Системы обыкновенных дифференциальных уравнений / Системы обыкновенных ду.pdf

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации

Санкт-Петербургский государственный технический университет

Аксёнов А.П.

СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Учебное пособие

Санкт-Петер бург

Издательство СПбГТУ

1998

УДК 512.1

Аксёнов А.П. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1998, 124 с.

Пособие соответствует государственному стандарту дисциплины «Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)» направления бакалаврской подготовки 510200 «Прикладная математика и информатика».

Содержит изложение теоретического материала в соответствии с действующей программой по темам: «Нормальные системы ОДУ и методы их интегрирования», «Интегрирование линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка», «Линейные системы ОДУ (общая теория)», «Линейные однородные и неоднородные системы ОДУ с постоянными коэффициентами», «Линейные однородные системы ОДУ с периодическими коэффициентами», «Устойчивость по A.M. Ляпунову решений систем ОДУ».

В связи с широким применением матричного исчисления к исследованию и решению систем ОДУ каждый раз по мере необходимости дано подробное изложение соответствующих разделов теории матриц.

Предназначено для студентов физико-механического факультета специальностей 010200, 010300, 071100, 210300, а также для преподавателей, ведущих практические занятия. В качестве дополнительного материала может быть использовано также студентами других факультетов университета.

Ил. 2. Библ. 7 назв.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Санкт-Петербургского государственного технического университета.

© Санкт-Петербургский

государственный технический университет, 1998

ГЛАВА 1. НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 1. Основные понятия и определения

1°. Нормальными системами обыкновенных дифференциальных уравнений называются системы вида

dy_x

dx dx

А(^х,У,Уг,-~,Уп

М^х>УъУг> — >Уп

(1)

^dy_n

_v OtJv

/_п(^х>УъУг> — >Уп)-

Здесь п - фиксированное число («eN, и>1)(и- порядок системы), х - вещественная независимая переменная, У(х), У2(^х), ••-, У_п(^х) -искомые вещественные функции,

/(х,УъУг> — >Уп М^х>УъУг> — >Уп •••> /Д^^.-.Л) " известные функции, определенные и непрерывные в некоторой области (D)<= R"⁺¹.

Если ввести в рассмотрение вектор-функции

^ГУ(^Х)Л                        (/{^х>УъУъ---,Уп)^Л

Y(x)= ^У>^(Х)

^У_п(^хУ то система (1) запишется в виде

F(x,Y) =

к(х,УъУъ~чУп)

Чп^ЛъУгт-^УпУ

dY dx

F(x,Y).

(1)

B(l): xeR, FeR", F(x,Y) eC(D), где (D)c R"⁺¹.

2°. Определение. Решением системы (1) в (а,Ь) называют всякую вектор-

функцию Y(x) = ф (х)

ф₂(х)

х е(а,Ь), обладающую свойствами:

3

1) для любого х e(a,b) существует ф(*)^:

ц>₂(х)

2) для любого х е(а,Ь) точка (х,ф(х)) e(D);

3) для любого х е{а,Ь) ф(х) = 7⁷(х,ф(х)).

Заметим, что вектор-функция .Р(х,ф(х)) еС((а,й}) как суперпозиция непрерывных функций. А тогда из свойства 3) следует, что ф(х) еС((<2,&}), то есть любое решение системы (1) в (а,Ь) непрерывно дифференцируемо.

3°. Задача Коши для системы (1) состоит в следующем: среди всех решений системы (1) найти такое решение У = ф(х), которое удовлетворяет условию

ади,^.                            (2)

В (2) х₀, Y₀ - любые, но такие, что точка (x₀,F₀) e(D).

dY 4°. Пусть дана система ----= F(x,Y) (1) и дано начальное условие

dx

^F(^x)lx=x₀^=Fo (²)- ^ПУ^{СТЬ ¥ =} Ч(^Х)> *е/~=(х₀-8,х₀ + 8), и Г = ф(х), х е/к = (х₀ - 8,х₀ + 8), - любые два решения задачи (1) - (2). Тогда: если су-

5

ществует интервал /§ = (х₀-8,х₀+8) такой, что ф(х) = ф(х), х е/§, то говорят, что задача (1) - (2) имеет единственное решение. Точку (x₀,F₀) e(D) называют в этом случае точкой единственности системы (1).

Пусть область (Di)<z(D), и пусть каждая точка (x,Y) eC^i) является точкой единственности системы (1). Тогда (D^ называют областью единственности системы (1).

§ 2. Некоторые сведения из теории вектор-функций

Напомним некоторые факты из теории вектор-функций, используемые при рассмотрении систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

1°. Пусть R" - w-мерное векторное пространство. Пусть вектор X

любой из R" . За норму вектора X принимают по определению

|Л1| = max |UJ} . " 0=1, л)¹

^х2

Х_п)

2°. Расстояние р(Х,Х) между любыми двумя точками X и X из R" определяют соотношением

р(Х,Х)= Х-Х

3°. Пусть Х^ - любая фиксированная точка из R". Ъ-окрестностъ точки Х^ определяется соотношением

Так как

Х-Х

(0)

^5

<8 <^>

(х^) = {х,

Х-Х

(0)

<5

}•

^xi ^Xi

<8, i = , п, то заключаем, что [/₈(Х⁽⁰⁾) -

w-мерный куб с центром в точке Х^ и ребром 25 .

4°. Пусть Х⁽ - последовательность векторов из R". Пусть X -

фиксированная точка в R". Говорят, что последовательность Х^ Н схо-

(          )keN

дится к Х^ при k —» °о , и пишут lim Х^ = Х^ если любому s > 0 отвечает

номер К такой, что как только к > К, так сейчас же

X

(к)

X

(0)

< s. Отметим,

что

X

(к)

X

(0)

<8 <^>

№ _v(0)

< s, i = ,n. Из этого следует, что сходи-

мость в пространстве R" осуществляется покомпонентно, то есть

flimX^w=X⁽⁰⁾l « flimx^=x?⁰⁾, i = ln].

к—юо                         У

V&—>оо

5°. Введем в рассмотрение вектор Y(x) =

^ГУх(^х)^Л У₂(^х)

Здесь х е R

ууЛ^хр

У(х), у₂(^х), •••, Уп(^х) ~ функции отх, определенные в некотором промежутке {a,b). Y{x) называется вектор-функцией скалярного аргументах, определенной в (а,Ь).

Говорят, что вектор-функция F(x) непрерывна в точке х₀ е(а,Ь), если в этой точке непрерывны одновременно функции У(х), у₂(х), •••, У_п(^х)-

Производная вектор-функции F(x) в точке х₀ &{а,Ь) определяется соотно-

^гу1Ы^л

шениемГ(х₀)= ^Оо)

Ууп(ч))

МОоХ У₂(^хоХ —, У_п(^хо)-

Y(xq) существует, если существуют одновременно

5

Пусть вектор-функция Y(x) определена в [a,b]. Y(x)dx определяется со-

отношением

(ь

Y(x)dx

y_x{x)dx

а Ъ

yi(x)dx

у_п(^х)

dx

Y(x)dx существует, если существуют одновременно ly^x)^, j^C-¹)^

Уп(^х)<*

■Jv .

Отметим, что

Y(x)dx < \\Y(x)\\dx

. В самом деле, имеем

]y(x)

dx

max

(/=1, п)

jy_t(x)dx

y_iQ(x)dx

<

ly_i0(*)

dx

<

j>(*)l

dx

6°. Рассмотрим вектор-функцию F(x,Y) вида

^гА(х,У1,...,у„)^л

F(xjy

/₂(х,Уъ — ,Уп) ^/_п(х,у_ъ...,у„))

Здесь «eN, n>, xeR, Y

^ГУ?

Уг

VJV

еR" . Будем считать, что f_t(x,у_ъ...,у_п),

п+

i = ,n , определены в некоторой области (D)a R

8F(x Y)         8F(x Y)

Частные производные вектор-функции F(x,Y): ———- и           

дх

dy_t

(/ = !,«) определяются соотношениями

6

dF(x,Y)

дх

дх ft

дх

ft ^dxJ

dF(x,Y)

ft ft

ft

(i = ln).

Символами ———- и         

d(x,F)

dF(x,Y)

d(x,Y)

dY ^f dfi ¥1 3/]

обозначают соответственно:

i J/i_

ft ft_

ft l дх ду_х ду₂ " ду_п )

дх   ду_х   ду₂

ft  ft  ft

дх   ду₁   ду₂

ft  ft  ft

матрица Якоби,

dF(x,Y) dY

_____J_

ft dy₂ ftft_ ft dy₂

ft ft

ft ft_

ft ft

V дУх ду₂ ду_п )

7°. Теорема о полном приращении вектор-функции.

Пусть

1) вектор-функция F(x,Y)eC(D) ((D)cR"⁺¹);

2)  область (D) выпукла по F, т.е. для любых двух точек (x,Y) и (x,Y) из (D) оказывается, что отрезок, их соединяющий, лежит в (D);

dY

Тогда для любых двух точек (x,Y) и (x,Y) из (D) справедливо соотношение:

о

► Пусть (x,Y) и (x,Y) - любые две точки из (D). Соединим их прямолинейным отрезком. Его параметрические уравнения будут такими:

7

.А — Jv.

* „          te[0,l].

Y = Y + t-(Y-Y),

В точках этого прямолинейного отрезка будем иметь:

F(x,Y) = F(x,Y + t-(Y-fj) = }v(t t е[0,1]. \\f (t) - векторная функция скалярного аргумента V.

|#(0 =

ч/₂(0

у

ДО = А(х,У1 + КУ - У\\ — , Уп + *(У_п - У_п)) (¹ = 1>«)

W„(0J

Отметим, что

1)  V|/ (?) е С([0,1]) как суперпозиция непрерывных функций.

2)  |/(0 имеет на [0,1] непрерывную производную

^{_xJ ₊ t(f-Y))-Cy_j-y₁)

j= ^у j

чш

vV)