- •В 11. Векторы в пространстве: линейные операции над векторами в геометрической форме, проекция вектора на ось
- •В.15 Линейная зависимость векторов. Действиянад векторами в координатной форме
- •В.13 Векторное произведение
- •В.14 Смешанное произведение
- •Плоскость в пространстве
- •Прямая и плоскость в пространстве
- •. Поверхности второго порядка
- •Предел функции в точке и на бесконечности
- •II способ. Чтобы избавится от неопределенности вида , введем замену переменной , т.К. При получим .
- •. Односторонние пределы: Асимптоты графика функции.
- •Дифференцирование функции с переменной в основании степени и в показателе
- •Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически.
В.4 Матрицы и операции над ними
Пример 1. Найти 2A – 3B, если
.
Решение. Прежде всего, следует заметить, что матрицы A и B имеют одинаковый размер 2×3. Поэтому, по определению линейных операций над матрицами, имеем
Пример 2. Вычислить соответствующие произведения (если возможно) и проверить справедливость равенства AB=BA для следующих пар матриц:
1)
5)
Решение. 1) Матрицы A и B согласованные, так как A имеет размер 2×2, а матрица B – размер 2×3:
Умножение B на A невозможно, так как матрицы
В.5 ,6 Определители, их свойства и вычисление
Пример 1. Вычислить определитель различными способами.
Решение. 1-й способ. Используем правило треугольников:
.
2-й способ. Разложим определитель по первой строке:
.
3-й способ. Занулим элементы первой строки, то есть используем метод эффективного понижения порядка. Для этого прибавим к элементам 3-го столбца элементы 1-го столбца. Затем разложим определитель по 1-й строке: сложив соответствующие элементы 1-го и 3-го столбцов:
.
В. 7 Обратная матрица. Ранг матрицы
Пример 1. Исследовать матрицу A на невырожденность, найти если она существует, результат проверить:
.
Решение. Вычислим определитель матрицы A:
.
Невырожденность матрицы A означает, что существует единственная обратная ей матрица
1-й способ. Используем формулу (4). Найдем алгебраические дополнения:
2-й способ. Воспользуемся эквивалентностью матриц и . Для этого используем элементарные преобразования строк матрицы.
Тогда
по формуле (4) имеем
(5)
Тогда
Приходим к заключению, что имеет вид (5).
Для контроля правильности результата достаточно проверить условие Действительно
В.8,9,10Системы линейных уравнений
Пример 1. Решить разными способами систему уравнений
Решение. 1-й способ. Используем метод обратной матрицы. Заданная система невырожденная, так как ее определитель не равен нулю. Действительно,
(13)
Найдем обратную матрицу А–1. Вычисляем
А11 = –3; А21 = –5; А31 = 5;
А12 = 1; А22 = 1; А32 = –1;А13 = 7; А23 = 13; А33 = –12.
Следовательно,
Используем далее формулу (10):
т. е. x1 = –2, x2 = 0, x3 = 8 – единственное решение. Получаем ответ: .
2-й способ. Используем формулы Крамера (11). Вычисляем определитель системы (13).
Заменяем в определителе первый столбец столбцом свободных членов и вычисляем
Заменяем в определителе второй столбец столбцом свободных членов и вычисляем
Заменяем в определителе третий столбец столбцом свободных членов. Тогда
Тогда, согласно формулам (11), имеем
Таким образом, получаем решение (–2; 0; 8).
3-й способ. Используем метод Гаусса. Приведем заданную систему к равносильной. Для этого осуществим элементарные преобразования строк расширенной матрицы системы:
Последней матрице соответствует система
Из последней системы получаем
т.е пришли к ответу
Пример 2. Исследовать систему на совместность и найти ее решение:
Решение. Запишем расширенную матрицу системы:
Наибольший порядок отличных от нуля миноров равен 2 (так как любой минор 3-го порядка содержит нулевую строку, а, следовательно, будет равен нулю). Значит, и исходная система совместны.
Выберем в качестве базисного минор Тогда х1, х2 – базисные неизвестные, х3, х4, х5 – свободные. Система, равносильная исходной, имеет вид:
Полагаем х3 = с1, х4 = с2, х5 = с3,
где с1, с2, с3 – произвольные постоянные, и решаем указанную систему.
Получаем
Таким образом получаем множество решений вида
В 11. Векторы в пространстве: линейные операции над векторами в геометрической форме, проекция вектора на ось
Пример 1. Векторы и неколлинеарны. Найти, при каком значении векторы и будут коллинеарны.
Решение. Условие равносильно тому, что где некоторое число, т. е.
откуда
Векторы и неколлинеарны, поэтому
Решая эту систему, находим и или Таким образом, при имеем Как легко видеть, выполняется , что и означает коллинеарность векторов и .
Пример 2. Дана треугольная призма (рис. 3). Разложить вектор по векторам и
Решение. По правилу треугольника имеем
Складывая левые и правые части этих векторных равенств, получаем
Так как и то и, следовательно,
Рис. 3.
В.15 Линейная зависимость векторов. Действиянад векторами в координатной форме
Пример 1. Даны векторы в некотором базисе. Найти координаты вектора в этом базисе.
Решение. Определим координаты вектора следуя правилам действий над векторами в координатной форме (см. формулы (2) и (3)), т. е.
В дальнейшем, если не оговорено противное, все координаты считаются заданными в ортонормированном базисе.
Пример 2. Вычислить проекцию вектора на направление вектора
Решение. Используем формулы (1), (4), (7):
Пример 3. Найти направляющие косинусы вектора
Решение. Используем формулы (9):
Пример 4. Найти прямоугольные декартовы координаты вектора если
Решение. Пусть . Используя определение координат вектора, имеем
Получаем, .
В.13 Векторное произведение
Пример 1. Пусть Найти:
1) ; 2) ; 3) .
Решение. 1. По определению векторного произведения векторов и его длина есть
2. Используя алгебраические свойства векторного произведения, имеем
Значит,
3. Используем свойства векторного произведения и условие задачи. Получим
Пример 2. Упростить выражение:
1) ;
2) .
Решение. Воспользуемся равенствами , которые верны по определению векторного произведения и его свойствам. Тогда
1.
;
2.
Пример 3. Вычислить площадь параллелограмма, диагоналями которого служат векторы и где
Решение. Используем известную из планиметрии формулу площади параллелограмма и геометрический смысл векторного произведения:
,
где
Тогда, по свойствам векторного произведения
Пример 4. Вычислить площадь и его высоту, опущенную из вершины A на сторону BC, если A(1, 1, 1), B(4, 2, –1), C(2, 3, 0).
Решение.
где – площадь параллелограмма, построенного на векторах и . Так как , то найдем сначала .
Тогда
Значит,
Для нахождения высоты h треугольника воспользуемся формулой из которой Здесь
Значит,
Пример 5. Даны три силы:
, , , приложенные к точке A(–1, 4, 2). Определить величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно точки O(2, 3, –1).
Решение. Пусть сила равнодействующая сил . Тогда . Значит, согласно физическому смыслу векторного произведения, момент этой силы равен
Вычисляем . Для нахождения направляющих косинусов используем формулы (9):