Разное

Примеры решения задач / шпоры по математике примеры.doc

 

Решение. Используем при исследовании геометрических свойств и форм поверхности метод сечений.

Определим сечение поверхности плоскостями  где  параллельными координатной плоскости Oxy:

 

Очевидно, что это кривые, проекции которых на ось Oxy задаются уравнение

(1)

Уравнение (1) при  не имеет решений относительно  Это означает, что соответствующее сечение есть пустое множество точек, а значит, рассматриваемая поверхность целиком расположена ниже плоскости  При  уравнение (1) определяет эллипс

с полуосями  и  вырождающийся в точку (0, 0, 1) при  Заметим, что все эллипсы, получающиеся в сечениях поверхности плоскостями  подобны между собой, причем с уменьшением  их полуоси неограниченно монотонно возрастают.

Дальнейшее уточнение форм можно получить, рассматривая сечения координатными плоскостями Oxz и Oyz:

и

Имеем в первом случае кривую  т. е. параболу с параметром  вершиной в точке   и ветвями, направленными в отрицательную сторону оси Oz. Во втором — параболу  с параметром  вершиной в точке   и аналогичным направлением ветвей.

Выполненное исследование позволяет построить заданную поверхность (рис. 1). Это эллиптический параболоид  с вершиной в точке (0, 0, 1), направленный в сторону убывания значений z с осью симметрии Oz.

Рис. 1.

Пример 2. привести уравнение к каноническому виду и определить тип поверхности, которую оно задает:

1)

2)

3)

4)

Решение. Воспользуемся методом выделения полных квадратов.

1) Преобразуем левую часть уравнения:

Значит, уравнение равносильно

 или

Имеем уравнение однополосного гиперболоида, центр которого находится в точке (—1, 1, 2) и ось, прямая, параллельная оси Oz и проходящая через точку (—1, 1, 2).

2) Так как

то заданное уравнение равносильно уравнению

 или  что приводит окончательно к уравнению гиперболического параболоида  следовательно в точку (-1, 0, 1).

3)

Поэтому имеем

 или

Это уравнение эллипсоида с центром в точке (3, — 1, 2).

4)  приводится к уравнению

Это уравнение эллиптического цилиндра смещенного в точку (— 2, 5, 0).

Примеры 3. Построить тело, ограниченное указанными поверхностями:

  

Решение. 1.  — уравнение плоскости. Перейдя к уравнению плоскости «в отрезках», получим

что означает пересечение плоскости координатных осей в точках (3, 0, 0), (0, 3, 0) и (0, 0, 3) соответственно.

2. Уравнение  задает круговой цилиндр, осью которого служит Oz, — координатная плоскость Oxy.

3. Сделаем эскиз тела (рис. 2 а, б)

 Рис. 2, а.

Рис. 2, б.

Предел функции в точке и на бесконечности

Пример 1. Пользуясь определением предела функции в точке по Коши, доказать, что

Решение. Зафиксируем произвольное значение

Согласно определению, требуется по e найти такое число чтобы из условия  следовало неравенство (2), которое в данном случае имеет вид

(6)

Упрощая последнее неравенство, получим

Следовательно, если принять  то из неравенства   будет следовать неравенство (6). Это и означает, что

Пример 2. Вычислить

Решение. Представим функцию  как произведение двух функций  и

Функция  является суммой двух бесконечно малых функций при  так как  и  Значит  — бесконечно малая при

Функция  является ограниченной, так как значения этой функции будут лежать в промежутке

Получаем произведение бесконечно малой  на ограниченную

Значит f(x) — есть бесконечно малая при  т. е.

Пример 3. Вычислить предел функции в точке двумя способами: непосредственно и с помощью замены переменной:

Решение. I способ. При подстановке в выражение, стоящее под знаком предела значения  получаем неопределенность , для раскрытия которой разложим числитель и знаменатель дроби на множители.

,

.

Подставив полученные выражения, получим:

.

II способ. Чтобы избавится от неопределенности вида , введем замену переменной , т.к. при  получим .

=

.

Замечательные пределы

Первый замечательный предел

(7)

Как следствие формулы (7) справедливы формулы

Второй замечательный предел

(8)

Третий замечательный предел (9)

в частности,

Четвертый замечательный предел

(10)

в частности,

Пятый замечательный предел

(11)

Указанные формулы (7)—(11) замечательных пределов обобщаются на любую функцию u(x), стоящую вместо независимой переменной х при условии, что  если  (или ) во всех формулах кроме (8), в которых

Обобщенная таблица замечательных пределов

;

; ; (12)

; ; (13)

; ; (14)

. (15)

При использовании обобщенных форму на практике вместо  (под знаком предела пишут указанное в условии: .

Все приведенные формулы обобщенной таблицы замечательных пределов (кроме формул (12)) раскрывают неопределенность типа . Формулы (12) раскрывают неопределенность типа .

Пример 1. Вычислить предел функций в точке:

Решение. 1. 1) ; При непосредственной подстановке в функцию значения  получаем неопределенность вида , для раскрытия которой воспользуемся первым замечательным пределом.

2. 2) ; При  получаем неопределенность , для раскрытия которой сначала применим формулы тригонометрии, а затем первый замечательный предел.

.

3. )  Преобразуем вначале разность косинусов в произведение, а затем используем 1-й замечательный предел:

=

=

Пример 2. Вычислить предел функции, используя обобщенную таблицу замечательных пределов.

ешение. 1. 1) ; Воспользуемся второй формулой из (12):

В данном случае  и , если ,

значит .

2. ; Непосредственная подстановка в функцию значения  дает неопределенность вида , для раскрытия которой воспользуемся второй формулой из (12). Для этого преобразуем выражение под знаком предела.

=

=

= = .

3. ; При  получаем неопределенность  для раскрытия которой сначала упростим выражение, а затем применим формулы (7), (13), (15):

 = =

=  = .

4. .Имеем неопределенность вида . Сделаем замену переменной. Пусть , тогда . При  новая переменная . При этом ,

, а

Подставив полученные выражения в формулу, получим

=

 

Эквивалентность функции

 

Пример 1. Вычислить предел функции в точке, заменяя бесконечно малые эквивалентными им:

.1) ;Непосредственное вычисление предела приводит к неопределенности типа . Используем формулу (16), а также формулы (22), (24), (17) таблицы эквивалентных функций.

При этом выполняются условия , , если , которые являются обязательными для перехода к эквивалентным функциям. Тогда

Заметим, что решение примера с таким условием уже дано выше (см. 3-е условие примера 2 из параграфа 16.2).

 2) ;При подстановке  в выражения, получаем неопределенность вида . Чтобы от нее избавится, воспользуемся формулами (18), (23), (24) таблицы эквивалентных бесконечно малых. Получим, что при , .

.

Подставив полученные эквивалентные вместо соответствующих бесконечно малых, получим:

3. Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела и используем формулу (19). 3) ;

Использование формулы (19) было обосновано тем, что  если .

 4) . Замечаем, что непосредственное вычисление предела приводит к неопределенности . Вместе с тем, , если , а поэтому можем использовать формулу (20). Тогда

.

Пример 2. Вычислить предел: .

Решение. I способ. При  получим, что

и

Следовательно, получим неопределенность вида . Сделаем замену переменной. Введем такое t, чтобы , если .

=.

Дальше заменим бесконечно малые в числителе и знаменателе на эквивалентные по формулам (21), (23), (22), (18).

Мы имеем право сделать это в преобразованных выражениях, т.к. для соответствующей функции  выполняется , если . Получаем:

= .

II способ. Поскольку при непосредственном вычислении предела имеем неопределенность типа , то необходимо преобразовать выражение, стоящее под знаком предела. Однако сразу использовать таблицу эквивалентности бесконечно малых нельзя поскольку

, , если . Используем свойство периодичности тригонометрических функций, получим

Выражение под знаком предела преобразовано таким образом, что  и , если . Поэтому можно использовать формулы эквивалентности (21), (23), (22), (18). В результате получаем

. Односторонние пределы: Асимптоты графика функции.

Пример 1. Найти односторонние пределы функции  в точке :

1) , ; 2)

Решение. 1. Вычислим пределы функции в точке  слева и справа, т.е.

и .

При .

Значит .

При .

Значит .

2. При функция задана формулой .

Поэтому

,

При  функция задана формулой  т.е.

Значит .

Пример 2. С помощью односторонних предметов показать, что функция  не имеет предела в точке.

Решение. При  имеем  и функция принимает вид

.

Поэтому .

При  имеем  и функцию .

Поэтому .

Получим, что оба односторонних предела функции в точке существуют, однако они различны, поэтому  не существует.

Пример 3. Найти асимптоты графика функции .

Решение. Вертикальных асимптот данная функция не имеет, потому что она определена для любых . Для того чтобы найти горизонтальные асимптоты надо рассмотреть пределы функции на бесконечности:

.

Получили, что  — горизонтальная асимптота (ось ).

Будем искать наклонные асимптоты в виде .

Согласно формулам (25), (26) вычисляем:

.

Так как , значит наклонных асимптот у графика нет.

Пример 4. Найти асимптоты графика функции

.

Решение. Так как при  функция не определена, рассмотрим:

и

Вычисляем: ;

Поэтому прямая  является вертикальной асимптотой графика функции.

Ищем горизонтальную асимптоту. Поскольку

,

то горизонтальных асимптот нет.

Выясним наличие наклонных асимптот. По формулам (25) и (26) находим

.

Получим, что  — наклонная асимптоты.

. Непрерывность функции. Классификация

точек разрыва.

Пример 1. Пользуясь определением непрерывности доказать, что функция  непрерывна всюду на .

Решение. Докажем непрерывность этой функции в произвольной точке .

Пусть  — приращение аргумента в точке . Соответствующее приращение функции имеет вид:

Вычислим предел приращения функции, когда приращение аргумента стремится к нулю:

.

Получили, что , что и означает непрерывность функции  на всей числовой прямой, т.к.  — произвольная действительная точка.

Пример 2. Найти точки разрыва функции  и исследовать их характер. Построить схематический чертеж графиков этих функций в окрестности точек разрыва

1) ;

Решение. Функция  определена на всей числовой прямой, кроме . Данная функция является элементарной, следовательно она является непрерывной в каждой точке своей области определения. Поэтому единственной точкой разрыва является точка , в которой функция не определена. Для определения типа разрыва в этой точке вычислим односторонние пределы функции:

; .

Приходим к выводу, что  — точка разрыва II рода (бесконечного скачка).

График функции в окрестности точки  представлен на

2. .Точкой разрыва данной функции является точка .

Вычислим односторонние пределы заданной функции в точке .

Получили, что оба односторонних предела существуют (и конечны), но не равны между собой. Поэтому  — точка разрыва I рода (скачка) — рис.2. Заметим, что скачок равен:

.

Пример 3. Дана функция

Исследовать ее на непрерывность и разрыв. Построить график.

Решение. На промежутках  заданы аналитические выражения элементарных функций, которые определены и, следовательно, непрерывны на каждом промежутке. Поэтому точками «подозрительными на разрыве», являются точки  и .

Вычислим односторонние пределы функции в точке .

Так как  при , то

.

Так как  при , то

.

Вычислим значение функции в точке :

.

Получим, что выполнены условия непрерывности функции в точке . Поэтому в точке  разрыва функции нет.

Вычислим односторонние пределы функции в точке .

Так как при , то

.

Так как при , то

.

Получили, что  — точка разрыва I рода (скачка). Значит, функция непрерывна всюду на числовой прямой кроме точки.  в которой она имеет скачок, равный 1.

Дифференцирование функции с переменной в основании степени и в показателе

Пример 1. Найти производную функции с помощью логарифмического дифференцирования:

Решение. 1. Функция  является показательно-степенной. Прологарифмируем её по основанию e:

.

Дифференцируем обе части полученного равенства, учитывая, что y — это функция от x. Используя формулы дифференцирования сложной функции и произведения функций, получаем:

Выразим  из последнего равенства:

.

Подставим вместо переменной  заданное выражение и приходим к ответу

2. .Прологарифмируем равенство, задающее функцию по основанию  и используем основные свойства логарифмов:

;

;

Дифференцируем полученное равенство при условии, что y — это функция от x.

Выразим далее  и заменим переменную y заданным выражением:

;

.

Пример 2. Вычислить производную показательно-степенной функции, используя переход к основанию e:

Решение: Используем формулу (3).

Полученную функцию продифференцируем по правилу вычисления производной сложной функции:

 

.

Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически.

Пример 1: Найти производную  функции, используя возможные способы

1) 2)

Решение. 1) I способ. Из первого уравнения системы выразим через :

.

Полученное выражение подставим во второе уравнение вместо :

.

Получили функцию одной переменной . Дифференцируем её:

.

II способ. Используем формулу (6):

.

В полученное выражение подставим , получим:

.

I способ.

2. Выразим из первого уравнения системы переменную :

;

;

.

Подставляем во второе уравнение системы, получим сложную функцию переменной :

, которую продифференцируем по правилу вычисления производной сложной функции:

.

II способ. Воспользуемся формулой (6):

;

.

Подставляя выраженія в формулу (6), получим:

.

Подставим , получим:

Пример 2

Вычислите значение производной параметрически заданной функции  в точке  Решение: Функция  задана параметрически. Дифференцируем её используя формулу (6).

Вычисляем:

Подставим полученные выражения в формулу (14):

 .

Найдем значение производной в заданной точке.

Подставим значение  в полученное выражение:

, т.е. .

Пример 3

Вычислить , используя возможные способы:

1) ;

Решение. 1. Данное уравнение задает неявно функцию . Продифференцируем её двумя способами:

I способ. Выразим из уравнения  через :

,

,

.

Продифференцируем выражения по переменной :

.

II способ. Продифференцируем обе части уравнения по переменной , считая, что  есть функция от :

Откуда выразим :

;

.

2. .

Функция  задана неявно в данном случае невозможно выразить переменную  через , поэтому дифференцируем обе части равенства, учитывая, что y есть функция аргумента x:

Из полученного равенства выражаем

Приходим к ответу:

Необходимое и достаточное условия

дифференцируемости функций. Дифференциал

функции

Пример 1. Вычислить значение дифференциала функции  при  и

Решение. Дифференциал функции вычислим по формуле (9). Найдем :

Найдем .

Подставляя найденные значения в формулу, получим,

Пример 2. Вычислить дифференциал функции:

1) 2) 3)

Решение. 1) Найдем ;

.

Подставляем полученное выражение в формулу (10), получим:

Пример 3. Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение выражения:

1) 2) 3)

Решение. 1) Воспользуемся формулой (11) для функции  при  Считаем, что  

Вычислим

Найдем

Тогда:

Таким образом,

2) Будем находить приближенное значение функции  в точке  по формуле (11). Обозначим , откуда ,

Найдем значение

Вычислим производную функции

 откуда

Подставив найденные значения в формулу (11)б получим

Таким образом, получим ответ

3) Необходимо найти приближенное значение функции  в точке

Представим  откуда  

Тогда

Поскольку  то

Тогда по формуле (11), получим:

Итак,

Пример 4. Куб со стороной м увеличился на 0,05 своего объема. Вычислить приближенно приращения ребра куба.

Решение. Объем куба со стороной a вычисляется по формуле  Поэтому первоначальный объем куба равен  По условию приращение объема куба равно 0,05 всего объема, т. е.

Так как  то

Дифференциал функции вычисляем по формуле (9), т. е.

 откуда

Вычислим значение производной  для :

Теперь найдем

Таким образом, ребро куба увеличилось приблизительно на 0,16 (м).

Производные и дифференциалы высшего порядка

Пример 1. Вычислить  для функции .

Решение. Необходимую производную удобно найти использую формулу Лейбница (13). Для производной 4-го порядка формула Лейбница примет вид:

Функцию  представим в виде  Введем обозначения:  . Для функции  найдем производные: