Примеры решения задач / шпоры по математике примеры.doc

В.4 Матрицы и операции над ними

Пример 1. Найти 2A — 3B, если

 .

Решение. Прежде всего, следует заметить, что матрицы A и B имеют одинаковый размер 2×3. Поэтому, по определению линейных операций над матрицами, имеем

Пример 2. Вычислить соответствующие произведения (если возможно) и проверить справедливость равенства AB=BA для следующих пар матриц:

1)

5)

Решение. 1) Матрицы A и B согласованные, так как A имеет размер 2×2, а матрица B — размер 2×3:

Умножение B на A невозможно, так как матрицы

В.5 ,6 Определители, их свойства и вычисление

Пример 1. Вычислить определитель  различными способами.

Решение. 1-й способ. Используем правило треугольников:

.

2-й способ. Разложим определитель по первой строке:

.

3-й способ. Занулим элементы первой строки, то есть используем метод эффективного понижения порядка. Для этого прибавим к элементам 3-го столбца элементы 1-го столбца. Затем разложим определитель по 1-й строке: сложив соответствующие элементы 1-го и 3-го столбцов:

.

В. 7 Обратная матрица. Ранг матрицы

Пример 1. Исследовать матрицу A на невырожденность, найти  если она существует, результат проверить:

.

Решение. Вычислим определитель матрицы A:

.

Невырожденность матрицы A означает, что существует единственная обратная ей матрица

1-й способ. Используем формулу (4). Найдем алгебраические дополнения:

  

 

2-й способ. Воспользуемся эквивалентностью матриц  и . Для этого используем элементарные преобразования строк матрицы.

Тогда

по формуле (4) имеем

  (5)

Тогда

Приходим к заключению, что  имеет вид (5).

Для контроля правильности результата достаточно проверить условие  Действительно

В.8,9,10Системы линейных уравнений

Пример 1. Решить разными способами систему уравнений

Решение. 1-й способ. Используем метод обратной матрицы. Заданная система невырожденная, так как ее определитель не равен нулю. Действительно,

(13)

Найдем обратную матрицу А^—1. Вычисляем

А₁₁ = —3; А₂₁ = —5; А₃₁ = 5;

А₁₂ = 1; А₂₂ = 1; А₃₂ = —1;А₁₃ = 7; А₂₃ = 13; А₃₃ = —12.

Следовательно,

Используем далее формулу (10):

т. е. x₁ = —2, x₂ = 0, x₃ = 8 — единственное решение. Получаем ответ: .

2-й способ. Используем формулы Крамера (11). Вычисляем определитель системы (13).

Заменяем в определителе D первый столбец столбцом свободных членов и вычисляем

Заменяем в определителе D второй столбец столбцом свободных членов и вычисляем

Заменяем в определителе D третий столбец столбцом свободных членов. Тогда

Тогда, согласно формулам (11), имеем

Таким образом, получаем решение (—2; 0; 8).

3-й способ. Используем метод Гаусса. Приведем заданную систему к равносильной. Для этого осуществим элементарные преобразования строк расширенной матрицы системы:

Последней матрице соответствует система

Из последней системы получаем

 

т.е пришли к ответу

Пример 2. Исследовать систему на совместность и найти ее решение:

Решение. Запишем расширенную матрицу системы:

Наибольший порядок отличных от нуля миноров равен 2 (так как любой минор 3-го порядка содержит нулевую строку, а, следовательно, будет равен нулю). Значит,  и исходная система совместны.

Выберем в качестве базисного минор  Тогда х₁, х₂ — базисные неизвестные, х₃, х₄, х₅ — свободные. Система, равносильная исходной, имеет вид:

Полагаем х₃ = с₁, х₄ = с₂, х₅ = с₃,

где с₁, с₂, с₃ — произвольные постоянные, и решаем указанную систему.

Получаем

Таким образом получаем множество решений вида

В 11. Векторы в пространстве: линейные операции над векторами в геометрической форме, проекция вектора на ось

Пример 1. Векторы  и  неколлинеарны. Найти, при каком значении a векторы  и  будут коллинеарны.

Решение. Условие  равносильно тому, что  где некоторое число, т. е.

 откуда

Векторы  и  неколлинеарны, поэтому

Решая эту систему, находим  и  или  Таким образом, при  имеем   Как легко видеть, выполняется , что и означает коллинеарность векторов  и .

Пример 2. Дана треугольная призма  (рис. 3). Разложить вектор  по векторам   и

Решение. По правилу треугольника имеем

Складывая левые и правые части этих векторных равенств, получаем

Так как  и  то  и, следовательно,

Рис. 3.

В.15 Линейная зависимость векторов. Действиянад векторами в координатной форме

Пример 1. Даны векторы    в некотором базисе. Найти координаты вектора  в этом базисе.

Решение. Определим координаты вектора  следуя правилам действий над векторами в координатной форме (см. формулы (2) и (3)), т. е.

В дальнейшем, если не оговорено противное, все координаты считаются заданными в ортонормированном базисе.

Пример 2. Вычислить проекцию вектора  на направление вектора

Решение. Используем формулы (1), (4), (7):

Пример 3. Найти направляющие косинусы вектора

Решение. Используем формулы (9):

Пример 4. Найти прямоугольные декартовы координаты вектора  если  

Решение. Пусть . Используя определение координат вектора, имеем

Получаем, .

В.13 Векторное произведение

Пример 1. Пусть    Найти:

1) ; 2) ; 3) .

Решение. 1. По определению векторного произведения векторов  и  его длина есть

2. Используя алгебраические свойства векторного произведения, имеем

Значит,

3. Используем свойства векторного произведения и условие задачи. Получим

Пример 2. Упростить выражение:

1) ;

2) .

Решение. Воспользуемся равенствами      , которые верны по определению векторного произведения и его свойствам. Тогда

1.

;

2.

Пример 3. Вычислить площадь параллелограмма, диагоналями которого служат векторы  и  где  

Решение. Используем известную из планиметрии формулу площади параллелограмма и геометрический смысл векторного произведения:

,

где  

Тогда, по свойствам векторного произведения

Пример 4. Вычислить площадь  и его высоту, опущенную из вершины A на сторону BC, если A(1, 1, 1), B(4, 2, —1), C(2, 3, 0).

Решение.

где  — площадь параллелограмма, построенного на векторах  и . Так как , то найдем сначала .

Тогда

Значит,

Для нахождения высоты h треугольника  воспользуемся формулой  из которой  Здесь

Значит,

Пример 5. Даны три силы:

, , , приложенные к точке A(—1, 4, 2). Определить величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно точки O(2, 3, —1).

Решение. Пусть сила равнодействующая сил . Тогда . Значит, согласно физическому смыслу векторного произведения, момент  этой силы равен

Вычисляем . Для нахождения направляющих косинусов используем формулы (9):

В.14 Смешанное произведение

Пример 1. Векторы  образуют правую тройку, взаимно перпендикулярны и    Вычислить их смешанное произведение.

Решение. По определению, . Вектор  образует с  и  правую тройку, причем   Значит  Кроме того,

 

Тогда

Пример 2. Вычислить  и определить ориентацию этой тройки векторов, если    Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах  приведенных к общему началу.

Решение.

Поскольку смешанное произведение отрицательно, тройка векторов  является левой. Находим объем параллелепипеда:

Пример 3. Доказать, что точки A(1, 2, —1), B(0, 1, 5), C(—1, 2, 1) и D(2, 1, 3) лежат в одной плоскости.

Решение. Рассмотрим три вектора

Согласно формуле (10) их смешанное произведение:

а это значит, что векторы  — компланарны и лежат в одной плоскости, т. к. имеют общее начало. Таким образом, точки A, B, C, D лежат в одной плоскости.

Пример 4. Вычислить объем треугольной пирамиды OABC, если   

Решение.

,

где  — объем параллелепипеда, построенного на векторах  

Согласно геометрическому смыслу смешанного произведения

.

Поскольку

то получаем

Плоскость в пространстве

Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку , параллельно векторам  и .

Решение. Поскольку векторы  и  не коллинеарны (их координаты не являются пропорциональными), то согласно (1), составим уравнение:

Преобразуем левую часть:

Таким образом общее уравнение искомой плоскости

Пример 2. Составить уравнение плоскости P, проходящей через точки  и  параллельно вектору .

Решение. Векторы  и  неколлинеарны. Поэтому, согласно (1), уравнение плоскости имеет вид

 т. к. векторы   и  компланарны. Здесь  Откуда получаем общее уравнение

Можно рассуждать при построении уравнения также следующим образом. В качестве нормального вектора  плоскости P может быть взят вектор

Тогда уравнение плоскости согласно формуле (2) примет вид:

 или

Пример 3. Записать уравнение плоскости

1) «в отрезках»; 2) в параметрическом виде

Решение. 1) Перепишем уравнение плоскости в виде  откуда после деления на —2 получим искомое уравнение «в отрезках»:

2) Из полученного уравнения «в отрезках» имеем: точки   и  лежат в плоскости P. тогда в качестве двух неколлинеарных векторов  и , параллельных плоскости P, можно взять  и  Тогда векторно-параметрическое уравнение плоскости примет вид  откуда в координатной форме получим:

Это и есть параметрическое уравнение плоскости P.

Пример 4. Привести к нормальному виду уравнение плоскости

Решение. Так как свободный член уравнения плоскости  то нормирующий множитель

Тогда нормальным уравнением будет

Значит,  а расстояние от начала координат до плоскости равно 3.

Пример 5. Составить уравнения плоскостей, параллельных плоскости  и отстоящих от нее на расстояние

Решение. Пусть  — точка искомой плоскости. Тогда  и  Отсюда уравнения искомых плоскостей  и

Пример 6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A(1, 0, —1), B(1, 3, —4) и образующей угол  с плоскостью

Решение. Не ограничивая общности. Будем искать уравнение плоскости в виде

Поскольку точки A(1, 0, —1) и B(1, 3, —4) лежат в искомой плоскости, то их координаты удовлетворяют уравнению этой плоскости. Значит имеем

откуда   Подставим найденные значения D и B, выраженные через C, в уравнение плоскости:

Следовательно, нормальный вектор .

Воспользуемся тем, что плоскость образует угол  с плоскостью  нормальный вектор  которой . По формуле косинуса угла между плоскостями имеем:

откуда  или  Находим C, преобразовывая последнее равенство:

Имеем окончательно уравнение плоскостей:

Уравнение прямой в пространстве. Взаимное

расположение прямых

Пример 1. Составить канонические уравнения прямой:

1) проходящей через точку  параллельно вектору

2) проходящей через две заданные точки  и

3) заданной общими уравнениями

Решение. 1) Пусть  — произвольная точка искомой прямой. Тогда  т. е. их координаты пропорциональны. Т. к.   то имеем соотношения:

которые и представляют собой канонические уравнения прямой с заданными свойствами на плоскости.

2) Пусть  — произвольная точка прямой. Тогда векторы  и  — коллинеарны, т. е. их координаты пропорциональны.

Т. к.   то имеем:

Это и есть искомый результат.

3) Для перехода от общих уравнений прямой L к каноническим обычно поступают следующим образом. Подбирают какую-либо точку  фиксируя числовые значения одной из координат и решая относительно нее систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Затем находят направляющий вектор  прямой L как векторное произведение нормальных векторов плоскостей, задающих L. Проиллюстрируем на примере.

 — направляющий вектор плоскости ,  — нормальный вектор плоскости

Тогда вектор . Определим его координаты:

Для нахождения точки  зафиксируем одно из координатных значений, например,  Тогда, подставив в заданные общие уравнения  получим:

 или  т. е. .

Таким образом, искомые канонические уравнения

Пример 2. Докажите, что прямые  и  параллельны, и найдите расстояние между ними, если они заданны параметрическими уравнениями:

 и

Решение. Прямая  имеет направляющий вектор , а  —  причем  т. к.  Значит,

Найдем расстояние между ними, используя формулу расстояния от точки до прямой.   Тогда

где  и  — радиус-векторы точек  и .

Значит,

Пример 3. Докажите, что прямые  и  пересекаются, и найдите координаты точки пересечения, если они заданны параметрическими уравнениями:

 и

Решение.   причем . Значит .

Прежде всего, определим, лежат ли прямые в одной плоскости, т. е. являются ли векторы   и  компланарными (здесь  ). Найдем для этого их смешанное произведение:

Значит, прямые лежат в одной плоскости и не параллельны. Следовательно они пересекаются.

Найдем их точку пересечения .

 при подстановке в уравнение .

Значит,   Итак,

Пример 4. Докажите, что прямые  и  скрещиваются, и найдите расстояние между ними, если они заданы параметрическими уравнениями:

 и

Решение.   причем . Значит . Определим, компланарны ли они. Т. к.   то условием компланарности прямых служит компланарность векторов   и . Найдем смешанные произведения этих векторов:

Значит, указанные векторы, а вместе с ними и прямые  и  не лежат в одной плоскости.

Прямые  и  скрещиваются, т. к. они не пересекаются и не параллельны. Найдем расстояние между ними по формуле:

Итак,

Прямая и плоскость в пространстве

Пример 1. 1. Установить взаимное расположение прямой и плоскости, в случае их пересечения — найти координаты пересечения:

Решение. 1) 1)  и

Определим координаты направляющего вектора прямой  по ее каноническим уравнениям. Это вектор  Нормальный вектор  плоскости  имеет координаты  Найдем скалярное произведение векторов  и :

Значит,  и прямая L и плоскость P параллельны. Проверим, не лежит ли прямая L в плоскости P. Для этого определим принадлежность точки  плоскости P, подставив координаты в уравнение плоскости:

Следовательно,  а значит,

2

 2)  и

Прямая  имеет направляющий вектор  и точку  Выясним, будет ли  перпендикулярен нормальному вектору  заданной плоскости

Осталось проверить принадлежность точки  плоскости:

Значит, прямая L лежит в плоскости P.

3. 3)  и

Направляющий вектор заданной прямой и направляющий вектор  плоскости не коллинеарны и не перпендикулярны, т. к.  и  Значит, . Найдем координаты точки  пересечения прямой и плоскости. Для этого перейдем сначала к параметрическим уравнениям прямой:

Затем в уравнение плоскости P подставим вместо их выражение через параметр t:

Откуда имеем

Подставим найденное значение параметра t в параметрические уравнения прямой:   

Итак, .

Пример 2. Найти координаты точки N, симметричной точке  относительно прямой, проходящей через точки  и .

Решение. Для решения задачи воспользуемся следующими рассуждениями: симметричная точке M точка N находится в той же плоскости, что прямая AB и точка M, лежит на перпендикуляре MN к прямой AB и находится от прямой AB на том же расстоянии, что и точка M.

Пусть  Тогда

1)  — компланарны;

2) ;

3) ;

4) середина отрезка MN лежит на прямой AB.

Составим систему уравнений, используя координатную форму записи условий 1—3.

  

 — компланарны при условии  т. е.  откуда получаем

 откуда

Условие  равносильно условию  или  что приводит к уравнению

 затем

 откуда

.

 следовательно,

 После подстановки ,  получим  или  

Таким образом, точки  и  удовлетворяют первым трем условиям. Осталось проверить четвертое. Найдем середины  и  отрезков  и  соответственно и проверим, какая из точек ( или ) лежит на прямой

 ли

 или

 т. к.  но

 т. к.

Итак,

Пример 3. Прямая L задана общими уравнениями

Написать уравнение ее проекции на координатную плоскость Oxz.

Решение. Построим канонические уравнения прямой L. В качестве направляющего вектор можно взять вектор  где   Тогда

 т. е.

Присвоив переменной x значение 0, получим систему уравнений  из которой найдем   а значит точка  лежит на прямой L.

Таким образом, канонические уравнения прямой L таковы:

 что эквивалентно системе трех уравнений, описывающих три плоскости, проектирующие прямую на координатные плоскости Oxy, Oxz и Oyz соответственно.

Итак, искомое уравнение

. Поверхности второго порядка

Пример 1. Использовать форму и построить поверхность заданную уравнением