- •III осенний семестр Лекция №1 Числовые ряды
- •Лекция №2 Сходимость положительных рядов
- •Лекция №3 Сходимость положительных рядов (продолжение)
- •Лекция №4 Сходимость положительных рядов (продолжение)
- •Ряды с членами произвольного знака
- •Лекция №5 Ряды вида
- •Лекция №6 Перестановки числовых рядов
- •Лекция №6 Перестановки числовых рядов (продолжение)
- •Лекция №8 Умножение рядов (продолжение)
- •Двойные ряды
- •Лекция №9 Двойные ряды (продолжение)
- •Бесконечные произведения
- •Лекция №10 Бесконечные произведения (продолжение)
- •Лекция №11 Функции, представляющиеся в виде бесконечных произведений
- •Функциональные последовательности и ряды
- •Лекция №12 Функциональные последовательности и ряды (продолжение)
- •Лекция №13 Функциональные последовательности и ряды (продолжение)
- •Лекция №14 Свойства предельной функции и сумма функционального ряда в случае равномерной сходимости
- •Лекция №15 Пространства и сходимость в них
- •Степенные ряды
- •Лекция №16 Степенные ряды (продолжение)
- •Лекция №17 Разложение функций в степенные ряды
- •Лекция №18 Ряды Фурье
- •Лекция №19 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №20-21 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №22 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №23 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №24 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №25 Ряды Фурье (продолжение).
- •Лекция №26 Поточечная сходимость тригонометрического ряда Фурье
- •Лекция №27 Поточечная сходимость тригонометрического ряда Фурье (продолжение)
- •Лекция №28 Собственные интегралы, зависящие от параметра
- •Несобственные интегралы, зависящие от параметра
- •Лекция №29 Несобственные интегралы, зависящие от параметра (продолжение)
- •Лекция №30 Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра
- •Свойства гамма-функции
- •Лекция№31 Преобразование Фурье
- •Разложение в ряд Тейлора-Маклорена некоторых элементарных функций
Лекции по математическому анализу III
III осенний семестр Лекция №1 Числовые ряды
Понятие сходимости числового ряда
Пусть последовательность действительных чисел,
- числовой ряд (1).
Составим последовательность частичных сумм:
последовательность частичных сумм
Если для ряда (1) существует предел последовательность частичных сумм при , равный числу, то ряд называетсясходящимся, а число S – его сумма. В противном случае ряд (1) называется расходящимся.
Пример. Исследовать сходимость и найти сумму ряда
Составляем последовательность частичных сумм:
Свойства сходящихся рядов
остаток сходящегося ряда, последовательность остатка.
1. Необходимое условие сходимости: частичные суммы сходящегося ряда – ограничены: (это вытекает из того, что сходящаяся последовательность ограничена).
Приведём пример ряда, у которого частичные суммы ограничены, а сам ряд будет расходиться:
2. Необходимое условие сходимости: у сходящегося ряда предел общего члена равен нулю
Доказательство. Доказано.
Рассмотрим пример расходящегося ряда, для которого
неограниченная, наименьшее слагаемое .
Пример. расходится, т.к.
Предположим, что
противоречие.
3. Необходимое условие сходимости: у сходящегося ряда
Доказательство. Доказано.
4. Сходимость ряда не нарушится, если добавить или отбросить конечное число слагаемых.
5. Множество сходящихся радов образуют линейное пространство:
если
6. Критерий Коши: ряд (1) сходится фундаментальная, т.е.
Пример. гармонический ряд (расходящийся).
т.е. не выполнен критерий Коши, ряд расходится.
-функция Римана
Задача. Исследовать сходимость ряда сумма бесконечной геометрической прогрессии. Доказать, что приряд сходится,
Решение.
Лекция №2 Сходимость положительных рядов
Критерий сходимости положительного ряда
положительный ряд (1)
Теорема. Ряд (1) – сходится тогда и только тогда, когда последовательность ограниченная.
Доказательство. Необходимость.
Известно как необходимое условие сходимости.
Достаточность.
ограниченная т.е.сходится (по теореме Коши о пределе монотонной последовательности). Доказано.
Замечание. У положительного ряда достаточно проверять ограниченность только некоторой подпоследовательности частичных сумм.
Признак сравнения
Теорема. Если даны два ряда то:
если -сходится, то - сходится;
если - расходится, то -расходится.
Доказательство.
1) подпоследовательность частичных сумм ряда, подпоследовательность частичных сумм рядаограниченная сверху (по необходимому условию сходимости), ограниченная сверхусходится.
Вторая часть теоремы доказывается аналогично.
Доказано.
Замечание. В признаке сравнения выполнение неравенства достаточно требовать для
При использовании признака сравнения можно использовать сравнение последовательностей:
1. если и рядсходится;
2. если то сходимостии эквиваленты;
3. то сходимостии эквивалентны.
Пример. Исследовать на сходимость
расходится, а значит и данный ряд расходится.
Признак сравнения в предельной форме
Если даны то
если ряд сходится, то ряд-сходится;
если ряд расходится, то ряд-расходится.
Обобщённый признак сравнения
Если даны то
если -сходится, то - сходится;
если - расходится, то -расходится.
Доказательство.
1) Имеем илиилиили
-сходится.
Вторая часть теоремы доказывается аналогично.
Доказано.
Замечание. В обобщённом признаке сравнения выполнение неравенств достаточно требовать для
Признак Даламбера
Если для ряда то
Доказательство. Пусть тогда рядсходится,расходится, но
Пусть тогдаи длясходится и по обобщённому признаку сравнения исходный ряд сходится.
Пусть
Значит, ряд расходится.
Доказано.