Разное

Лекции по математическому анализу / Лекции по математическому анализу III.doc

 

Степенной ряд вида называется рядом Тейлора в окрестности точки а. Таким образом, если функция раскладывается в степенной ряд, то он является рядом Тейлора. Например:

Доказательство.

Доказано.

Вернёмся к предыдущему примеру. Если ранее введённая функция раскладывается в степенной ряд в некоторой окрестности точки противоречие с возможностью разложения некоторой функции в некоторой окрестности. Т.е. одной бесконечной дифференцируемости функции недостаточно для разложения в ряд.

Исследуем условия разложимости функции в степенной ряд. Для этого воспользуемся формулой Тейлора:

Отсюда, раскладывается в степенной ряд в точке а тогда и только тогда, когда:

Таким образом, вопрос о разложимости связан с ростом производных функции f. Укажем достаточные условия на рост производных для разложимости функций в степенной ряд.

Теорема. Если то

.

Доказательство.

Убедимся, что Удобнее всего для этого рассмотреть ряд и доказать сходимость По признаку Даламбера получаем:

ряд сходится, и в таком случае предел общего члена равен нулю.

3)      Разложение элементарных функций в ряды Тейлора-Маклорена.

Последнее разложение получено почленным дифференцированием предыдущего разложения.

Лекция №18

Ряды Фурье

1. Отдельные точки Евклидова пространства интегрируемости функций, ортогональные системы в нём.

Пусть линейное пространство интегрируемых по Риману на отрезке [a, b] функций. В нём можно определить скалярное произведение: удовлетворяющее следующим аксиомам скалярного произведения:

1)      (нулевая функция — функция, принимающая нулевые значения в точках непрерывности и возможно положительные значения в точках разрыва, мера которых равна нулю, т.е. нулевая функция — это не одна, а целый класс функций).

2)     

3)     

4)     

Линейное пространство со скалярным произведением называется Евклидовым пространством. Евклидово пространство можно рассматривать как нормированное, в котором норма определяется по правилам: Для такого отображения выполнены все аксиомы нормы:

1)     

2)     

3)      неравенство треугольника, и оно легко выводится из неравенства Коши-Буняковского

В свою очередь неравенство Коши-Буняковского позволяет определить и угол между функциями: В частности Норма позволяет определить расстояние между функциями и сходимость последовательности функций: Такую сходимость называют среднеквадратичной сходимостью

Сравним равномерную сходимость и среднеквадратичную сходимости на отрезке [a, b]; из равномерной сходимости вытекает среднеквадратичная сходимость:

Обратное неверно.

равномерной сходимости нет.

Пространство является бесконечномерным. В нём линейно-независимую систему, например, образуют функции (система степеней).

Задача. Охарактеризовать мощность пространства

Счётная система функций называется ортогональной, если  и ортонормированное, если система ортогональная и нормированная, т.е. . Далее будем обозначать ОС — ортогональная система, ОНС — ортонормированная система.

  1. Задача о наилучшем среднеквадратичном приближении функции по ОНС.

Пусть ОНС. Линейные комбинации вида будем называть полиномами порядка n по этой ОНС. Множество всех таких полиномов порядка n будет образовывать линейное подпространство размерности п, т.е. , с базисом

Задача. Доказать, что ОНС — линейно-независимая система.

Для величина называется величиной наилучшего среднеквадратичного приближения функции f полиномами порядка п по нашей ОНС. Полином называется полиномом наилучшего среднеквадратичного приближения.

Лекция №19

Ряды Фурье (продолжение)

Теорема.  причём

Доказательство. ОНС,

Итак, единственен.

Доказано.

Если ОНС, то функциональный ряд называется рядом Фурье функции f по ортогональной системе а коэффициенты этого ряда называются коэффициентами Фурье.

Частичные суммы ряда Фурье обладают экстремальным свойством: они являются Полинами наилучшего среднеквадратичного приближения:

Итак, каждой функции из можно поставить в соответствие её ряд Фурье.

Какое отношение этот ряд Фурье имеет к функции?

Когда этот ряд в среднеквадратичном сходится к функции: Ответы на эти вопросы зависят от свойств ОНС.

Имеем:

неравенство Бесселя.

ОНС называется базисом в если её ряд Фурье в среднеквадратичной форме сходится к ней, т.е. можно записать равенство

ОНС называется замкнутой в если множество всех полиномов по система плотно в относительно среднеквадратичной сходимости, т.е.:

ОНС называется полной в если не существует в ненулевой функции, ортогональной всем функциям системы.

ОНС удовлетворяет равенству Парсеваля, если равна сумме квадратов коэффициентов Фурье, т.е.

Теорема. Все четыре условия на ОНС — равносильные.

Мы докажем более слабый вариант теоремы: является базисом тогда и только тогда, когда она замкнута. И в случае базиса выполняется неравенство Парсеваля.

Доказательство. Необходимость.

Достаточность.

Неравенство Парсеваля:

Доказано.

Для ортогональной системы и необязательно нормированной системы ряд Фурье, коэффициенты ряда Фурье и равенство Парсеваля выглядят следующим образом:

ряд Фурье, у которого коэффициенты Фурье имеют вид: равенство Парсеваля.

Лекция №20-21

Ряды Фурье (продолжение)

  1. Тригонометрические ряды. Сходимость в среднеквадратичном.

Пусть одномерный тор, можно считать 2p-периодической, если она продолжается на всю прямую равенством

одномерный тор

Пусть интегрируемая по Риману функция на Т.

Тригонометрическая система имеет вид

Теорема. Тригонометрическая система ортогональна на Т.

Доказательство проведём в три этапа.

1)     

2)

3) Найдём скалярное произведение

Доказано.

Тригонометрический ряд Фурье обычно записывают следующим образом:

где коэффициенты Фурье вычисляются по следующим формулам:

В случае чётной и нечётной функции запись ряда Фурье можно упростить.

Выпишем тригонометрический ряд Фурье и коэффициенты Фурье для функции с периодом

Теорема. Тригонометрическая система является замкнутой в пространстве

Доказательство. Полиномы порядка n по тригонометрической системе обычно записывают следующим образом: Размерность подпространства тригонометрических полиномов порядка n равна

Доказательство теоремы будет осуществлено в несколько этапов с помощью метода промежуточного приближения.

Пусть

1) Любую интегрируемую функцию можно в среднеквадратичном приблизить к кусочно-постоянной функции.

Т.к. выполнены равенства:

Итак,существует кусочно-постоянная функция .

Любую кусочно-постоянную функцию можно в среднеквадратичном приблизить непрерывной 2p-периодической функцией.

2) Пусть

3) Любую непрерывную 2p-периодическую функцию можно приблизить тригонометрическим полиномом равномерно.

Теорема Вейерштрасса.

Из связи между среднеквадратичной и равномерной нормы отсюда вытекает, что этот полином близок к непрерывной функции и в среднеквадратичном:

4) Подведём итоги: любую интегрируемую функцию можно приблизить в среднеквадратичном тригонометрическим полиномом:

Доказано.

Следствие 1. Тригонометрическая система является базисом в пространстве

в среднеквадратичном,

Следствие 2. справедливо равенство Парсеваля

Следствие 3. и для величины наилучшего среднеквадратичного приближения: справедливо равенство

Задача. Сформулировать следствия 1-3 для периодических функций с периодом l.

Пример 1. Написать ряд Фурье для функции

Т.к. разложение в тригонометрический ряд Фурье единственно и наша функция уже является тригонометрическим рядом, то данный ряд и есть разложение в ряд Фурье.

Пример 2. Написать ряд Фурье для функции

Лекция №22

Ряды Фурье (продолжение)

  1. Равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье

Т.к. частичные суммы тригонометрического ряда, тригонометрические полиномы являются функциями непрерывными, то в случае равномерной сходимости предельная функция будет также непрерывной. Поэтому при исследовании равномерной сходимости можно считать, что раскладываемая функция является непрерывной.

Для всякой ли непрерывной функции тригонометрический ряд Фурье сходится равномерно?

Теорема Банаха-Штейнгауза.

1)      константа Лебега — ограниченная последовательность;

2)      существует плотное подмножество в такое, что для любой функции из этого плотного подмножества есть равномерная сходимость.

Доказательство. Проанализируем выполнение условий 1 и 2.

тригонометрический полином порядка m и запишем частичную сумму этого полинома порядка п:

т.е. есть равномерная сходимость на плотном множестве полиномов. Для проверки первого условия подробно запишем частичную сумму тригонометрического ряда Фурье.

ядро Дирихле, а сама запись частичной суммы называется интегральной (свёрткой функции f с ядром Дирихле). Для ядра Дирихле возможна другая запись:

Далее

Можно показать, что

Лемма.

Доказательство.

Отсюда

Доказано.

Следствие. Т.к. константы Лебега неограниченны, то равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье для любой непрерывной функции отсутствует.

Лекция №23

Ряды Фурье (продолжение)

Исследуем достаточные условия сходимости тригонометрического ряда Фурье. Для этого определим следующий класс функций.

2p-периодическую функцию назовём кусочно-непрерывно-дифференцируемой, если тор, или период, можно разбить на конечное число дуг или отрезков, на каждой из которых функция является непрерывно дифференцируемой.

Функция называется кусочно-непрерывно-дифференцируемая, если она кусочно-непрерывно-дифференцируемая и непрерывна на всём периоде.

непрерывная кусочно-дифференцируемая функция

Теорема. Тригонометрический ряд Фурье непрерывной кусочно-непрерывной дифференцируемой функции сходится к ней равномерно.

Доказательство. Для простоты рассмотрим случай

Выразим коэффициенты Фурье функции f через коэффициенты её производной, и для доказательства равномерной сходимости воспользуемся признаком Вейерштрасса. Т.к. из равномерной сходимости вытекает среднеквадратичная, а тригонометрический ряд Фурье в среднеквадратичном сходится именно к функции, то он будет равномерно сходится к этой функции.

Имеем:

Итак,

Далее

и по признаку Вейерштрасса тригонометрический ряд Фурье сходится равномерно.

Доказано.

Построим суммы к бесконечным частичным суммам ряда Фурье, но обладающие свойством равномерной сходимости для произвольной непрерывной функции. Определим эти суммы следующим образом:

суммы Фейера (по имени Л. Фейера), являющиеся тригонометрическим полиномом порядка п, в интегральном представлении которых участвует ядро, называемое ядром Фейера.

Другая запись ряда Фейера имеет вид:

 

разрыв

Пример 1. Ряд расходится,

Пример 2. «скорость» приближения функции.

Лекция №24

Ряды Фурье (продолжение)

Проверим, что для сумм Фейера выполнены оба условия в теореме Банаха-Штейнгауза. Это будет означать, что сумма Фейера равномерно сходится к любой непрерывной функции. Имеем:

1)      ограничены;

2)      сходимость на плотном множестве тригонометрических полиномов. Достаточно проверить сходимость и

Аналогично доказывается равномерная сходимость для

Предложим и другие доказательство равномерной сходимости сумм Фейера.

Теорема.

Доказательство. Имеем:

1)      равномерно непрерывна и ограничена, т.е. Т — тор, компактное множество.

Имеем:

2)     

и для этих п будет

Окончательно,

Доказано.

Следствием этой теоремы является теорема Вейерштрасса о возможности равномерного приближения любой непрерывной периодической функции тригонометрическими полиномами. Эта теорема была сформулирована при доказательстве замкнутости в среднеквадратичном тригонометрической системы.

В качестве следствия из этой теоремы можно получить и другую теорему Вейерштрасса.

Теорема Вейерштрасса. Множество алгебраических многочленов плотно в пространстве Это означает, что некоторой степени, такой, что

Лекция №25

Ряды Фурье (продолжение).

  1. Теорема Вейерштрасса-Стоуна

Пусть компактное множество, множество всех непрерывных функций на К, непрерывна, если

Пространство является полным линейным нормированным пространством с нормой

Множество назовём плотным в если

Подмножество назовём алгеброй, если будет:

1)      (замкнуто относительно суммы);

2)      (замкнуто относительно произведения);

3)     

Примерами алгебр являются множества всех алгебраических многочленов Р, множество всех тригонометрических полиномов M.

Будем говорить, что алгебра А разделяет точки компакта К, если Алгебры Р и M разделяют точки своих компактов.

Будем говорить, что алгебра не исчезает ни в одной точке компакта К, если Алгебры Р и M не исчезают ни в одной точке.

Теорема Вейерштрасса-Стоуна. Любая алгебра разделяющая точки компакта К и не исчезающая ни в одной точке компакта К, образует плотное множество в

Примем без доказательства.

По аналогии с многочленами от одной переменной можно определить многочлены от п переменных как конечные линейные комбинации функций вида Такая функция называется мамоном. Мамон является многочленом степени Степенью произвольного многочлена называют наибольшую степень мамона, входящую в этот многочлен.

Пример. Степень многочлена равна 3, т.е. это мамон 3-ей степени.

Показать самостоятельно, что эта алгебра разделяет точки произвольного компакта и не исчезает ни в одной точке компакта К. Поэтому из теоремы Вейерштрасса-Стоуна сразу получаем, что плотно в

Задача. Пусть Показать, что А — алгебра и найти необходимое и достаточное условие, чтобы эта алгебра разделяла точки отрезка и не исчезала ни в одной точке т.е. была бы плотна в пространстве

Алгебра А разделят точки тогда и только тогда, когда функция строго монотонна на Действительно, если например, строго возрастающая, то

Следовательно,

Если не является строго монотонной, то в которых функция принимает одинаковые значения. Тогда и точки и не разделяются.

Убедимся на примерах, что в теореме Вейерштрасса-Стоуна оба дополнительных условия являются важными.

Пример 1. Укажем алгебру в пространстве не разделяющую точки и не плотную вТакая алгебра может быть выбрана как подалгебра Р. Тривиальный пример — константы. Менее тривиальный пример — множество всех чётных многочленов Это множество не является плотным в пространстве

Пример 2. Укажем алгебру (подалгебру) многочленов на исчезающую в некоторой точке. В качестве такой алгебры можно взять множество всех нечётных многочленов

Все эти функции исчезают в нуле, и эти функции не приближают т.к.

Лекция №26

Поточечная сходимость тригонометрического ряда Фурье

Можно показать, что для тригонометрических рядов Фурье непрерывных функций отсутствует не только равномерная сходимость, но и поточечная сходимость в отдельных точках.

Теорема. Для любой кусочно-непрерывно-дифференцируемой функции f(x) её тригонометрический ряд Фурье сходится всюду, причём к f(x), если точка непрерывности, и к если точка разрыва.

К доказательству этой теоремы предпошлём глубокий анализ поведения частичной суммы ряда Фурье

Этот анализ будет основываться на следующей лемме.

Лемма. новая функция

Доказательство.

1)     

2)     

Отсюда для равномерной сходимости достаточно показать, что следующие последовательности стремятся к нулю.

3)      При доказательстве замкнутости тригонометрической системы было установлено, что Это и означает, что

Доказано.

Лекция №27

Поточечная сходимость тригонометрического ряда Фурье

(продолжение)

Укажем более простой вид частичной суммы ряда Фурье:

непрерывна на

поэтому по лемме получаем

Далее

Итак,

Последняя запись частичной суммы Фурье называется принципом локализации Римана, согласно которому, сходимость ряда Фурье в точке зависит от значений функции в достаточно маленькой окрестности точки.

Если то

Покажем, используя (*), что если точка разрыва первого рода, то

По формуле Лагранжа

Аналогично:

и для этого  т.к. т.е.

Лекция №28

Собственные интегралы, зависящие от параметра

Пусть и тогда определена новая функция

собственный интеграл, зависящий от параметра у.

Необходимо охарактеризовать свойства функции в зависимости от свойств функции

Теорема 1. Если то

Доказательство. равномерно непрерывна на D и

равномерно непрерывна на

Доказано.

Теорема 2. Если тои

повторный интеграл.

Доказательство. Пусть Докажем, что