?acii: .

Oeacaiiua ciaaiey iiaoo auou iieoaiu iooai yenia?eiaioaeuiuo ecia?aiee eee iaeaaiu n iiiiuu? ainoaoiii nei?iuo aueneaiee. A caaaa eioa?iieyoee ooieoee , eae auei neacaii ранеa, ?aoaaony i?iaeaia i?eaee?aiiiai ainnoaiiaeaiey ciaaiey ooieoee a i?iecaieuiie oiea x. Aey yoiai no?ieony aeaaa?aeaneee iiiaieai noaiaie n, eioi?ue a oieao i?eieiaao caaaiiua ciaaiey, o. a.

. (1.4)

Neaaoao caiaoeou, oi anee oiea x ?aniiei?aia aia ieieiaeuiiai io?acea, niaa??auaai ana oceu eioa?iieyoee , oi caiaio ooieoee ia oae?a называют yeno?aiieyoeae.

A iauai neoaa aieacaii, oi nouanoaoao aaeinoaaiiue eioa?iieyoeiiiue iiiaieai n-e noaiaie, oaiaeaoai?y?uee oneiaeyi (1.4),

, (1.5)

aaa

. (1.6)

Eioa?iieyoeiiiue iiiaieai, i?aanoaaeaiiue a aeaa (1.5), iacuaaaony eioa?iieyoeiiiui iiiaieaiii Eaa?ai?a, a ooieoee (1.6) - eaa?ai?aauie eiyooeoeaioaie [1]-[4].

Aey ioaiee iia?aoiinoe eioa?iieyoee (a anoiinoe, e yeno?aiieyoee) a oaeouae oiea ( - io?acie, niaa??auee ana oceu eioa?iieyoee e oieo x) ii?ii eniieuciaaou niioiioaiea

, (1.7)

aaa ; - (n+1)-y i?iecaiaiay eioa?iiee?oaiie ooieoee a iaeioi?ie oiea ; .

Ioaiить iaeneiaeuiую iia?aoiinoь eioa?iieyoee ia anai io?acea ii?но n iiiiuu? niioiioaiey

. (1.8)

Eniieuciaaiea ioaiie iia?aoiinoae (1.7) e (1.8) i?aaiieaaaao ia?aieaiiinou (n+1)-e i?iecaiaiie eioa?iiee?oaiie ooieoee ia io?acea , o. a. .

Ia i?aeoeea aianoi iauae oi?iu caiene (1.5) anoi eniieuco?ony a?oaea oi?iu caiene eioa?iieyoeiiiiai iiiaieaia, aieaa oaiaiua aey i?eiaiaiey a eiie?aoiuo neooaoeyo [5], [10], [12].

Eioa?iieyoeiiiue iiiaieai Iu?oiia aey ia?aaiiionoiyueo oceia eioa?iieyoee eiaao aea

 

 

 

…

…, (1.9)

aaa - ?acaaeaiiay ?aciinou k-ai ii?yaea.

Aueneaiea ?acaaeaiiuo ?aciinoae i?iecaiaeony ii niioiioaieyi

,

...................................................

.

I?e eniieuciaaiee eioa?iieyoeiiiiai iiiaieaia Iu?oiia (1.9) eciaiaiea noaiaie n o?aaoao oieuei aiaaaeou eee ioa?ineou niioaaonoao?uaa enei noaiaa?oiuo neaaaaiuo, oi oaiaii ia i?aeoeea. A oi ?a a?aiy, iaiin?aanoaaiiia eniieuciaaiea eioa?iieyoeiiiiai iiiaieaia Eaa?ai?a (1.5) o?aaoao no?ieou aai caiiai i?e eciaiaiee n.

A oii neoaa, anee o?aaoaony iaeoe eeou eneaiiia ciaaiea eioa?iieyoeiiiiai iiiaieaia , a ia aai i?aanoaaeaiea, ii?ao auou eniieuciaaia eoa?aoeiiii-eioa?iieyoeiiiay noaia Yeoeaia [6], [12].

Ionou - eioa?iieyoeiiiue iiiaieai, ii?aaaeyaiue ia?aie , , , ... oae, oi .

Eioa?iieyoeiiiua iiiaieaiu aic?anoa?ueo noaiaiae iieoa?o iineaaiaaoaeuii neaao?uei ia?acii:

,

,

...…..............................................

,

......................................................

.

......................................................

Yoio i?ioann ii?ii caeiieou, eiaaa у ciaaiee aaoo eioa?iieyoeiiiuo iiiaieaiia iineaaiaaoaeuiuo noaiaiae niaiaaaao o?aaoaiia eieeanoai ciaeia.

 

 

Лабораторная работа 9*

 

A oiaa ?aaiou nooaaiou aie?iu naiinoiyoaeuii ?ac?aaioaou i?ia?aiio ia iaiii ec ycueia i?ia?aiie?iaaiey, iaaniaeaa?uo? ?aoaiea iaiiai ec aa?eaioia, iieoaiiiai io i?aiiaaaaoaey. Вa?eaiou caaaiey i?eaiayony ie?a.

    Вариант 1

x = 2.7704

X[ 0] = 0.7728	Y[ 0] = -0.6210
X[ 1] = 0.7912	Y[ 1] = -0.5575
X[ 2] = 1.4488	Y[ 2] = 0.3837
X[ 3] = 2.2336	Y[ 3] = -0.2209
X[ 4] = 3.2776	Y[ 4] = 0.8078
X[ 5] = 4.8128	Y[ 5] = 19.4416
X[ 6] = 4.8312	Y[ 6] = 19.8628
X[ 7] = 5.1360	Y[ 7] = 27.7050
X[ 8] = 5.2128	Y[ 8] = 29.9500
X[ 9] = 6.3272	Y[ 9] = 76.6981
X[10] = 6.3520	Y[10] = 78.0745

Eniieucoy eioa?iieyoeiiio? noaio Yeoeaia либо интерполяционную формулу Ньютона, aueneeoa ciaaiea a oiea x ooieoee, caaaiiie oaaeeoae.

Вариант 2

x = 2.3904

X[ 0] = 0.0376	Y[ 0] = -5.5948
X[ 1] = 0.4208	Y[ 1] = -2.3591
X[ 2] = 0.6800	Y[ 2] = -0.9800
X[ 3] = 1.5360	Y[ 3] = 0.3641
X[ 4] = 2.7056	Y[ 4] = -0.3543
X[ 5] = 3.6888	Y[ 5] = 3.1277
X[ 6] = 3.8448	Y[ 6] = 4.4336
X[ 7] = 4.2944	Y[ 7] = 9.7839
X[ 8] = 4.4048	Y[ 8] = 11.5023
X[ 9] = 5.4200	Y[ 9] = 36.5817
X[10] = 5.8192	Y[10] = 51.8888

 

Вариант 4

x = 2.3664

X[ 0] = 1.9816	Y[ 0 ]= 0.0184
X[ 1] = 2.0952	Y[ 1] = -0.0943
X[ 2] = 2.1016	Y[ 2] = -0.1006
X[ 3] = 2.7384	Y[ 3] = -0.3358
X[ 4] = 2.8872	Y[ 4] = -0.1889
X[ 5] = 3.4816	Y[ 5] = 1.7707
X[ 6] = 4.0768	Y[ 6] = 6.8806
X[ 7] = 4.9888	Y[ 7] = 23.7099
X[ 8] = 5.1256	Y[ 8] = 27.4096
X[ 9] = 5.5200	Y[ 9] = 40.0942
X[10] = 5.6544	Y[10] = 45.1488

 

Вариант 3

x = 4.8392

X[ 0] = 0.3152	Y[ 0] = -3.0976
X[ 1] = 0.9536	Y[ 1] = -0.0994
X[ 2] = 1.1080	Y[ 2] = 0.1823
X[ 3] = 2.4728	Y[ 3] = -0.3671
X[ 4] = 4.1792	Y[ 4] = 8.1696
X[ 5] = 4.5616	Y[ 5] = 14.2471
X[ 6] = 4.6304	Y[ 6] = 15.5694
X[ 7] = 4.6704	Y[ 7] = 16.3723
X[ 8] = 5.2480	Y[ 8] = 31.0168
X[ 9] = 5.5680	Y[ 9] = 41.8549
X[10] = 6.3568	Y[10] = 78.3427

 

 

 

Вариант 5

x = 4.9080

X[ 0] = 0.4312	Y[ 0] = -2.2922
X[ 1] = 0.6328	Y[ 1] = -1.1884
X[ 2] = 1.2560	Y[ 2] = 0.3322
X[ 3] = 2.1296	Y[ 3] = -0.1274
X[ 4] = 2.1928	Y[ 4] = -0.1856
X[ 5] = 2.8848	Y[ 5] = -0.1921
X[ 6] = 4.2808	Y[ 6] = 9.5840
X[ 7] = 4.7896	Y[ 7] = 18.9187
X[ 8] = 4.8264	Y[ 8] = 19.7524
X[ 9] = 5.3368	Y[ 9] = 33.8159
X[10] = 5.9344	Y[10] = 56.9682

Вариант 6

x = 1.2952

X[ 0] = 0.2744	Y[ 0] = -3.4127
X[ 1] = 0.3096	Y[ 1] = -3.1398
X[ 2] = 0.4736	Y[ 2] = -2.0300
X[ 3] = 1.8048	Y[ 3] = 0.1878
X[ 4] = 2.4888	Y[ 4] = -0.3720
X[ 5] = 2.9832	Y[ 5] = -0.0328
X[ 6] = 3.4832	Y[ 6] = 1.7797
X[ 7] = 4.1840	Y[ 7] = 8.2334
X[ 8] = 4.2944	Y[ 8] = 9.7839
X[ 9] = 5.5352	Y[ 9] = 40.6465
X[10] = 5.7016	Y[10] = 47.0171

Вариант 7

x = 4.7296

X[ 0] = 0.5016	Y[ 0] = -1.8658
X[ 1] = 1.2472	Y[ 1] = 0.3262
X[ 2] = 2.4400	Y[ 2] = -0.3548
X[ 3] = 2.5432	Y[ 3] = -0.3829
X[ 4] = 2.9296