Шпоры по кратным интегралам / Кратные интегралы.doc

1. Пром-к в про-ве R^k (опр-ние, понятие меры пром-ка). Трм о св-вах меры. Опр-ние разб-ия пром-ка и диаметра разб-ия. Понятие измельч. разб-ия.

О.1: Пусть , ,  — векторы из R^k. Тогда мно-во I =  = {| a_i ≤ x_i ≤ b_i , } — наз. пром-ком или сегментом, или коорд. пара-педом в R^k.

О.2: Мерой (или объёмом) пром-ка  наз. .

Трм.1: Св-ва меры пром-ка. Для меры пром-ка  справ-вы: 1) Однородность: ("l ≥ 0): ; 2) Аддитивность: Если I₁ и I₂ — некот-ые пром-ки без общ. внутр. тчк и такие, что =I₁ÈI₂, то =V(I₁)+V(I₂);

3) Монотонность. Если I₁ÌI₂, то V(I₁) ≤ V(I₂). Док-во: 1) Пусть l ≥ 0, тогда  = . 2) Пусть  разбит гиперплос-тью x_j = c на 2-а пром-ка I₁ и I₂. I₁ = {| a_i ≤ x_i ≤ b_i , если i ≠ j, a_j ≤ x_j ≤ c}, I₂ = {| a_i ≤ x_i ≤ b_i , если i ≠ j, c ≤ x_j ≤ b_j}, . =I₁ÈI₂; V(I₁)+V(I₂) = (c — a_j) + (b_j — c)  =  = .

3) , Þ ("): c_i ≤ a_i ≤ b_i ≤ d_i, Þ ≤ = , ■

Сл-ие1: Если I₁, I₂,…, I_n — пром-ки без общ. внутр. тчк и , то .

Сл-ие2: Если  покрыт конечной сис-мой пром-ков I₁, I₂,…, I_n, т.е. , то ≤ .

О.3: Мно-во плос-тей P = {| j_i = 0,1,2,…,m_i ()}, удовлетворяющ. усл-ию a_i = … = b_i (), m_i ≥ 1 — целые числа и , наз. разб-ем  на n пром-ков I₁, I₂,…, I_n. .

О.4: Для " разб-ия P пром-ка  на пром-ки I_j, , положим m(P) =  и наз. это m(P) диаметром разб-ия P, а d(I_j) — диаметром пром-ка I_j.

О.5: Разб-ие P* пром-ка , полученное добавлением к разб-ию P плос-тей x_i = c_i, где a_i < c_i < b_i () наз. измельч. разб-ия P. PÌP*.

О.6: Разб-ие P* наз. общ. измельч. двух разб-ний P₁ и P₂ пром-ка , если P* = P₁ÈP₂.

2. Опр-ние интеграль. суммы и ее предела при стремлении к нулю диаметра разб-ия. Опр-ние ИР по пром-ку.

О.1: Пусть ¦:(IÌR^k)→R — огранич. ф-ция k переменных x₁, x₂,… ,x_k. И пусть P — некот-ое разб-ие пром-ка I на пром-ки I_i, . Выберем тчк () и составим след. сумму: , кот-ую будем наз. интеграль. суммой, сост-ой от-но пром-ка  и произволь. выбранных тчк () для ф-ции .

О.2: По опр-нию будем считать, что AÎR — предел интеграль. суммы s(P,¦) при m(P)→0 и , если ("e>0)($d(e)>0)("P, 0<m(P)<d(e))(): |s(P,¦)—A|<e Û .

О.3: Если , то его знач-ие наз. ИР от ф-ции  на пром-ке  и обозначают: == ; при этом ф-ция интегрир. по Риману на : , .

3. Опр-ние сумм Дарбу. Трм о св-вах сумм Дарбу.

О.1: Пусть ¦:(IÌR^k)→R, тогда кажд. разб-ию P пром-ка I на I₁, I₂,… , I_n можно поставить , , . Составим ВСД и НСД: , .

Трм.1: Св-ва сумм Дарбу. 1) "P: ; 2) Если PÌP*, то ; 3) Для люб. 2-х разб-ий P₁ и P₂ справ-во: ; 4) Для "P пром-ка I вып-ся: ; 5) Для "P пром-ка I вып-ся:  и , . Док-во аналог-но док-ву для ф-ций 1-ого переменного.

4. Опр-ние НИР и ВИР по пром-ку. Трм о св-вах НИР и ВИР по пром-ку.

О.1: Пусть ¦:(IÌR^k)→R — огранич. на пром-ке I. Тогда для " разб-ия P пром-ка I рас-рим ВСД и НСД. По опр-ию будем считать ТВГ мно-ва НСД по всем разб-ям P НИР по пром-ку: , а ТНГ мно-ва ВСД будем считать ВИР по пром-ку: .

Трм.1: Св-ва ВИР и НИР по пром-ку. Пусть ¦:(IÌR^k)→R — огранич. на I. Тогда для ВИР и НИР справ-вы св-ва: 1) ВИР и НИР от ф-ции  сущ-ют на I; 2) НИР не превосходит ВИР: ; 3)  и . Док-во: 1) Т.к.  — огранич. на I, то ($m, MÎR)("ÎI): m≤≤M. Пусть теперь P — люб. разб-ие I на пром-ки I₁, I₂,… I_n. Тогда в силу m ≤ m_i ≤ M_i ≤ M  (), оценим ВСД и НСД: ≥  и  ≤,Þ мно-ва ВСД и НСД по всем разб-ям P огранич.,Þ  и . Значит, ВИР и НИР сущ-ют. 2) Т.к. для люб. 2-х разб-ий P₁ и P₂ по св-ву сумм Дарбу: . Тогда если P₂ зафикс-ть, а P₁ менять, то . Теперь если будем менять P₂, то ,Þ . 3) Без док-ва.

5. Критерий Дарбу о существовании интеграла Римана по промежутку.

Трм.1: Пусть  — пром-к в про-ве R^k. И ф-ция ¦:(IÌR^k)→R — огранич. на I. Тогда для того, чтобы  была интегрир. на I н. и д., чтобы ВИР и НИР совпадали: (). Док-во: 1) Н-ть. Пусть , Û , Û ( "e > 0 ) ( $d(e) > 0 ) ( "P, 0<m(P)<d(e)) (, ): . Т.е.: < s(P,¦) < . Но по св-ву сумм Дарбу: <<, Þ  и , Þ . 2) Дос-ть. Пусть . Тогда из нер-ва:  и св-ва НИР и ВИР:  и , получаем, что крайние члены в этом нер-ве стремятся к одному и тому же пределу, равному . Тогда по трм о 2-х конвоирующих имеем: , Þ , ■

6. Опр-ие мно-ва меры 0 в про-ве R^k . Трм о св-вах мно-в меры 0.

О.1: Мно-во EÌR^k наз. мно-вом меры 0, если ("e>0)($ покрытие мно-ва E конеч. или счёт. сис-мой пром-ков I₁, I₂, …): .

Трм.1: Св-ва мно-в меры 0. Для мно-в меры 0 в про-ве R^k справ-вы св-ва:

1) Объединение конеч. или счёт. числа мно-в меры 0 — мно-во меры 0;

2) Люб. подмно-во мно-ва меры 0 есть мно-во меры 0. Док-во: 1) Пусть  , E_n — мно-ва меры 0. Тогда "e>0 построим покрытие для кажд. E_n, обозначенное , удовлет-щее: . Тогда все такие пром-ки образуют не более, чем счёт. мно-во, а их объединение не более, чем счетное. Тогда , Þ E — мно-во меры 0.

2) Очевидно, ■

7. Опр-ния допустимого мно-ва и характеристич. ф-ции. Опр-ние ИР по мно-ву. Трм об инвариантности опр-ния ИР по мно-ву.

О.1: Мно-во EÌR^k наз. допустимым мно-вом, если оно огранич. в R^k и его граница ¶E — мно-во меры 0.

О.2: Ф-цию  — будем наз. характеристич. ф-цией допустимого мно-ва E.

О.4: Пусть ф-ция ¦:(EÌR^k)→R — огранич. на допустимом мно-ве E. Тогда интегралом от ф-ции  по мно-ву E будем наз.: , где I É E — произволь. пар-пед. Если этот интеграл сущ-ет, то ф-ция  интегрир. по Риману на мно-ве E, .

Трм.1: Инвариантность опр-ния ИР по мно-ву. Пусть ф-ция ¦:(EÌR^k)→R — огранич. Тогда, если I₁ и I₂ — пром-ки, содержащие мно-во E, то из сущ-ния одного из интегралов  или  следует сущ-ние др. интеграла и их рав-во. Док-во: Пусть I = I₁ÇI₂. По усл-ию трм E Ì I. Точки разрыва ф-ции лежат одновременно в I, I₁, I₂. Поэтому по критерию Лебега интегралы от этой ф-ции по пром-кам I, I₁, I₂ сущ-ют или не сущ-ют одновременно. Пусть согласно усл-ию трм сущ-ют интегралы по I₁ и I₂. Рас-рим раб-ия P₁ и P₂ соотв. пром-ков I₁ и I₂. Причём в пром-ке I они совпадают. И выберем точки  в интеграль. суммах для этих пром-ков так, чтобы s(P₁,¦c_E)= s(P₂,¦c_E). Переходя к пределу при m(P₁)→0 и m(P₂)→0 получаем, что =, ■

8. Критерий Лебега интегрир-ти по мно-ву. Опр-ние меры Жордана допустимого мно-ва. Внутр. и внеш. меры Жордана допустимого мно-ва.

Трм.1: Критерий Лебега интегрир-ти на мно-ве. Для того, чтобы ф-ция ¦:(EÌR^k)→R (ограниченная) была интегрир. по Риману на допустимом мно-ве E н. и д. , чтобы она была непрерывна почти всюду на мно-ве E. Док-во: пусть I —пром-к в R^k, содержащий мно-во E, тогда  может иметь точки разрыва как на самом мно-ве E, так и на границе ¶E, кот-ая явл. мно-вом меры 0, Þ эта ф-ция имеет мно-во точек разрыва меры 0. Тогда из опр-ния интеграла по мно-ву и т.к. эта ф-ция непрерыв. почти всюду на E и на I (критерий Лебега интегрир-ти по пром-ку) следует интегрир-ть на мно-ве.

О.1: Мерой Жордана допустимого мно-ва EÌR^k наз. , если этот интеграл сущ-ет. При этом мно-во E наз. измеримым по Жордану.

О.2: Пусть EÌR² —односвяз. обл-ть с границей конеч. длины, Þ E — допустимое мно-во, Þ оно измеримо по Жордану: . Составим для  ВСД и НСД:  и . Тогда  — внутр. мера обл-ти E;  — внеш. мера обл-ти E.

9. Трм о св-вах ИР, выражаемых рав-вами.

Трм.1: Св-ва ИР, выражаемые рав-вами. 1) Интеграл от 0. ф-ции. Если ¦:R^k→R — интегрир. на некот-ом допустимом мно-ве EÌR^k и  почти всюду на E. Тогда . 2) Линейность. Если EÌR^k —допустимое мно-во и , , тогда ("a,bÎR): ÎÂ(E) и имеет место рав-во: = . 3) Аддитивность. Если E₁ÌR^k и E₂ÌR^k —допустимые мно-ва и ф-ция и m(E₁ÇE₂)=0, то . Док-во: 1) Пусть I É E и P — разб-ие I на I₁, I₂,… , I_n. Тогда всегда можно выбрать точки  , такие что s(P,¦c_E) = , т.к.  почти всюду на E. А т.к. сущ-ет предел интеграль. сумм независимо от выбора , то . Но: . 2) Пусть IÉE. Из опр-ния ИР по пром-ку: = + .

3) , то в силу критерия Лебега,  имеет на E₁ÈE₂ мно-во точек разрыва меры 0, Þ на люб. подмно-ве мно-ва E₁ÈE₂, Þ , , . Т.к. , то . , т.к. подынтегральная ф-ция = 0 всюду за искл. мно-ва меры 0: E₁ÇE₂. Тогда: , ■

11. Трм о среднем для крат. интеграла.

Трм.1: Пусть заданы ф-ции ¦:(EÌR^k)→R и g:(EÌR^k)→R, где E — допустим. мно-во. Тогда 1) если и   для ; m ≤ ≤ M для , то ($mÎ[m;M]): . 2) Если E — связ. допустим. мно-во и ф-ция , то  . Док-во: 1) , Þ , т.к. мно-во точек разрыва имеет меру 0. Тогда умножая обе части нер-ва  на , имеем: , Þ . Пусть а) . Тогда в качестве m можно взять люб. действ. число из [m;M]. б) , тогда , где .

2) Т.к.  — непрерыв. на допустим. мно-ве, то по критерию Лебега:  и в силу I , II трм Вейерштрасса: ,  , , . Положим , тогда = , где m ≤ m ≤ M Û , Þ по II трм Коши: . Тогда , ■

10.Трм о св-вах ИР, выражаемых нер-вами.

Трм.1: Св-ва ИР, выражаемые нер-вами. Пусть EÌR^k — допустим. мно-во. Тогда: 1) Если , то и . 2) Если  и ("ÎE): , то . 3) Если  и ("ÎE): , то . Док-во: 1) Т.к. , то по критерию Лебега  — непрерыв. почти всюду на E, Þ  — непрерыв. почти всюду на E, Þ . Пусть IÉE, тогда оценим:  =  ≤  = . 2) I É E и P — люб. разб-ие пром-ка I. Тогда s(P,¦c_E)≥0. Перейдём к пределу: , Þ . 3) Рас-рим ф-цию , . Для неё применим предыдущ. док-во и получим требуемое, ■

12. Трм о повторном интегрир-нии для двойного интеграла.

Трм.1: О сведении крат. интеграла к повторным. Пусть X´Y=IÌR^n+m, XÌR^m YÌRⁿ. Тогда если ф-ция ¦:(X´YÌR^m+n)→R, , то интегралы , ,  сущ-ют и равны между собой. Док-во: , Þ  — огранич. на X´Y=I, Þ  . Покажем, что . Др. рав-во:  — док-ся аналог-но. Рас-рим s(P,¦) = . Пром-ки X_i и Y_j получились при разб-ии X и Y. Þ Î X_i´Y_j можно выбрать произвольно, Þ пусть  рав-ся декартову произв-нию  и . Тогда s(P,¦) = . Т.к. V(X_i´Y_j) = V(X_i)V(Y_j) и используя св-ва ТВГ, ТНГ, ВСД и НСД, ВИР и НИР, мы получим следующую оценку: ≤ ≤ ≤ =. Минуя промежуточные преобразования, получим: ≤. Переходя в этом нерав-ве к пределу при m(P)→0 получаем, что крайние члены стремятся к . След-но, , ■

Сл-ие1: Если IÌRⁿ, I = I₁´I₂´…´I_n, I_i = [a_i,b_i], , то при  по трм мы имеем:  В част-ти: ¦(x,y):(IÌR²)→R и ¦(x,y)ÎÂ(I), I = {(x,y)ÎR² | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}, то = .

Сл-ие2: DÌR^n—1, D — огранич. обл-ть. . Тогда если , то . В част-ти: D = [a,b], E = {(x,y)ÎR² | xÎ[a,b], j₁(x) ≤ y ≤ j₂(x)}. ¦(x,y)ÎÂ(E), Þ  — переставить нельзя!

13. Трм о повторном интегрир-нии для крат. интеграла.

Трм.1: О сведении крат. интеграла к повторным. Пусть X´Y=IÌR^n+m, XÌR^m YÌRⁿ. Тогда если ф-ция ¦:(X´YÌR^m+n)→R, , то интегралы , ,  сущ-ют и равны между собой. Док-во: , Þ  — огранич. на X´Y=I, Þ  . Покажем, что . Др. рав-во:  — док-ся аналог-но. Рас-рим s(P,¦) = . Пром-ки X_i и Y_j получились при разб-ии X и Y. Þ Î X_i´Y_j можно выбрать произвольно, Þ пусть  рав-ся декартову произв-нию  и . Тогда s(P,¦) = . Т.к. V(X_i´Y_j) = V(X_i)V(Y_j) и используя св-ва ТВГ, ТНГ, ВСД и НСД, ВИР и НИР, мы получим следующую оценку: ≤ ≤ ≤ =. Минуя промежуточные преобразования, получим: ≤. Переходя в этом нерав-ве к пределу при m(P)→0 получаем, что крайние члены стремятся к . След-но, , ■

Сл-ие1: Если IÌRⁿ, I = I₁´I₂´…´I_n, I_i = [a_i,b_i], , то при  по трм мы имеем:  В част-ти: ¦(x,y):(IÌR²)→R и ¦(x,y)ÎÂ(I), I = {(x,y)ÎR² | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}, то = .

Сл-ие2: DÌR^n—1, D — огранич. обл-ть. . Тогда если , то . В част-ти: D = [a,b], E = {(x,y)ÎR² | xÎ[a,b], j₁(x) ≤ y ≤ j₂(x)}. ¦(x,y)ÎÂ(E), Þ  — переставить нельзя!

14. Замена переменных в двойном интеграле. Случай полярных координат.

Трм.1: О замене переменных в крат. интегралах. Пусть E и E* — замкнут., огранич., допустимые мно-ва в R^k и , . Тогда если (E*ÌR^k)→R, , то справ-во: = , где , (EÌR^k)→R, а якобиан:.

Сл-ие1: В случае 2-ого интеграла: ; Þ  и . В случае полярных координат: ; Þ , Þ = .

15. Замена переменных в 3-ом интеграле. Случай сферич. и цилиндр. координат.

Трм.1: О замене переменных в крат. интегралах. Пусть E и E* — замкнут., огранич., допустимые мно-ва в R^k и , . Тогда если (E*ÌR^k)→R, , то справ-во: = , где , (EÌR^k)→R, а якобиан:.