Лекции по интегралам / Лекции по неопределенным интегралам.doc
Раздел I.
§1. Неопределенный интеграл и его свойства.
Определение 1.: Функция F(x) называется первообразной для функции ƒ(x) на некотором отрезке [a,b], если для всех из этого отрезка выполняется равенство:
F'(x)= ƒ(x).
Пример: F(x)=cos(x)+C; ƒ(x)=sin(x);
Теорема1. Если F1(x) и F2(x) какие-либо первообразные для функции ƒ(x) на отрезке [a,b], то выполняется соотношение:
F1(x) — F2(x) = C;
Доказательство.
Так как F1(x) первообразная для функции ƒ(x), то F1'(x)= ƒ(x).
Так как F2(x) первообразная для функции ƒ(x), то F2'(x)= ƒ(x).
Вычтем из первого равенства второе:
F1' (x) — F2'(x) = 0,
(F1(x) — F2(x))' = 0;
Обозначим F1(x) — F2(x)=φ(x), тогда φ'(x)=0;
Покажем, что φ(x) принимает постоянные значения.
Применим φ(x) на отрезке [a,x] теорему Лагранжа.
φ(x) — φ(a) = φ'(ξ)(x-a), a< ξ <x ,
так как φ'(ξ)=0, то φ(x) — φ(a) =0, то есть φ(x) = φ(a).
φ(a) = С, φ(x) =С;
F1(x) — F2(x) = C;
Замечание: из теоремы следует, что, если F(x) первообразная для ƒ(x), то (F(x)+С ) тоже первообразная.
Определение 2.: Совокупность первообразных, т.е. (F(x)+С), для ƒ(x) на [a,b] называется неопределенным интегралом от f(x) и обозначается:
∫ ƒ(x) dx = F(x) + C, причем F'(x) = ƒ(x),
ƒ(x) — называется подынтегральной функцией;
ƒ(x)dx — называется подынтегральным выражением;
Свойства неопределенного интеграла:
1. (∫ƒ(x)dx)' = ƒ(x);
Доказательство.
(∫ƒ(x)dx)' = (F(x)+C)' = F'(x) = ƒ(x);
2. d ∫ƒ(x)dx = ƒ(x)dx;
Доказательство.
d ∫ƒ(x)dx = (∫ƒ(x)dx)' · dx = | по свойству 1| = ƒ(x)dx;
3. ∫d F(x) = F(x) + C;
Доказательство.
Возьмем дифференциал от левой части:
d ∫dF(x) = dF(x) (по свойству 2 )
найдем дифференциал от правой части:
d (F(x) + C) = dF(x) + dC = dF(x)
Получили, что обе части равны.
4. ∫(ƒ1(x)+ ƒ2(x))dx = ∫ƒ1(x)dx + ∫ƒ2(x)dx.
Найдем производную от левой и от правой частей:
(∫(ƒ1(x)+ ƒ2(x))dx)' = |по св-ву 1| = ƒ1(x)+ ƒ2(x)
(∫ƒ1(x)dx + ∫ƒ2(x)dx)' = (∫ƒ1(x)dx + ∫ƒ2(x)dx)' = ƒ1(x) + ƒ2(x).
5. ∫k·ƒ(x)dx = k·∫ƒ(x)dx, где k — постоянный множитель.
Доказательство.
(∫k·ƒ(x)dx)' = k·ƒ(x);
(k·∫ƒ(x)dx)' = k·(∫ƒ(x)dx)' = k·∫ƒ(x);
6. Формулы интегрирования не меняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной x некоторой функции u(x), т.е. если ∫ƒ(x)dx = F(x) + C;
∫ƒ(u)du = F(u) + C;
Доказательство.
Имеем: ∫ƒ(x)dx = F(x) + C;
F'(x) = ƒ(x),
Так как дифференциал первого порядка обладает свойством инвариантности, т.е. форма его не зависит от того является ли x независимой переменной или некоторой функцией
от x, то дифференциал
dF(u) = F'(u)du = ƒ(u)du
F'(u) = ƒ(u)
∫ƒ(u)du = ∫dF(u) = | по свойству 3 | = F(u) + C.
Таблица основных интегралов.
| 1. ∫ xαdx = xα+1/ (α+1) + C α ≠-1 | 1. ∫ uα du = uα+1/ (α+1) + C α ≠-1 |
| 2. = ln |x| + C | 2. = ln |u| + C |
| 3. ∫ ex= ex + C | 3. ∫ eu = eu + C |
| 4. ∫ ax dx = ax/lna + C | 4. audu = au/lna + C |
| 5. ∫ sin(x)dx = - cos(x) + C | 5. ∫ sin(u)du= - cos(u) + C |
| 6. ∫ cos(x)dx = sin(x) + C | 6. ∫ cos(u)du = sin(u) + C |
| 7. = tg(x) + C | 7. = tg(u) + C |
| 8. = -ctg(x) + C | 8. = -ctg(u) + C |
| 9. = arcsin ( )+ C | 9. = arcsin ( )+C |
| 10. = ln | x + | + C | 10. = ln |u + | + C |
| 11. = arctg( )+C | 11. = arctg( )+C |
| 12. = ln | | + C | 12. = ln | | + C |
| 13 = ln | | + C | 13. = ln | | + C |
| 14. = ln |tg( )| + C | 14. = ln |tg( )| + C |
| 15. = ln |tg( )| + C | 15. = ln |tg( )| + C |
| 16.∫ tg(x) dx = — ln |cos(x)| + C | 16.∫ tg(u) du = — ln |cos(u)| + C |
| 17.∫ ctg(x) dx = ln |sin(x)| + C | 17.∫ ctg(u) du = ln |sin(u)| + C |
Проверим формулу 9.
(arcsin )' = = = ;
Проверим формулу 10.
(ln| x + | )' = = = ;
Проверим формулу 11.
( arctg )' = = ;
Поверим формулу 12.
( a ∙ ln | |)' = = = ;
Проверим формулу 14.
(ln |tg( )|)' = = = ;
Проверим формулу 15.
Пусть cos(x) = sin(x + )
= = ln |tg( )| + C;
Проверим формулу 16.
∫ tg(x) dx = ∫ = — ∫ — = - ∫ = — ∫ = — ln |cos(x)| + C;
Проверим формулу 17.
∫ ctg(x) dx = ∫ = ∫ = = ln |sin(x)| + C;
Пример:
1. ∫ dx = ∫ (8-3x)6/5 dx = | d(8-3x) = — 3dx | = — ∫ (8-3x)6/5 (— 3dx) =
— ∫(8 —3x)6/5 d(8-3x) = — (8-3x)11/5 + C.
_____
2. ∫ x √4 + x² dx = ∫ (4 + x²)1/2x dx = | d(4 + x²) = 2x dx| = 1/2 · ∫ (4 + x²)1/22x dx =
= · ∫(4 + x²)1/2 d(4 + x²) = = + C;
______
3. ∫ 3√ sin²(x) · cos(x)dx = ∫ (sin(x))2/3 d(sin(x)) = 5/3 (sin(x))5/3 + C
4. Найти интеграл.
dx= dx = | | = = arcsin (x3) + C.
§2. Замена переменной в неопределенном интеграле (метод подстановки).
Теорема.: Пусть функция x = φ(t) — строго монотонная и непрерывно дифференцируемая на некотором интервале функции φ(t). Если функция ƒ(x) интегрируема на соответствующем интервале изменений x, то имеет место равенство:
∫ ƒ(x)dx = ∫ ƒ(φ(t))·φ'(t)dt
Доказательство.
Определени1: Если функция ƒ(x) непрерывна на отрезке [a,b], то существует неопределенный интеграл ∫ ƒ(x)dx, а функция ƒ(x) в этом случае называется интегрируемой.
По определению1 неопределенного интеграла
∫ ƒ(x)dx = F(x) + C, причем F'(x) = ƒ(x)
Покажем, что функция F(φ(t)) является первообразной для функции: ƒ(φ(t))·φ'(t).
Для этого найдем (F(φ(t)))' = |по правилу дифференцирования сложной функции| =
= F'(φ(t))·φ'(t);
Но F'(φ(t)) = ƒ (φ(t)), тогда
(F(φ(t)))' = ƒ(φ(t))·φ'(t)
∫ƒ(φ(t))·φ'(t) dt = F(φ(t)) + C = F(x) + C = ∫ƒ(x) dx.
∫ƒ(x) dx = ∫ƒ(φ(t)) · φ'(t) dt.
Пример:
= | ex +1 = t2 ; = t ; ex = t2 — 1 ; x = ln(t2 —1 ) ; dx = dt | =
= = 2 = 2∙ = +C.
Интегрирование по частям.
Пусть U(x) и V(x) дифференцируемые функции на некотором интервале, известно, что
d(UV) = U ∙ dV + V ∙ dU.
Проинтегрируем это равенство:
∫d(UV) = ∫U ∙ dV + ∫V ∙ dU ;
UV = ∫U ∙ dV + ∫V ∙ dU ;
∫U ∙ dV = UV - ∫V ∙ dU — формула интегрирования по частям.
Пример: вычислить ∫ x · sin(x) dx
I способ.
∫ x · sin(x) dx = | U=x; dU = dx; dV = sin(x) dx; ∫dV = ∫ sin(x) dx; V = -cos(x) | =
= -x · cos(x) - ∫(- cos(x)) dx = - x · cos(x) + sin(x) + C;
II способ.
∫ x · sin(x) dx = | U = sin(x); dU=cos(x) dx; dV=x dx; V=∫ x dx = ; | = · sin(x) —
∫ · cos(x) dx.
Замечание: классы функций интегрируем по частям.
I класс — это интегралы вида: