Лекции по матану [2 курс] / ответы на билеты по вышке.doc

1- Коплексные числа …

Комплексными числами называются числа вида a+ib, где a и b - вещественные числа

Обозначения: Z,W Z=a+ib ReZ=a ImZ=b.

Умножение на i это поворот на 90 градусов. Z — это вектор его модуль

Z — называется чисто мнимым, если ReZ=0. Ось н называется линейной осью.

Формы записи: 1) Z=a+ib

2)

3) Z=Re^ij - показательная форма.

Где R — модуль Z, j-argZ , -p<j<=p, j- называется главным значением и обозначается argZ ,а все значения АrgZ= argZ+2pk (k=0,1,…).

Действия над комплексными числами.

Z=a+ib W=c+id

1) Z+_W=(a+_c)+i(b+_d)

2) ZW=(ac-bd)+i(bc+ad)

|ZW|=rr, arg(ZW)=argZ+argW=j+y. Смысл в том что число |Z| растягивается в |W| раз и поворачивается на угол y. (ZW)H=(ZH)W, (Z+W)H=ZH+WH, ZW= rre^i(j+y)

3) Степень : Zⁿ=ZZZ…Z (n-раз) argZⁿ=nargZ

Формула Муавра если |Z|=1 ,т.е. Z=(cosj+isinj), тогда Zⁿ =(cosj+isinj)ⁿ=(cosnj+isinnj)

Каждому комплексному числу Z соответствует сопряженное число

Они равны модулями, а углы противоположны по знаку.

4)

5) Извлечение корня.  , wⁿ=z, z=r(cosj+isinj),w=r(cosy+isiny),rⁿ(cosny+isinny)=

= r(cosj+isinj) ,

если Z¹0, то имеет ровно n значений w₀,w₁,…,w_n-1 причем корни располагаются в вершинах правильного многоугольника, вписанного в окружность с радиусом r.

3-Функция КП…

Если каждому значению zÎG поставлено в соответствие одно(в случае однозначных функций) или несколько (в случае многозначных функций) значений wÎW, то говорят, что на множестве G значений Z задана функция w=f(az).

Односвязной областью называется такая область, для которой верно утверждение «Любая замкнутая область ограничивает область принадлежащую данной».

W=f(z), z=x+iy, w=u(x,y)+iv(x,y), где u-вещественная ,а v-мнимая части функции.

Функция w=f(z) устанавливающая соответствие между точками z и w , осуществляет отображение точек из области Z в область W.

Точки области G называется образами точек g при отображении w=f(z), а точки g называются прообразами соответствующих точек G.

Функция w=f(z) называется однозначной, если в каждой точке из области Z соответствует одна и только одна точка в плоскости W.

Если функция w=f(z) однозначна и такая, что обратная к ней функция z=F(w)(определенная на G) также однозначна, то тогда w=f(z) —однолистна на множестве g.

Пусть w₀ ,z₀ конечные числа. Число w₀  называется пределом функции w=f(z)

" e>0 сущ. d(e)> т.ч.

|z-z₀|<d(*)=>|f(z)-w₀|<e(**)

Если w₀ или z₀ или оба вместе взять за бесконечность тогда неравенства меняются (*, **) или оба заменяются другими.Пример." e>0 сущ A т.ч.|z|>A=>|f(z)-w₀|

W=f(z)- непрерывна в точке z₀ если выполняются следующие условия:

1) f(z) определена в этой точке (.)z₀

2)$

3) f(z₀)=k

4-Понятие о ряде, Основ. Транс. Функции

Ряд называется сходящимся если $ и причем конечный предел где Z_n-частичные суммы.

Если ряд из комплексных переменных сходится , сходится и ряды из мнимой и вещественной части этого числа .

Если сходится => то ряд называется абсолютно сходящимся.

Трансцендентные функции.

1)  e^z+2kpI=e^z —показательная функция.

2) Тригонометрические функции.

Переодические с пери-одом 2p и имеют только действительные нули.

Формыла Эйлера

3)Логарифмическая функция обратная к показательной если e^w=z (z¹0)=>w=LnZ

Если w=u+iv |е^w|=e^ы, Arg e^w=v+2pk, e^w=z=> |z|=e^u u=ln|z| то будем иметь LnZ=ln|Z|+iArgZ

Главное значение логарифма lnZ=ln|Z|+iargZ

Свойства логарифма остаются теже.

4)sinz=-ishiz, cosz=chiz, tgz=-ithiz, ctgz=icthiz

5)Обратные тригонометрические функции.

5- Производная ФКП.

Все формулы дифференцирования верны.

Рассмотрим w=f(z)- однозначна z=x+iy. Пусть Dz=Dx+Diy —приращение z, тогда Dw=f(z+Dz)- f(z) приращение функции w.

Если$ предел отношения по любому закону, то этот предел называется производной функции f(z) в точке z.

Различие в требованиях существования производных функции w=f(z) и y=g(x)

по любому направлению все пределы равны.

_____________________________________________

6- Условие Коши-Римана.

Теорема: если $ производная f^/(z), то выполняется условие =>

Доказательство: Пусть $ f^/(z)<=>$

По любому направлению Dz->0 и не зависит от этого стремления. Dz=Dx+Diy=> в частности, Dz=Dx->0 и Dz=iDy->0, т.е. по направлению ||Ox или || Oy

7-Аналитичность ФКП. Гармонические…

Если функция дифференцируема не только в точке z, но и в ее окружности, то она называется аналитической функцией в этой точке.

Функция аналитичная во всех точках некоторой области, называется аналитической в этой области.

Точки плоскости Z, в которой однозначная функция f(z) является аналитической, называются правильными точками f(z), а точки, в которых f(z) не является аналитической, называются особыми точками этой функции.(точки , в которых функция не определена относятся к особым).

Замечание. Свойства дифференцирования трансцендентных функций сохраняются.

Гармонические функции.

Гармоническими функциями называются функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа:

Утверждение: Действительные и мнимые части аналитической функции f(z) в некоторой области являются в этой области гармоническими.

Доказательство: Пусть f(z)-аналитична =>

Действительно в области Д функции u,v удовлетворяют условию Коши-Рамена.

тогда продифференцируем, (+)по х (-) по у

вывод: Re и Im части аналитчны, функции являются гармоничны , обратное неверно!

Пусть u,v -" гармоничны функции=> u+iv=f(z)- не аналитична.

Две гармонические функции u(x,y) и v(x,y), удовлетворяющие условиям К-Р и являющиеся Re и Im частью функции — аналитичны.

Для сопряженных чисел x+iy и x-iy функции называются сопряженными.

8-Геометрический смысл arg производной.

Пусть в плоскости Z задана точка z₀ и проходящая через нее кривая Ã, равная Ã=z=z(t), z(t)=x(t)+iy(t), пусть t=t₀, z₀=z(t₀)¹0 и $ z^|(t₀)¹0, z^|(t₀)=x^|(t₀)+iy^|(t₀) ¹0

т.е. z^|(t₀)¹0=>x^|(t₀)¹0, y^|(t₀)¹0 => всегда $ касательная => в точке z_o $ z^|(t₀), причем x^|(t₀) и y^|(t₀) координаты касательной.

Функция f(z)-аналитична в окрестности точки z₀ и пусть f^/(z₀) ¹0, тогда запишем Ã₁ — образ Ã при отображении w=f(z)->ее уравнение имеет вид w=f(z(t)).

w(t)=f(z(t)) и w_o=w(t_o)=f(z(t_o))-образ z_o при w=f(z)

w^|(t_o)= f^| (z_o) z^|(t₀) (*) (w^|(t_o)¹0, т.к. f^| (z_o) и z^|(t₀) ¹0)=>$ касательная в точке w_o к кривой Ã₁ из (*)=> Arg w^|(t_o)=argf^|(z_o)+Argz^|(t₀). Отсюда видно, что f^|(z_o)=> argf^|(z_o) не зависит от кривой Ã, поэтому f(z)-фиксирована , то Arg(w^|(z))=a+Arg z^|(t₀), где a=argf^|(z_o) не зависит от выбора кривой Ã через z_o.

a=argf^|(z_o) равен углу, на который нужно повернуть касательную в точке z_o к любой кривой, проходящей через эту точку, чтобы получить направление касательной в соответствующей точке w_o к образу данной кривой Ã при отображении w=f(z).(Если a>0 поворот против часовой стрелки иначе против).