- •В 11. Векторы в пространстве: линейные операции над векторами в геометрической форме, проекция вектора на ось
- •В.15 Линейная зависимость векторов. Действиянад векторами в координатной форме
- •В.13 Векторное произведение
- •В.14 Смешанное произведение
- •Плоскость в пространстве
- •Прямая и плоскость в пространстве
- •. Поверхности второго порядка
- •Предел функции в точке и на бесконечности
- •II способ. Чтобы избавится от неопределенности вида , введем замену переменной , т.К. При получим .
- •. Односторонние пределы: Асимптоты графика функции.
- •Дифференцирование функции с переменной в основании степени и в показателе
- •Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически.
Прямая и плоскость в пространстве
Пример 1. 1. Установить взаимное расположение прямой и плоскости, в случае их пересечения – найти координаты пересечения:
Решение. 1) 1) и
Определим координаты направляющего вектора прямой по ее каноническим уравнениям. Это вектор Нормальный вектор плоскости имеет координаты Найдем скалярное произведение векторов и :
Значит, и прямая L и плоскость P параллельны. Проверим, не лежит ли прямая L в плоскости P. Для этого определим принадлежность точки плоскости P, подставив координаты в уравнение плоскости:
Следовательно, а значит,
2
2) и
Прямая имеет направляющий вектор и точку Выясним, будет ли перпендикулярен нормальному вектору заданной плоскости
Осталось проверить принадлежность точки плоскости:
Значит, прямая L лежит в плоскости P.
3. 3) и
Направляющий вектор заданной прямой и направляющий вектор плоскости не коллинеарны и не перпендикулярны, т. к. и Значит, . Найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости. Для этого перейдем сначала к параметрическим уравнениям прямой:
Затем в уравнение плоскости P подставим вместо их выражение через параметр t:
Откуда имеем
Подставим найденное значение параметра t в параметрические уравнения прямой:
Итак, .
Пример 2. Найти координаты точки N, симметричной точке относительно прямой, проходящей через точки и .
Решение. Для решения задачи воспользуемся следующими рассуждениями: симметричная точке M точка N находится в той же плоскости, что прямая AB и точка M, лежит на перпендикуляре MN к прямой AB и находится от прямой AB на том же расстоянии, что и точка M.
Пусть Тогда
1) – компланарны;
2) ;
3) ;
4) середина отрезка MN лежит на прямой AB.
Составим систему уравнений, используя координатную форму записи условий 1–3.
– компланарны при условии т. е. откуда получаем
откуда
Условие равносильно условию или что приводит к уравнению
затем
откуда
.
следовательно,
После подстановки , получим или
Таким образом, точки и удовлетворяют первым трем условиям. Осталось проверить четвертое. Найдем середины и отрезков и соответственно и проверим, какая из точек ( или ) лежит на прямой
ли
или
т. к. но
т. к.
Итак,
Пример 3. Прямая L задана общими уравнениями
Написать уравнение ее проекции на координатную плоскость Oxz.
Решение. Построим канонические уравнения прямой L. В качестве направляющего вектор можно взять вектор где Тогда
т. е.
Присвоив переменной x значение 0, получим систему уравнений из которой найдем а значит точка лежит на прямой L.
Таким образом, канонические уравнения прямой L таковы:
что эквивалентно системе трех уравнений, описывающих три плоскости, проектирующие прямую на координатные плоскости Oxy, Oxz и Oyz соответственно.
Итак, искомое уравнение
. Поверхности второго порядка
Пример 1. Использовать форму и построить поверхность заданную уравнением
Решение. Используем при исследовании геометрических свойств и форм поверхности метод сечений.
Определим сечение поверхности плоскостями где параллельными координатной плоскости Oxy:
Очевидно, что это кривые, проекции которых на ось Oxy задаются уравнение
(1)
Уравнение (1) при не имеет решений относительно Это означает, что соответствующее сечение есть пустое множество точек, а значит, рассматриваемая поверхность целиком расположена ниже плоскости При уравнение (1) определяет эллипс
с полуосями и вырождающийся в точку (0, 0, 1) при Заметим, что все эллипсы, получающиеся в сечениях поверхности плоскостями подобны между собой, причем с уменьшением их полуоси неограниченно монотонно возрастают.
Дальнейшее уточнение форм можно получить, рассматривая сечения координатными плоскостями Oxz и Oyz:
и
Имеем в первом случае кривую т. е. параболу с параметром вершиной в точке и ветвями, направленными в отрицательную сторону оси Oz. Во втором – параболу с параметром вершиной в точке и аналогичным направлением ветвей.
Выполненное исследование позволяет построить заданную поверхность (рис. 1). Это эллиптический параболоид с вершиной в точке (0, 0, 1), направленный в сторону убывания значений z с осью симметрии Oz.
Рис. 1.
Пример 2. привести уравнение к каноническому виду и определить тип поверхности, которую оно задает:
1)
2)
3)
4)
Решение. Воспользуемся методом выделения полных квадратов.
1) Преобразуем левую часть уравнения:
Значит, уравнение равносильно
или
Имеем уравнение однополосного гиперболоида, центр которого находится в точке (–1, 1, 2) и ось, прямая, параллельная оси Oz и проходящая через точку (–1, 1, 2).
2) Так как
то заданное уравнение равносильно уравнению
или что приводит окончательно к уравнению гиперболического параболоида следовательно в точку (-1, 0, 1).
3)
Поэтому имеем
или
Это уравнение эллипсоида с центром в точке (3, – 1, 2).
4) приводится к уравнению
Это уравнение эллиптического цилиндра смещенного в точку (– 2, 5, 0).
Примеры 3. Построить тело, ограниченное указанными поверхностями:
Решение. 1. – уравнение плоскости. Перейдя к уравнению плоскости «в отрезках», получим
что означает пересечение плоскости координатных осей в точках (3, 0, 0), (0, 3, 0) и (0, 0, 3) соответственно.
2. Уравнение задает круговой цилиндр, осью которого служит Oz, – координатная плоскость Oxy.
3. Сделаем эскиз тела (рис. 2 а, б)
Рис. 2, а.
Рис. 2, б.