РГР - Кратные интегралы / Расчетная по кратным интегралам/METOD.DOC
Содержание
стр.
Введение 4
1 Двойные и тройные интегралы 4
1.1 Двойной интеграл 4
1.1.1 Двойной интеграл и его приложения 4
1.1.2 Замена переменных в двойном интеграле 8
1.1.3 Примеры решения задач 10
1.2 Тройной интеграл 12
1.2.1 Тройной интеграл и его приложения 12
1.2.2 Замена переменных в тройном интеграле 15
1.2.3 Примеры решения задач 18
2 Криволинейные и поверхностные интегралы первого рода 19
2.1 Криволинейные интегралы первого рода 19
2.2 Примеры решения задач 21
2.3 Поверхностные интегралы первого рода 23
2.4 Примеры решения задач 24
3 Варианты заданий 26
Список литературы 43
Введение
Методические указания предназначены для студентов младших курсов всех специальностей бакалаврской подготовки в качестве руководства к выполнению типовой расчетной работы по теме «Кратные интегралы и теория поля».
Основная цель работы — привитие студентам практических навыков в решении задач по указанной теме. Проводится необходимый минимум теоретического материала, где рассмотрены методы вычисления кратных, криволинейных и поверхностных интегралов первого рода. Каждый раздел сопровождается решениями типовых задач. В конце методических указаний приводится 30 вариантов индивидуальных заданий по указанной теме.
1 ДВОЙНЫЕ И ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
1.1 Двойной интеграл
1.1.1 Двойной интеграл и его приложения
Пусть ограниченная функция определена в некоторой замкнутой области плоскости Разобьем область произвольным образом на меньших областей не имеющих общих внутренних точек, в каждой части возьмем произвольную точку , вычислим значение и составим сумму
(1.1)
где ― площадь
Эта сумма называется интегральной суммой функции , соответствующей данному разбиению области на части и данному выбору промежуточных точек .
Диаметром ограниченного множества назовем точную верхнюю грань расстояний между двумя произвольными точками этого множества:
Пусть ― диаметр , .
Если существует предел интегральной суммы (1.1) при не зависящий от способа дробления области на части и выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции по области и обозначается
т. е.
а функция называется интегрируемой в области .
Если функция непрерывна в замкнутой области , то она интегрируема в этой области.
Двойные интегралы обладают такими же свойствами, как и определенные интегралы (линейность, аддитивность, формулы среднего значения и т. д.).
Геометрический смысл двойного интеграла: если в области то двойной интеграл
(1.2)
численно равен объему цилиндрического тела с основанием и образующей, параллельной оси которое ограничено сверху поверхностью (рисунок 1.1).
Рисунок 1.1
В частности, когда двойной интеграл (1.2) равен площади области т. е.
. (1.3)
Физический смысл двойного интеграла: если область ― плоская пластинка, лежащая в плоскости с поверхностной плотностью распределения вещества, то массу пластинки находят по формуле
(1.4)
статические моменты пластинки относительно осей и находят по формулам:
(1.5)
координаты центра масс пластинки:
(1.6)
моменты инерции пластинки относительно осей координат и начала координат:
(1.7)
Область которая определяется неравенствами где и ― однозначные непрерывные функции на отрезке называется стандартной относительно оси Аналогично определяется стандартная область относительно оси
Область стандартную как относительно оси так и относительно оси называют просто стандартной областью. На рисунке 1.2 показана стандартная относительно оси область
В случае стандартной области всякая прямая, параллельная оси координат и проходящая через внутреннюю точку области пересекает границу области в двух точках (рисунок 1.2).
Рисунок 1.2 Рисунок 1.3
Если ― область интегрирования, стандартная относительно оси двойной интеграл вычисляется по формуле
(1.8)
Правую часть формулы (1.8) называют повторным интегралом, а интеграл
называют внутренним интегралом.
Вычисление повторного интеграла следует начинать с вычисления внутреннего, в котором переменную надо принять при интегрировании за постоянную величину. Результат интегрирования будет некоторой функцией от которая интегрируется затем по отрезку В результате получается некоторое число ― значение интеграла (1.8).
Если область является стандартной относительно оси (рисунок 1.3), двойной интеграл вычисляется по формуле
(1.9)
Процесс расстановки пределов интегрирования для внутреннего и внешнего интегралов называется приведением двойного интеграла к повторному, а переход от формулы (1.8) к формуле (1.9) или наоборот ― изменением порядка интегрирования.
Если область не является стандартной ни относительно оси , ни относительно оси , ее разбивают на конечное число областей стандартных относительно оси (или ), и при вычислении двойного интеграла по области используют свойство аддитивности.
1.1.2 Замена переменных в двойном интеграле
Пусть в двойном интеграле прямоугольные координаты преобразуются к новым координатам которые связаны с соотношениями:
(1.10)
Если между областями и , лежащими в плоскостях и (рисунок 1.4), установлено соотношениями (1.10) взаимно однозначное отображение, причем функции (1.10) имеют непрерывные частные производные первого порядка в области и якобиан отображения в области не обращается в нуль, т.е.
то имеет место следующая формула замены переменных в двойном интеграле:
(1.11)
Рисунок 1.4
В полярных координатах формулы (1.10) имеют вид Эти формулы связывают прямоугольные координаты с полярными координатами при условии, что полюс помещен в начало координат и полярная ось направлена вдоль оси В этом случае и формула (1.11) принимает вид
Рисунок 1.5 Рисунок 1.6
Для области ограниченной лучами, образующими с полярной осью углы и , и кривыми и причем (рисунок 1.5), получаем
(1.12)
Если область D содержит начало координат (рисунок 1.6), то
(1.13)
Формулы (1.12) и (1.13) удобно использовать при решении задач, когда область есть круг или часть круга.
Обобщенными полярными координатами называют переменные и , связанные с прямоугольными координатами и формулами где В этом случае и формула (1.11) принимает вид
1.1.3 Примеры решения задач
Задача 1. Вычислить двойной интеграл по области , ограниченной кривыми и .
Решение. Область является стандартной относительно оси (рисунок 1.7)
| Рисунок 1.7 | Сводим двойной интеграл к повторному по формуле (1.8): |
Вычисляем внутренний интеграл в повторном, пользуясь формулой Ньютона-Лейбница:
Теперь вычисляем повторный интеграл:
Задача 2. Найти объем тела ограниченного поверхностями
Решение. Данное тело можно представить в виде где ― область на плоскости ограниченная кривыми и т.е.
Согласно геометрическому смыслу двойного интеграла объем тела
Задача 3. Найти моменты инерции относительно осей координат пластины с плотностью ограниченной кривыми и расположенной в I квадранте.
Решение. Данная пластина изображена на рисунке 1.8.
| Рисунок 1.8 | По формулам (1.7) имеем Для вычисления этих интегралов удобнее перейти к полярным координатам: |
Тогда изменяется от до (рисунок 1.8), а при каждом значении из отрезка переменная изменяется от (значение на кривой уравнение которой в полярных координатах в I квадранте имеет вид ) до ( значение на кривой ). Следовательно, используя формулу (1.12), получим
Аналогично получаем
1.2 Тройной интеграл
1.2.1 Тройной интеграл и его приложения
Пусть в некоторой замкнутой ограниченной области трехмерного пространства задана ограниченная функция Произведем относительно области и функции действия, подобные действиям при составлении суммы (1.1), в результате получим сумму
(1.14)
где ― объемы частей на которые разбита область
― координаты точек произвольно выбранных в этих частях области
Сумма (1.14) называется интегральной суммой функции соответствующей данному разбиению области на части и данному выбору промежуточных точек
Пусть ― диаметр ,
Если интегральная сумма (1.14) при имеет предел, не зависящий от способа дробления области на части и выбора точек в них, то этот предел называется тройным интегралом от функции по области и обозначается
(1.15)
а функция называется интегрируемой в области .
Всякая непрерывная в ограниченной замкнутой области функция интегрируема в ней.
Тройные интегралы обладают такими же свойствами, как определенные и двойные интегралы ― линейность, аддитивность, формулы среднего значения и т.д.
Если в области функция то тройной интеграл (1.15) равен объему области т. е.
(1.16)
Если считать объемной плотностью распределения вещества в области то интеграл (1.15) численно равен массе всего вещества, заключенного в области (физический смысл тройного интеграла).
С помощью тройного интеграла можно также вычислить:
а) статические моменты тела относительно координатных плоскостей и
(1.17)
где ― плотность распределения вещества;
б) координаты центра масс тела:
(1.18)
где ― масса тела;
в) моменты инерции тела относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат:
(1.19)
При вычислении тройных интегралов особую роль играет понятие стандартной трехмерной области, которое вводится по аналогии со стандартной двумерной областью. Так, например, область ограниченная снизу и сверху непрерывными поверхностями и ― стандартная относительно оси (рисунок 1.9).
Рисунок 1.9
Она обладает следующими свойствами.
1. Всякая прямая, параллельная оси и проведенная через внутреннюю точку области , пересекает границу области ровно в двух точках.
2. Вся область однозначно проецируется на плоскость в двумерную область (рисунок 1.9).
Тройной интеграл по области вычисляется так:
Здесь внутренний интеграл берется по при фиксированных, но произвольных в значениях и В результате получается некоторая функция , которая интегрируется затем по области . Если область ограничена линиями , то, переходя от двойного интеграла к повторному, получаем формулу
(1.20)
Если область не является стандартной, то с помощью плоскостей, параллельных какой-либо из координатных плоскостей, разбивают ее на конечное число стандартных областей.
1.2.2 Замена переменных в тройном интеграле.
Пусть в тройном интеграле прямоугольные координаты преобразуются к новым координатам которые связаны с соотношениями
(1.21)
которые однозначно разрешимы относительно :
. (1.22)
Обозначим через область в пространстве , в которую отобра-жается область пространства с помощью формул (1.22).
Если функции (1.21) имеют в области непрерывные частные произ-водные первого порядка и якобиан преобразования
в области , то ограниченная замкнутая область пространства взаимно однозначно отображается на область пространства и для тройного интеграла имеет место следующая формула замены переменных:
(1.23)
Цилиндрические координаты связаны с прямоугольными координатами соотношениями:
(1.24)
где (рисунок 1.10).
| Рисунок 1.10 | Рисунок 1.11 |
При переходе от прямоугольных координат к цилиндрическим координатам по формулам (1.24) поэтому формула (1.23) принимает вид
Если точка в пространстве имеет прямоугольные координаты , то сферическими координатами точки называют тройку чисел , где ― расстояние от точки до начала координат , ― угол между лучом (― проекция точки на плоскость ) и осью , ― угол между положительным направлением оси и лучом (рисунок 1.11).
Связь между прямоугольными и сферическими координатами определяется соотношениями где При этом и формула (1.23) принимает вид
Обобщенными сферическими координатами называют переменные , связанные с прямоугольными координатами формулами
где
Для обобщенных сферических координат и формула (1.23) имеет вид
1.2.3 Примеры решения задач
Задача 1. Вычислить интеграл если область ограничена поверхностями и
Решение. Уравнение конической поверхности, ограничивающей область , можно записать в виде , а саму область представить следующим образом где ― круг радиуса 1 с центром в начале координат (рисунок 1.12). Перейдем к цилиндрическим координатам где
Подынтегральная функция в цилиндрических координатах равна
| Рисунок 1.12 | якобиан перехода к цилиндрическим координатам равен Поэтому |
Задача 2. Вычислить массу тела, ограниченного поверхностью и имеющего в каждой точке плотность
Решение. Поверхность, ограничивающая тело, является эллипсоидом, его каноническое уравнение полуоси
Согласно физическому смыслу тройного интеграла, масса тела, занимающего область , Перейдем к обобщенным сферическим координатам следовательно, уравнение эллипсоида имеет вид Поэтому для области координата изменяется от 0 до 1, угол ― от 0 до , а угол ― от 0 до Следовательно,
2 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА
2.1 Криволинейные интегралы первого рода
Пусть на плоскости расположена ограниченная кривая , гладкая или кусочно-гладкая, функция определена и ограничена на кривой Разобьем кривую на частей не имеющих общих внутренних точек и на каждой из этих частичных дуг кривой возьмем произвольную точку и составим интегральную сумму
(2.1)
где ― длина -й частичной дуги
Пусть Если существует предел интегральной суммы (2.1) при не зависящей от способа дробления кривой на части и от выбора промежуточных точек то этот предел называется криволинейным интегралом 1-го рода от функции по кривой и обозначается
т.е. (2.2)
Из определения криволинейного интеграла следует, что его величина не зависит от того, в каком направлении обходят кривую
Кривая может быть замкнутой, в этом случае для обозначения криволинейного интеграла употребляют символ
Если ― длина кривой , то из формулы (2.2) при следует, что
Если функция неотрицательна в точках кривой , то значение интеграла равно площади куска цилиндрической поверхности, которая образована перемещением перпендикуляра к плоскости по кривой и имеющего переменную длину (рисунок 2.1).
Если кривая - материальная, т.е. вдоль кривой распределена с плотностью некоторая масса то
Рисунок 2.1 | С помощью криволинейных интегралов первого рода можно, как это делалось в случае двойных и тройных интегралов, находить моменты инерции материальной кривой относительно координатных осей, координаты центра масс кривой и т.д. |
Если кривая задана параметрически: то
(2.3)
если кривая задана уравнением то
(2.4)
если кривая задана уравнением в полярных координатах то
(2.5)
Понятие криволинейного интеграла 1-го рода распространяется и на случай функции трех переменных заданной в точках пространственной кривой. Вычисление такого интеграла по кривой , заданной параметрически производится по формуле
. (2.6)
2.2 Примеры решения задач
Задача 1. Вычислить где ― часть эллипса лежащая в I квадранте.
Решение. Параметрическое задание эллипса имеет вид Поскольку рассматривается часть эллипса, лежащая в I квадранте, то Поэтому, т.к. то применяя формулу (2.3), получим
Задача 2. Вычислить где ― кривая, заданная уравнением
Решение. Перейдем к полярным координатам: Уравнение кривой примет вид Для вычисления интеграла применим формулу (2.5). Так как то
Задача 3. Найти массу материальной кривой , заданной уравнением где , если ее плотность
Решение. По формуле для массы Для вычисления интеграла воспользуемся формулой (2.4). Так как то
2.3 Поверхностные интегралы первого рода
Пусть функция, непрерывная на некоторой гладкой ограниченной поверхности . Разобьем поверхность на частей , не имеющих общих внутренних точек, и в каждой части выберем произвольную точку Составим интегральную сумму
(2.7)
где ― площадь
Пусть Если интегральная сумма (2.7) имеет предел при не зависящий от способа дробления поверхности на части и от выбора точек в них, то этот предел называется поверхностным интегралом 1-го рода от функции по поверхности и обозначается т.е.
(2.8)
Если через обозначить площадь поверхности , то из формулы (2.8) следует при что
(2.9)
Если на поверхности распределена с плотностью некоторая масса , то
(2.10)
Координаты центра масс, статические моменты и моменты инерции материальной поверхности вычисляются по формулам, аналогичным формулам (1.5) ― (1.7).
Если поверхность задана уравнением то вычисление поверхностного интеграла сводится к вычислению двойного интеграла по области - проекции поверхности на плоскость :
(2.11)
где Формула (2.9) для вычисления площади в этом случае принимает вид
(2.12)
Если гладкая поверхность задана параметрическими уравнениями