Аналитическая геометрия / шпора.doc

1 Преобразование систем координат

1.1 Параллельный перенос x=x’+x₀; y=y’+y₀

1.2 Поворот x=r*cos(a+φ) x=r*cosφ*cosa-r*sinφ*sina

y=r*sin(a+φ) y=r*cosφ*sina+r*sinφ *cosa

x=x’*cosa-y’*sina+x₀;

y=x’*sina+y’*cosa+y₀

2 Параметрическое Ур-е прямой

r =r0+at; x=x0+lt;y=y0+mt

3 Каноническое Ур-е прямой

t=(x-x0)/l=(y-y0)/m

4 Ур-е прямой проходящей через 2 заданные точки

(x-x₀)/(x₁-x₀)=(y-y₀)/(y₁-y₀); M₀(x₀,y₀),M₁(x₁,y₁)-точки на пр

5 Ур-е прямой в отрезках на осях

(x-a)/(0-a)=(y-0)/(b-0);

-(x/a)+1=y/b=>

 x/a+y/b=1

6 Взаимное расположение 2-х прямых на плоскости

Матрица: A1x+B1y+C1=0 N1=(A1,B1)

A2x+B2y+C2=0 N2=(A2,B2)

6.1 Параллельны(rangA=1,rangA(расш)=2,N₁||N₂, N₁=λN₂, C₁≠λC₂)

6.2 Совпадают(rangA=rangA(расш)=1,N1=λN2,C1=λC2)

6.3 Пересекаются(rangA=rangA(расш)=2, N1 || N2, cosφ=(N1N2)/(|N1|*|N2|))

7 Расстояние от точки до прямой на плоскости

d=|Ax₁+By₁+C|/√(A²+B²)

8 Параметрическое Ур-е плоскости

M₀M=au+bδ; r=r₀+au+bδ a=(a₁,a₂,a₃); b=(b₁,b₂,b₃)- направл векторы. x=x₀+a₁u+b₁δ; y=y₀+a₂u+b₂δ; z=z₀+a₃u+b₃δ M0(x₀,y₀,z₀)-точка на плоскости

9 Ур-е плоскости проходящей через 3 точки

x-x₁ y-y₁ z-z₁

x₂-x₁ y₂-y₁ z₂-z₁ =0 (посчитать определитель)

x₃-x₁ y₃-y₁ z₃-z₁

10 Ур-е плоскости в отрезках

x/a+y/b+z/c=1

11 Взаимное расположение плоскостей

A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0

A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0

11.1 Параллельны(rangA=1,rangA(расш)=2)

11.2 Совпадают(rangA=rangA(расш)=1)

11.3 Пересекаются по прямой(rangA=rangA(расш)=2, cosφ=(N₁N₂)/(|N₁|*|N₂|))

12 Расстояние от точки до плоскости

d = |(A(x₁-x)+B(y₁-y)+C(z₁-z))/(√A²+B²+C²)| = |(Ax₁+By₁+Cz₁+D)/√A²+B²+C²|; D=-Ax-By-Cz

13 Ур-е прямой в пространстве

A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 rangA=rangA(расш)=2

A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0

14 Параметрическое Ур-е прямой в пространстве

x=x₀+lt M₀M||a=>M₀M=at;r-r₀=at;r=r₀+at

y=y₀+mt

z=z₀+ht

15 Каноническое Ур-е прямой в пространстве

(x-x₀)/l=(y-y₀)/m=(z-z₀)/n

16 Ур-е прямой проходящей через 2 заданные точки

(x-x₀)/(x₁-x₀)=(y-y₀)/(y₁-y₀)=(z-z₀)/(z₁-z₀)

17 Расстояние от точки до прямой в пространстве

d=|[a,M0M]|/|a|

18 Расстояние между скрещивающимися прямыми

строим паралелепипид; расстояние меж М₁ и М₂ —это высота паралелепипида; d=V/S_осн= |(a₁,a₂,M₁M₂)|/|[a₁,a₂]|

19 Угол между прямой и плоскостью

sina=|cos((ПИ/2)-a)|=|cosN^a|= |(N,a)/(|N|*|a|)|

20 Эллипс

Это множество точек плоскости сумма расстояний от которых до 2-х заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная. x²/a²+y²/b²=1; a-большая полуось, b-малая полуось.Свойства:

20.1 Пересечение с осями координат Ox: y=0 =>x=±a; A₁(a,0), A₂(-a,0); Oy: x=0 => y=±b; B₁(0,b) B₂(0,-b); A₁,A₂,B₁,B₂-верш

20.2 Симметрия относительно осей M’(x,-y)Є Эллипсу; M(x,y)Є Эллипсу =>симметричен относительно Ox; M’’(-x,y)Є Эллипсу; M’’’(x,y)Є Эллипсу => симметричен относительно Oy; O- центр симметрии.

20.3 Эллипс лежит в конечной части плоскости x²/a²=1-y²/b² >=0; y²<=b² ;-b<=y<=b; -a<=x<=a; a²-c²=b²;

B1(0,b)

√(x-c)²+y²+√(x-c)²+y²=2a

20.4 x²+y²=a²; x=x’; y=(a/b)y’;(x’)²+(a²/b²)/y’²=a²; x’²/a²+y’²/b²=1

20.5 Параметрическое Ур-е эллипса

x=acost x²/a²+y²/b²=1

y=bsint 0<=t<=2ПИ

20.6 Эксцентриситет эллипса ε=c/a; для окружн ε=0

(F₁(c,0), F₂(-c,0))

20.7 x=±(a/ε)- директрисы

21 Гипербола

Это множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек(фокусов) есть величина постоянная.

x²/a²-y²/b²=1; √(x+c)²+y^2-√(x-c)²+y²=±2ab²=c²-a²;

21.1 Пересечение с осями координат Ox: A₁(a;0);A₂(-a;0); c Oy не пересекается.

21.2 A₁A₂=2a —действительная ось; OA₁=OA₂=a- действительная полуось.

21.3 B₁B₂=2b — мнимая ось; b-мнимая полуось

21.4 Асимптоты y=(b/a)x и y=-(b/a)x

21.5 Эксцентриситет ε=c/a

21.6 Директрисы x=±(a/ε)

22 Парабола

Это множество всех точек, каждая из которых одинаково удаленна от данной точки(фокуса), и данной прямой(директрисы). Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром(p>0). y²=2px ε=1

23 Винтовая кривая

x=Rcost

y=Rsint

z=h/(2ПИ)*t

24 Конхойда Никомеда

Кривая, которая получается при увеличении,уменьшении длины радиусвектора каждой точки прямой на одну и туже величину. |OB|=a/cosφ; b=√x²+y²; cosφ=x/√x²+y²; MM’=a/cosφ±b; (x=a); x√x²+y²=a√x²+y²±bx; (x-a)√x²+y²=±bx; (x-a)²(x²+y²)=b²x².

25 Старфойда

Точка М лежит на старфойде если она лежит на луче выходящем из точки А(-а,0) и |PM|=|PO|; -ПИ/2<t<ПИ/2;

тМ x=-asint

y=atgt(1-sint) y²(a-x)=x²(a+x)

26 Цилиндр

Это поверхность, образованная движением прямой L(образующая), которя перемещается в пространстве, сохраняя постоянное направление и песекая каждый раз некоторую кривую К(направляющая).

26.1 Эллиптический

x²/a²+y²/b²=1

26.2 Параболический

x²=2pz

26.3 Гиперболический

x²/a²-y²/b²=1

27 Эллипсоид

x²/a²+y²/b²+z²/c²=1 линия в сечении: x²/a²+y²/b²=1-h²/c²

z=h

полуоси: a=a√1-h²/c²

b=b√1-h²/c²

a) h=±c C₁(0,0,c);C₂(0,0,-c)

б) |h|>c O

в) |h|<c

x²/(a√1-h²/c²)²+y²/(b√1-h²/c²)²=1

z=h

28 Однополостный гиперболойд

x²/a²+y²/b²-z²/c²=1

при пересечении плоскостью z=h:

x²/(a√1+h²/c²)²+y²/(b√1+h²/c²)²=1

z=h

эллипс↑ a,b- действ полуоси, с- мнимая полуось

1) z=0 x²/a²+y²/b²=1 Элипс

2) y=0 x²/a²-z²/c²=1

3) x=0 y²/b²-z²/c²=1

29 Двуполостный гиперболойд

x²/a²+y²/b²-z²/c²=-1 Если пересеч плоскостью z=h :

x²/a²+y²/b²=h²/c²-1

z=h

a,b- действ полуоси, с- мнимая полуось

1) y=0 x²/a²-z²/c²=-1 Гипербола с действ осью Oz; мн ось Ox;

2) x=0 y2/b2-z2/c2=-1 Гипербола с действ осью Oz; мн ось Oy

3) ||xOy z=h x²/a²+y²/b²=h²/c²-1; h=±c; C₁(0,0,c), C₂(0,0,-c)-верш

30 Конус

x²/a²+y²/b²-z²/c²=0

1) y=0 x²/a²-z²/c²=0 z=±(c/a)x две прямые

2) x=0 y²/c²-z²/c²=0 z=±(c/b)y две прямые

3) пл||xOy z=h; x²/a²+y²/b²=h²/c²

h≠0 x²/(a|h|/c)²+y²/(b|h|/c)²=1 эллипс

31 Гиперболический параболойд

x²/p-y²/q=2z

1) x=0 —y²=2qz парабола

2) y=0 x²=2pz парабола

3) ||xOy, z=h x²/p-y²/q=2h

3.1) h=0;xOy x²/p-y²/q=0 ; y=±√a/p*x

3.2)h>0 x²/2ph-y²/2qh=0 Парабола с действ осью || Ox

3.3) h<0 x²/2ph-y²/2qh=1 Гипербола с действ осью || Oy

32 Бинарная алгебраическая операция

Пусть множ А-произвольное, А≠ О, отображение φ:А²èА, А²=А*А, а₁φа₂èa₃; примеры: 1)N +,* 2)Z +,*,-; (A,φ) множ операций заданных на этом множ наз. Алгебраической структурой. Свойства: 1) (А,*)- коммутативная операция, если a*b=b*a (*-не умножение, это знак операции )

2)* ассоциативная если a*(b*c)=(a*b)*c

33 Нейтральный элемент

Эл является нейтральным относительно * если a*e=e*a=a, если е существует то он единственный.Док-во: от обратного е₁*е₂=е₁=е₂, е₁=е₂.

34 Симметричный элемент

Если a*b=b*a=e, то b наз. Симметричным для а.

(А,*) с нейтр Эл е и * -ассоциативная опер, то если для а сущ b то он единственный.Док-во: b₁,b₂; b₁*a*b₂=(b₁*a)*b₂=b₂; b₁*a*b₂=b₁*(a*b₂)=b₁; b₁=b₂.

35 Дистрибутивная операция

Рассмотрим (А,*,∆); *- дистрибутивная относительно ∆, если для любых a,b,c из А, a*(b∆c)=(a*b)∆(a*c)(лев дистрибутив) (b∆c)*a=(b*a)∆(c*a)(правый дистрибутив); если и правый и левый то просто дистрибутив.Пр: a(b+c)=ab+ac.

36 Полугруппа

(А,*)-полугруппа. *- бинарная ассоциативная опер. Если * -коммутативная опер,то полугр наз коммутативной.

36 Манойд

Это полугруппа с нейтральным Эл. Пр: (Z,+)

37 Группа

Это множ с одной бинарной опер:1) a*(b*c)=(a*b)*c 2) сущ нейтрал Эл a*e=e*a=a 3)для любого а сущ а’: a*a’=a’*a=e;

Гр наз коммутативной или Абелевой, если * коммутативна. Если кол-во Эл в группе конечно, то группа называется конечной а кол-во Эл называется её порядком.

Свойства: 1) сущ единственный е. 2)для любого а сущ ед симметричный а’.3) разрешимы Ур-я: a*x=b; y*a=b; x=a’*b; y=b*a’; a’*a=a*a’=e.

38 Подгруппа

Пусть (G,*) —группа H G; (H,*)- группа, подгруппа множG

1) любые a,b принадл H 2) e принад H 3) для люб а из Н сущ а’ из Н. Пр: ({e},*),(G,*)

39 Циклические группы

Это мультипликативная гр с образующим Эл <a>={aⁿ|n прин Z}. Пр: (Z,+)=<1><-1>

40 Изоморфные группы

Две гр (G,*) и (G’,∆) наз изоморфными, если сущ такое отображение f: GèG’ такое что:

1) f —биекция 2) f(a*b)=f(a)∆f(b) 3) обозн (G,*)(знак равно, над ним волна)(G’,∆) Свойства: при изоморфном отображ нейтральный Эл переходит в нейтральный 2) При изо отобр симметричный Эл переходит в симметричный a*a’=a’*a=e 3) обратное отображ к изом также является изоморфным.

41 Кольцо

Это алгебраическая структура с двумя бинарными операциями +,* удв усл: 1) (К,+)- Абелева гр 2) (К,*) —полугруппа. 3) a(b+c)=ba+ca; (b+c)a=ba+ca

Если * -коммутативна, то кольцо коммутативно. Если 1 принадл К то кольцо наз кольцом с 1. Аксиомы кольца:

1)a+b=b+a 2) (a+b)+c=a+(b+c) 3)сущ 0 из К: a+0=a

4)для любого а из К сущ —а из К: а+(-а)=0

5) a(bc)=(ab)c 6) a(b+c)=ab+ac; (b+c)a=ba+ca

Свойства: 1) сущ единственный 0.

2)для а сущ ед (-а) : а+(-а)=0

3)можно определить операцию вычетания a-b=a+(-b)

4) можно определить целочисленное кратное Эл-в

Пр: (Z,+,*),(Q,+,*),(R,+,*),(C,+,*) коммутативные с 1.

42 Сравнения. Кольцо классов вычетов

a,b наз сравнимыми по модулю m если они при делении на m дают одинаковый остаток. a≡b(mod m) ó a=mq1+r; b=mq2+r;

a≡b(mod m) ó(a-b)(три точки вертикально)m

Пр: 5≡-4(mod 3) 5=1*3+2;-4=(-2)*3+2

 Классом вычетов по модулю m — все целые числа которые при делении на m дают остаток r={r+ma}: 0(с чертой сверху)={0,±m;±2m…};1={0,±m+1,…}

Множ классов вычетов на котором опр +,* явл кольцом.

Пр: (Z(2),+,*) Z(2)={0,1(с чёрточками)}

+	0	1
0	0	1
1	1	0

*	0	1
0	0	0
1	0	1

43 Тела и поля

Тело — кольцо с 1, 1≠0 в котором каждый ненулевой Эл обратим. 1) (T,+) —Абелева группа 2)(T\{0},*) —группа

3) a(b+c)=ab+ac; (b+c)a=ba+ca

Свойства:1)сущ 0 2)для а сущь ед —а 3)сущ ед 1, сущ ед а^-1

4)любой а≠0 5) a-b=a+(-b) 6) a/b=a*b^-1 7)aⁿ 8) в теле нет делителей нуля

Поле —коммутативное тело.(F,+,*) 1) (F,+,*) —тело 2)ab=ba

Кривые второго порядка на плоскости Ax²+Cy²+2Dx+2Ey+f=0

1) A*C>0, 0<=ε<1 Эллипс 2) С=0, ε=1 парабола 3) A*C<0 две пересекающиеся прямые. 3) ε=с/a >1 Гипербола

1)x²/a²+y²/b²=1 Эллипс 2) x²/a²+y²/b²=-1 мнимый Эллипс

3)x²/a²-y²/b²=1 Гипербола 4) x²/a²+y²/b²=0 пара мнимых пересекающихся прямых. 5)x²/a²-y²/b²=0 пара пересекающихся прямых 6) y²=2px парабола 7)y²=a² пара || прямых. 8)y²=-a² пара мнимых || прямых 9) y²=0 пара совпадающих прямых.