Интегрирование с помощью подстановки.

Пусть подынтегральная ф-ия в интеграле непрерывна на Х и ф-ия  дифф. на промежутке Т и имеет на нем обратную ф-ию  с на промежутке Х , тогда справедливо:

Алгоритм интегрирования подстановкой.

1.      Для интеграла подынтегральная ф-ия такая, что  является табличным или сводится к нему так, что легко находится .

2.      Нах. обратную ф-ию  и подставляем в , которая и будет первообразной для исходного интеграла.

Алгоритм:

1.      Часть подынтегрального выражения вводится под знак дифференциала и полученное выражение под знаком дифференциала обозначается как новая переменная.

2.      В подынтегральной ф-ии делается замена переменной на новую, находится  от новой переменной.

3.      В  возвращ. к старой переменной.

Интегрирование по частям.

Интегрирую выражение любого дифференциала произведения, получим:

Пример:

Рекомендации:

В интегралах с подынтегральным выражением вида:

(Pn —многочлен степени n )

Pn принимается за u

В интегралах с подынтегральным выражением вида:

 за u ®

Интегрирование с подстановкой выражений вида  после двукратного интегрирования по частям приводится к линейному уравнению относительно вычисляемого интеграла.

Интегрирование дробно-рациональных выражений

Df Дробно-рациональная ф-ия - отношение 2^х многочленов - многочлены степени n и  m соответственно.

Рациональная дробь правильная, если степень числителя строго меньше степени знаменателя, обратно - неправильная.

Zm Неправильная рациональная дробь путем выделения целой части приводится к сумме многочлена и правильной рациональной дроби; многочлен называется целой частью неправильной дроби.

Простейшие (элементарные) рациональные дроби и их применение.

К простым рациональным дробям относятся рациональные дроби типов:

- вещественные постоянные

2. - вещественные постоянные,

3.

4.

Интегрирование 1^го типа:

Интегрирование 2^го типа:

Интегрирование 3^го типа:

проводится в два этапа:

1. В числителе выделяется дифференциал знаменателя:

2. Выделение полного квадрата в знаменателе второго интеграла.

Интегрирование 4^го типа:

1. Выделяем в числителе *** знаменателя:

Выделяем в знаменателе 2^го интеграла ф-лы квадрата:

Рекуррентная формула для вычисления J_m (вычисление происходит путем подстановки в известную форму)

Метод неопределенных коэффициентов.

1. Разложим знаменатель на множители:

2. Правильная дробь разлагается в сумму простейших и каждому множителю вида соотв. сумма из n простейших дробей вида:

 с неопределенным коэф. A₁ …n

Каждому множителю вида  соот. сумма из m простейших дробей вида:

с неопределенным коэф.B₁ C₁…

3. Неизвестный коэф. находится методом неопределенных коэф., основанном на: определении, что 2 многочлена тождественно совпадают, если у них равные коэффициенты при одинаковых степенях.

4. Приравнивая коэф. при одинаковых степенях в левой и правой частях, получим систему линейных уравнений относительно неизвестного уравнения.

Определенный интеграл

Задача, приводящая к понятию определенного интеграла.

Вычисление площади криволинейной трапеции:

Df. Криволинейная трапеция — фигура на площади, ограниченной линиями с уравнениями

1. Отрезок разобьем на n частей:

*********

Длина каждого отрезка

2. Т.к. - непрерывна на , то она непрерывна на каждом частичном отрезке, принад. ****

3. Впишем в трапецию мн-к, состоящий из пр-в с основаниями, совпадающими с частичными отрезками и высотой m_i

Суммируем площади пр-в — получаем площадь трапеции.

Меняя n , получаем числовую последовательность площадей, вписанных в многоугольник.

**********

4. Опишем около трапеции многоугольник

**********************************

Необходимое условие существование определенного интеграла.

Df. Пусть существует интеграл  подынтегральная ф-ия ограничена на

Доказательство:

Пусть - неограниченна на , то при любом разбиении этого отрезка она неограниченна на каком-то из частичных отрезков Þ *** на частичном отрезке, мы можем сделать значение ф-ии в т.  сколь угодно большим по модулю Þ интегральная сумма, соотв. этому прозв. разб. будет неограниченна Þ не имеет предела Þ противоречит условию Þф-ия  ограничена на

Некоторые классы интегральных ф-ий.

Df. Любая ф-ия, для которой существует определенный интеграл на , интегрируема на этом промежутке.

Множество таких ф-ий обозначают

К интегрируемым на  ф-иям относятся:

1.      Ф-ии, непрерывные на

2.      Монотонные на

3.      Имеющие на отрезке конечное или счетное мн-во точек разрыва 1-го рода.

Свойства определенного интеграла.

Df. Промежуток с гранич. т. A и B ориентированным, если указано направление перехода от т. A к т. B.

1. Пусть сущ. определенный интеграл  сущ. определенный интеграл  и справедливо равенство

2.

Док-во:

3. Свойство линейности определенного интеграла:

1. Пустьф-ии интегрируемы на ***

2. Пусть , то для любой произвольной постоянной    - справедлива формула

4. Аддитивность определенного интеграла:

Пусть ф-ия  интегрируема на большем их трех помежутков , тогда она интегрируема на обоих меньших промежутках и справедлива формула:

Свойство монотонности.

1. Пусть ф-ия  неотрицательна на  и интегрируема на нем,

Док-во: В силу н-ва для ф-ий любая интегрируема ф-ия неотрицательна Þ любая последовательность интегрируемых сумм будет иметь неотрицательный предел Þ интеграл будет неотрицательным.

2. Пусть ф-ия  на , искл. конечн. точек, и интегрируема на , тогда

Док-во: Из интегрируемости следует, что предел не зависит от выбора разбиения на . Достаточно строить инт. разбиения так, чтобы точки, в которых ф-ия равна нулю, являлись точками разбиения. А следовательно в силу аддитивности интеграл по всему прмежутку равен сумме интегралов по частичным промежуткам, т.к ****

Df Две ф-ии , заданные на , значения которых различны на  лишь в конечном ч. точек называются эквивалентными на этом отрезке.

3. Инт. от эквивалентных ф-ий совп.

Пусть эквивалентны и интегрируемы на , тогда  (они не совпадают а интегралы совпадают).

Д-во:

 на  лишь в конеч. ч. точек отр. , следовательно по 2^му  

4. Пусть  на , кроме конечного ч. точек,  инт. на , , то

5. Пусть  инт-ма на  Þ модуль ф-ии тоже интегрируем на  и справедливо неравенство:

6. Пусть  интегрируема на , , то существует М, такая что

Интеграл как ф-ия переменного верх. предела.

Пусть ф-ия  инт. на , , то она инт. на любом отрезке между

Рассмотрим определенный интеграл . Из определения опр. интеграла следует,что любому х соот. единст. значние этого интеграла.

Определенный интеграл с перемнного верх. предела — есть ф-ия своего предела