Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Примеры решения задач.doc
Скачиваний:
63
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
2.36 Mб
Скачать

В.4 Матрицы и операции над ними

Пример 1. Найти 2A – 3B, если

.

Решение. Прежде всего, следует заметить, что матрицы A и B имеют одинаковый размер 2×3. Поэтому, по определению линейных операций над матрицами, имеем

Пример 2. Вычислить соответствующие произведения (если возможно) и проверить справедливость равенства AB=BA для следующих пар матриц:

1)

5)

Решение. 1) Матрицы A и B согласованные, так как A имеет размер 2×2, а матрица B – размер 2×3:

Умножение B на A невозможно, так как матрицы

В.5 ,6 Определители, их свойства и вычисление

Пример 1. Вычислить определитель различными способами.

Решение. 1-й способ. Используем правило треугольников:

.

2-й способ. Разложим определитель по первой строке:

.

3-й способ. Занулим элементы первой строки, то есть используем метод эффективного понижения порядка. Для этого прибавим к элементам 3-го столбца элементы 1-го столбца. Затем разложим определитель по 1-й строке: сложив соответствующие элементы 1-го и 3-го столбцов:

.

В. 7 Обратная матрица. Ранг матрицы

Пример 1. Исследовать матрицу A на невырожденность, найти если она существует, результат проверить:

.

Решение. Вычислим определитель матрицы A:

.

Невырожденность матрицы A означает, что существует единственная обратная ей матрица

1-й способ. Используем формулу (4). Найдем алгебраические дополнения:

2-й способ. Воспользуемся эквивалентностью матриц и . Для этого используем элементарные преобразования строк матрицы.

Тогда

по формуле (4) имеем

(5)

Тогда

Приходим к заключению, что имеет вид (5).

Для контроля правильности результата достаточно проверить условие Действительно

В.8,9,10Системы линейных уравнений

Пример 1. Решить разными способами систему уравнений

Решение. 1-й способ. Используем метод обратной матрицы. Заданная система невырожденная, так как ее определитель не равен нулю. Действительно,

(13)

Найдем обратную матрицу А–1. Вычисляем

А11 = –3; А21 = –5; А31 = 5;

А12 = 1; А22 = 1; А32 = –1;А13 = 7; А23 = 13; А33 = –12.

Следовательно,

Используем далее формулу (10):

т. е. x1 = –2, x2 = 0, x3 = 8 – единственное решение. Получаем ответ: .

2-й способ. Используем формулы Крамера (11). Вычисляем определитель системы (13).

Заменяем в определителе  первый столбец столбцом свободных членов и вычисляем

Заменяем в определителе  второй столбец столбцом свободных членов и вычисляем

Заменяем в определителе  третий столбец столбцом свободных членов. Тогда

Тогда, согласно формулам (11), имеем

Таким образом, получаем решение (–2; 0; 8).

3-й способ. Используем метод Гаусса. Приведем заданную систему к равносильной. Для этого осуществим элементарные преобразования строк расширенной матрицы системы:

Последней матрице соответствует система

Из последней системы получаем

т.е пришли к ответу

Пример 2. Исследовать систему на совместность и найти ее решение:

Решение. Запишем расширенную матрицу системы:

Наибольший порядок отличных от нуля миноров равен 2 (так как любой минор 3-го порядка содержит нулевую строку, а, следовательно, будет равен нулю). Значит, и исходная система совместны.

Выберем в качестве базисного минор Тогда х1, х2 – базисные неизвестные, х3, х4, х5 – свободные. Система, равносильная исходной, имеет вид:

Полагаем х3 = с1, х4 = с2, х5 = с3,

где с1, с2, с3 – произвольные постоянные, и решаем указанную систему.

Получаем

Таким образом получаем множество решений вида

В 11. Векторы в пространстве: линейные операции над векторами в геометрической форме, проекция вектора на ось

Пример 1. Векторы и неколлинеарны. Найти, при каком значении векторы и будут коллинеарны.

Решение. Условие равносильно тому, что где некоторое число, т. е.

откуда

Векторы и неколлинеарны, поэтому

Решая эту систему, находим и или Таким образом, при имеем Как легко видеть, выполняется , что и означает коллинеарность векторов и .

Пример 2. Дана треугольная призма (рис. 3). Разложить вектор по векторам и

Решение. По правилу треугольника имеем

Складывая левые и правые части этих векторных равенств, получаем

Так как и то и, следовательно,

Рис. 3.

В.15 Линейная зависимость векторов. Действиянад векторами в координатной форме

Пример 1. Даны векторы в некотором базисе. Найти координаты вектора в этом базисе.

Решение. Определим координаты вектора следуя правилам действий над векторами в координатной форме (см. формулы (2) и (3)), т. е.

В дальнейшем, если не оговорено противное, все координаты считаются заданными в ортонормированном базисе.

Пример 2. Вычислить проекцию вектора на направление вектора

Решение. Используем формулы (1), (4), (7):

Пример 3. Найти направляющие косинусы вектора

Решение. Используем формулы (9):

Пример 4. Найти прямоугольные декартовы координаты вектора если

Решение. Пусть . Используя определение координат вектора, имеем

Получаем, .

В.13 Векторное произведение

Пример 1. Пусть Найти:

1) ; 2) ; 3) .

Решение. 1. По определению векторного произведения векторов и его длина есть

2. Используя алгебраические свойства векторного произведения, имеем

Значит,

3. Используем свойства векторного произведения и условие задачи. Получим

Пример 2. Упростить выражение:

1) ;

2) .

Решение. Воспользуемся равенствами , которые верны по определению векторного произведения и его свойствам. Тогда

1.

;

2.

Пример 3. Вычислить площадь параллелограмма, диагоналями которого служат векторы и где

Решение. Используем известную из планиметрии формулу площади параллелограмма и геометрический смысл векторного произведения:

,

где

Тогда, по свойствам векторного произведения

Пример 4. Вычислить площадь и его высоту, опущенную из вершины A на сторону BC, если A(1, 1, 1), B(4, 2, –1), C(2, 3, 0).

Решение.

где – площадь параллелограмма, построенного на векторах и . Так как , то найдем сначала .

Тогда

Значит,

Для нахождения высоты h треугольника воспользуемся формулой из которой Здесь

Значит,

Пример 5. Даны три силы:

, , , приложенные к точке A(–1, 4, 2). Определить величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно точки O(2, 3, –1).

Решение. Пусть сила равнодействующая сил . Тогда . Значит, согласно физическому смыслу векторного произведения, момент этой силы равен

Вычисляем . Для нахождения направляющих косинусов используем формулы (9):