Финансовая математика / FinanceMathematics/FinMath_cor3.pdf

\">

ВВЕДЕНИЕ

В развитой экономике участники рынка интенсивно обмениваются благами, в том числе правами и обязательствами. Описание рациональных условий такого обмена - важная часть экономической теории. Предметом изучения в рассматриваемой далее теории расчетов являются стандартные обязательства (контракты), обмен которыми производится по фиксированным правилам на биржах, где встречаются покупатели и продавцы обязательств. В ходе торгов цена контракта устанавливается на уровне S, при котором число покупателей и число продавцов уравновешены (равны). Таким образом, инвестор в ходе торговой сессии может, по своему усмотрению, купить или продать нужное число контрактов по цене S.

Предположим, что торгуемый сегодня контракт f предусматривает будущую выплату держателю контракта в размере у, если в следующем году будет засуха, и в размере z, если засухи не будет. Выплата будет осуществляться за счет продавца контракта. Именно за этот будущий платеж продавец контракта получает от покупателя в настоящее время сумму С. Условимся,

что у > О, z > О, и задумаемся о рациональной стоимости (ценности) С данного контракта: С* = C{y,z) > 0.

Если стоимость контракта при {у = 6, z = 2), например, известна (установилась на бирже на уровне С = 3), то какова должна быть стоимость контракта для (у = 5, z = 9) при условии, что стоимость денег за рассматриваемый период не меняется? Задачи такого рода подробно изучаются в экономической теории, начиная с первой половины семидесятых годов XX века. Данный пример разобрать нетрудно, учитывая, что функция C(y,z), по-видимому, линейна, и, кроме того, С(1,1) = 1, поскольку бумага с выплатой f = 1 должна стоить 1.

Таким образом, ценность C(y,z) = Fy + Gz определяется равенствами 1 • F +1 • G = 1; 6 • F + 2 • G = 3; откуда F = 1/4, G = 3/4 и, окончательно

C*=C(.y,z) = Cy ₊ 3z)/4; C*=C(5,9) = 8. Как найти ответ, если ценность денег изменяется с течением времени по известному закону? Как определить С в более сложной обстановке, когда

3

базовый актив X (в данном примере - погода) изменяется несколько раз или, например, описывается случайным процессом с непрерывным временем? Эти и другие задачи рассматриваются в курсах финансовой аналитики.

Настоящие методические указания написаны по материалам лекций начального уровня, читавшихся в разные годы студентам Электротехнического университета и Европейского университета в Санкт-Петербурге. Авторы признательны А. М. Коточигову за поддержку публикации, а также Е. А. Широковой и М. Б. Лифшиц за неизменную и терпеливую помощь при подготовке рукописи. Без их усилий работа не была бы завершена.

Предполагалось, что студенты знакомы с основными понятиями теории вероятностей и началами стохастического анализа. Минимальной подготовки требуют задания 1-3, 5, 8, 19-27.

1. ИНСТРУМЕНТЫ И ЗАДАЧИ ФИНАНСОВОЙ ИНЖЕНЕРИИ

1.1. Финансовый рынок

На финансовом рынке встречаются и взаимодействуют инвесторы, корпорации (фирмы) и посреднические структуры (например, биржи). Финансовый рынок - система денежных рынков, рынков ценных металлов и иных валютных ценностей, рынков финансовых инструментов. На рынках финансовых инструментов различают основные (первичные) инструменты и производные (вторичные) инструменты, определяемые на основе первичных.

Такие (вторичные) инструменты - опционы, фьючерсные контракты и т. д. играют все возрастающую роль на финансовых рынках, начиная, примерно, с 1973 г.

К основным инструментам относят (и в рамках финансовой теории изучают и моделируют) акции, облигации и банковские счета.

К производным финансовым инструментам относят величины, значения которых по фиксированным правилам (контрактам) точно определяются поведением основных инструментов. Расширение рынка производными инструментами открывает перед участниками рынка дополнительные возможности - в частности, возможности страхования рисков.

Основной частью финансовой теории является конструирование и изучение математических моделей поведения базовых активов, проверка соответствия рассматриваемых моделей реальной (наблюдаемой) динамике финансового рынка.

4

Задачи определения справедливой (рациональной) стоимости контрактов также являются одними из важнейших в финансовой аналитике. Методы решения этих задач существенно зависят от структуры моделей изменения базовых активов и от особенностей определения изучаемых контрактов (платежей).

1.2. Банковский счет

Банковский счет - это ценная бумага, по которой банк обязуется выплачивать ее держателю определенный процент от суммы счета.

Если по счету с процентной ставкой R предусмотрено начисление процентов к раз в год, то стартовый капитал В§ за Т лет превратится в

/ Т

Bj = Bq (1 + R/k) . При к —» оо приведенное выражение превращается в

В_т = В₀ lim (1 + R/k)^kT = B₀e^RT. к^<х>

В последнем случае говорят о непрерывно начисляемых процентах. При непрерывно начисляемых процентах с процентной ставкой р стартовый капитал В§ через Т лет превратится (по определению) ъ В§е^ . Таким образом, одинаковый для обоих случаев рост накоплений обеспечивается при условии, что Вое^р = Bq( + R/k) , когда р = Ып(1 + R/k). Важно, что р < R.

Задание 1

По банковскому счету А проценты начисляются один раз в квартал, годовая ставка 12 %. Какой непрерывно начисляемой ставке процента р отвечает счет А ?

Решение. Согласно условиям, е^р = Aj = (1 + 0,12/4) . Поэтому

р = 41п(1 +0,03) = 0,11823... Ответ: р = 11,8 % .

Задание 2

По банковскому счету А проценты начисляются один раз в год, годовая ставка 16 %, по банковскому счету В проценты начисляются непрерывно, годовая ставка 15 %. Какой счет предпочтительнее?

5

Решение. По первому счету Aj =(1 + 0,16) , по второму счету Bj = ехр(0Д5-Г). Поскольку ехр(0,15) >1,16, получаем, что Bj >Aj, когда Bq = Aq и второй счет предпочтительнее.

Различные ценные бумаги, как базовые, так и производные, часто сопоставляются с банковским счетом. Этим определяется важность банковского счета как основного финансового инструмента.

Рассмотренную экспоненциальную модель Bj = Bq exp(p7¹), для которой dB_t = pB_tdt, часто используют для описания безрискового актива, доступного для заемщиков и кредиторов на рынках финансовых активов. В более общей ситуации (безрисковая) ставка р может быть переменной, тогда

t dB_t = p_tB_tdt, или, эквивалентно, Bj = Bq Qxpp_sds.

0

1.3. Базовые активы как случайные переменные

Инвесторы приобретают финансовые активы в расчете на получение в будущем определенных благ, в частности на возможный рост совокупной стоимости приобретаемых активов. Не все финансовые активы обладают одинаковой ожидаемой доходностью. Будущая стоимость большинства активов неизвестна и трудно прогнозируема. Естественной (и общеупотребительной) моделью поведения финансовой переменной является случайная функция X_t, принимающая скалярные (цена одного актива) или векторные (список цен нескольких активов) значения. Основным понятиям теории случайных функций посвящена превосходная книга А. Д. Вентцеля [2].

Согласно современным представлениям, на равновесном рынке доходность актива тем больше, чем выше риски, связанные с инвестированием в актив. Описание баланса рисков и доходностей составляет предмет теории ценообразования (САРМ - Capital Asset Pricing Model) Марковица и Шарпа (см., например, [3, гл. 1]).

Случайные функции (переменные) часто называют также стохастическими (случайными) процессами, а в случае, когда время t дискретно, - стохастическими последовательностями.

Основные классы случайных переменных и их свойства рассматриваются в курсе теории случайных процессов. Для приложений в финансовой аналитике важнейшими среди них являются процессы Маркова и мартингалы.

6

Большую роль играют также гауссовские процессы и стационарные процессы, часто встречающиеся при описании установившихся режимов тех или иных стохастических систем.

Случайный процесс называется марковским, если при s < t

ng(X_t)¥^s} = E{g(X_t)X_s} для всех (ограниченных, измеримых) функций g или, в упрощенной и часто

используемой форме E{g(X_t)F^s} = f(X_s). Здесь F^s - алгебра (точнее, а -алгебра) событий, "доступных наблюдению к моменту времени s ". Предполагается, что с ростом s алгебры F только лишь расширяются, причем величины X_s полностью определены событиями алгебры ¥^s (X_s измеримы относительно ¥^s).

Символ условного математического ожидания Е{£, | F} = л используется для обозначения прогноза величины £, по наблюдениям над событиями, содержащимися в F. Во многих случаях величина л может быть определена (и вычислена) как ближайший к величине £, элемент пространства Н = H(F) - пространства случайных величин, измеримых относительно F и имеющих конечную дисперсию:

Е(£ - л)² = min{E(^ - Г)² : Y е Н}.

При этом, как обычно, величину л (прогноз) понимают как ортогональную проекцию вектора £, на пространство Н .

Принято считать, что марковское свойство процесса X_t означает, что вся информация, необходимая для оптимального прогнозирования (недоступного для наблюдения) платежа g(X_t) по результатам наблюдений над

рынком до момента времени s, содержится именно в X_s и использование любой информации о поведении процесса Х_и при и < s не может привести к уменьшению ошибки прогноза (улучшению его качества).

Записывая марковское свойство процесса X в упрощенной форме

V{g(X_t)F^s} = f(X_s), преобразование g ь-> f называют оператором перехода или переходной

функцией и обозначают Q_s.

7

Операторы перехода линейны, положительны (прогноз неотрицательного платежа неотрицателен) и нормированы:

- прогноз постоянной есть сама постоянная. Кроме того, переходные функции процесса Маркова подчиняются уравнениям Чепмена-Колмогорова

QtQ?=Qs, когда s<t<u.

Именно эти уравнения (имеющие аналогом теорему о трех перпендикулярах в евклидовой геометрии) позволяют привлечь к анализу марковских процессов и их числовых характеристик мощные средства математического анализа. Решающие достижения здесь связаны с пионерскими работами А.Н.Колмогорова 1931г. С другой стороны, введенный А.А.Марковым класс процессов, носящих его имя, весьма богат. В него попадают как процессы с независимыми приращениями, так и многие процессы с жесткой зависимостью прошлого и будущего (например, X_s = Xq или, более общим образом, X_s=Yfi_s, где Р₅-неслучайные коэффициенты, fi_s^0).

Для полного описания всех числовых характеристик марковского процесса X достаточно указать в дополнение к переходным операторам Q_s еще только распределение n_t величины X в начальный момент /q. При этом распределения n_t(A) = T*{X_t e А} изменяются таким образом, что

^7ZsQt=^7Zt>               ^s<t

при надлежащем определении распределения вероятностей в левой части равенства. Особенно просто приведенные соотношения выглядят, когда процесс X_t принимает значения из дискретного пространства X (например,

конечного множества). Тогда распределения вероятностей Ti_t могут быть заданы стохастическими строчками (клетки неотрицательны, сумма клеток в строчке равна единице). Так же просто дело обстоит при этом с переходными

операторами Q_s . Эти операторы, предназначенные для вычисления условных

математических ожиданий, должны быть заданы матрицами, составленными из условных вероятностей

nx_t = jx_s=i).

8

Строчки таких матриц оказываются стохастическими, а уравнения

f 11                       11                                                                                                                                                             11

Чепмена-Колмогорова Q_sQt ⁼ Qs означают представление Q_s в виде произведения матриц.

Важнейший подкласс марковских процессов составляют однородные процессы, для которых, по определению, всегда

QlXu = Qs и, следовательно, Q_s ⁼ Qo • При этом в записи Qq нижний индекс, как правило, не пишут (хотя и подразумевают), а уравнения Чепме-

на-Колмогорова записывают в форме Q*Q^l = Q^¹, где s > 0, t > 0 ,и используют для изучения процесса свойства возникающей полугруппы операторов. Существенную роль играют инвариантные распределения 7Г, для которых

tzQ = 71, t > 0, и инвариантные (платёжные) функции g, для которых

Q g = g. Инвариантные платежи иначе называют гармоническими функциями процесса.

Если (и только если) однородный марковский процесс X_s имеет начальным инвариантное распределение, то X_s - стационарный процесс, т. е.

процесс, любые числовые характеристики которого сохраняются после временного сдвига: ЕФ(Х) = ЕФ(7), когда Y_s = X_s+u, и = const.

С другой стороны, для гармонической функции g (и только для таковой) процесс g(X_s) оказывается мартингалом (см. далее) относительно ¥^s. Это означает, что

ng(X_t)¥^s} = g(X_s если s<t.

Задание 3

Случайное блуждание задано матрицей переходов

1/3 0 0 1/3^ 0 10 0

Q =

0 0 10 _ч2/3 0 0 2/З_у Укажите все гармонические функции (столбцы) такого процесса.

9

Решение. Воспользовавшись уравнением Qg = g, находим

т g = (a,P,y,a) , где a,P, у произвольны.

Замечание. Во многих случаях единственными гармоническими функциями являются постоянные g{x) = const. Так будет, например, если все клетки (конечной) матрицы Q ненулевые.

Задание 4

Обоснуйте последнее утверждение, воспользовавшись теоремой А. А. Маркова о финальных вероятностях.

Богатый класс марковских процессов составляют процессы с независимыми приращениями. Для таких процессов величины

^Хо ^Xh -^ХЪ> ^xt₂ ~^xt_v •••, ^xt_k ~^xt_k__x должны быть независимыми в совокупности, когда t§ < t < ... < t^. Все числовые характеристики процесса X_t с независимыми приращениями будут полностью заданы, если известны начальное распределение iz_t и распределения приращений X_t - X_s. Если время t дискретно, то получаются просто суммы независимых случайных величин

^xt = ^j-

Если время t изменяется непрерывно (например, ?е[0,°о)), марковское свойство процесса с независимыми приращениями особенно легко объясняется для платёжных функций специального вида, а именно для функций

g(x) = exp(zYx).