Индивидуальное задание / IDZ_LinearDiffurSystem/PeriodicSystZad.doc

Цель работы – изучение поведения решений системы линейных равнений с периодическими коэффициентами.

Дана система двух уравнений

(1)

Пусть Т – общий период для коэффициентов.

1. Находим фундаментальную матрицу X(t) системы (1) на отрезке [0; T].
   Для этого решаем два раза задачу Коши с начальными условиями
   (2) И
   (3) соответственно.
   Пусть и - решения задач (1),(2) и (1),(3). Тогда
   матрица - фундаментальная матрица системы.
2. Известно, что , где основная матрица для данной фундаментальной системы. Но по условию . Значит, .
   Отсюда получаем
3. Любое решение системы (1) имеет вид , где - построенная
   выше фундаментальная матрица. Следовательно,
   (4)
4. Из (4) видно, что поведение при определяется поведением , а оно
   зависит от собственных чисел матрицы .
   Если все , то .
   Если среди хотя бы одно по модулю > 1, то часть элементов матрицы
   стремится к .
   Если все и нет присоединенных векторов, то остается ограниченной
   при .
5. В общем случае матрицуи можно найти только приближенно, решая численно задачу Коши. При этом вычисляется на конечном множестве точек , и
6. Реализация этой схемы в Mathcade описана в файле PeriodicSystZad.mcd .