Московский инженерно-физический институт

Математический анализ Логинов А.С.

Лекция 1 (1997=>2004)

Глава 1. Введение

§1. Некоторые понятия теории множеств и математической логики

1.Множество, операции над множествами, обозначения

Множество - совокупность некоторых различимых объектов. Задать множество - задать признаки, характеризующие эти объекты.

Примеры:

N - натуральные числа [a,b] - отрезок

Z - целые числа a, b) — интервал, (a,b],[a,b) - полуинтервалы

Q - рациональные числа

R - вещественные числа x E, x E

Подмножество A Ì E

Æ- пустое множество ÆÎE, EÍE

Обозначение множества печислением - {a, b, c}

Обозначение множества указанием характеризующего свойства - { x : x удовлетворет свойству P}. Пример: N={xÎZ:x>0}

[a,b]={x: a£x,x£b}

Дополнение (разность) E\A={xÎE:xÏA}

Пересечение AÇB ={x:xÎA и xÎB}. Если два множества не пересекаются. то это можно записать в виде AÇB=Æ.

Объединение AÈB  ={x:xÎA или xÎB}.

Произведение множеств AxB  ={(x,y):xÎA и yÎB}.

Пример R² = R x R - плоскость.2. Отображение, взаимно-однозначное соответствие, счетное и несчетные множества

Даны множества A и B. Отображение A в B (или функция определенная на A со значениями в B) - cоответствие или закон (обозначим его f ), которое каждому a  A сопоставляет единственное  b Î B, A  B, f: A ® B, b = f(a).

a - прообраз, b - образ при отображении f.

Отображение из A в B называется взаимно-однозначным, если

1) разные элементы из A имеют разные образы

2) каждый элемент из B является образом некоторого элемента из A

Эквивалентные множества A ~ B или множества одинаковой мощности, если существует взаимно-однозначное соответствие между элементами этих множеств.

Счетное множество A ~ N

Пример: Множество рациональных чисел счетно.

Одно из простейших свойств счетных множеств

Объединение конечного или счетного числа счетных множеств является счетным множеством.

Несчетные множества

Бесконечное множество, не являющееся счетным, называется несчетным. Множество [0,1] имеет большую мощность, чем N. Множество мощности континиума. R - несчетное множество хR ~ [ 0, 1 ]

3. Некоторые понятия математической логики (Дж. Маллас Пролог)

При описании логики Аристотеля употребляется понятие суждение. Суждение представляет собой законченную мысль, выраженную средствами естественного языка и (согласно Аристотелю) состоит из четырех элементов:

Квантор Субъект Связка Предикат
Все числа являются не рациональными

Некоторые натуральные числа - четны

В последнем случае подразумевается связка “являются”. В первом случае обычно говорят также: “Все числа не являются рациональными”. Вместо термина предикат мы будем использовать также термин свойство. Противоположное свойство P или отрицание свойства P обозначается значком  или .

В традиционной логике допускаются два типа суждений, каждый из которых характеризует возможные отношения между двумя классами (классом субъектов и классом предикатов):

Все S являются P ( каждый из S удовлетворяет свойству P )

Некоторые из S являются P ( существует представитель из S, удовлетворяющий свойству P )

Здесь S обозначает класс субъектов, а P - класс предикатов ( или некоторое свойство, характеризующее этот класс ). Все, каждый, любой, произвольный называются универсальным кванторам или кванторам общности. Квантор общности обозначается ". Некоторые из, существует -экзистенциальные кванторы. Квантор существования обозначается $. Таким образом основные типы суждений можно записать в следующей форме ( логической связке соответствует символ двоеточия ):

1)      "xÎS:P

2)      $xÎS:P

Предикат и субъект в суждении могут быть составными, в частности они сами могут быть суждениями. Например, рассмотрим высказывание:

"e>0 $d>0 "x,|x-x₀|<d : |f(x)-2|<e.

Это высказывание следует читать так: Для любого эпсилон больше нуля существует дельта больше нуля, что для всех икс, удовлетворяющих неравеству …, выполнено неравенство …. Это суждение является составным и может быть разложено на простейшие суждения следующим образом:

"eÎS₁ : P₁, где S₁-класс, S₁={xÎR,x>0}, P₁ - предикат,

P₁=($dÎS₂ : P₂), где S₂=S₁, P₂ - предикат,

P₂=("xÎS₃: P₃), S₃= S₃(d)={xÎR:|x-x₀|<d}, P₃ - предикат,

Прямая и обратная теоремы, эквивалентность, метод математической индукции

Структура простейшей теоремы выглядит следующем образом: дано свойство (условие) A, из него выводится свойство (заключение) B.

В этом случае говорят A влечет B . A  B ( последняя запись подразумевает на самом деле истинность выражения A  B).

Если к томе же B  A, то говорят, что верна и обратная теорема и пишут AÛB, при этом A и B называются эквивалентными.

Теорема. Отрицание суждения должно строится по следующим формальным правилам:

1. квантор " заменяется на квантор $

2. квантор $ заменяется на квантор "

3. предикат P заменяется на свое отрицание.

Пример:

"e>0 $d>0 "x,|x-x₀|<d : |f(x)-2|<e.

его отрицание

$e>0 "d>0 $x,|x-x₀|<d : |f(x)-2|³e.

Для доказательства отметим, что любое высказывание (составное суждение) может быть сведено к двум типам простейших суждений:

1. "x: P

2. $x: P,

где P некоторое суждение, поэтому требуемое утверждение достаточно доказать для двух этих суждений, но для простейших суждений сформулированная теорема очевидна.

Метод математической индукции

Есть последовательность свойств P_n. Если доказано свойство P₁ и P_k  P_k+1, то P_n справедливы для n  N.

Пример: Доказать индукцией равенство C_n^k + C_n^k+1=C_n+1^k+1, .

Лекция 2

4.Вещественные числа

1. Свойство упорядоченности

"a, b либо a < b либо a = b либо a > b

1.1 a < b, b < c Þ a < c ( свойство транзитивности )

( a < b ) или ( a = b ) , то пишут a £ b

2. Свойства операции сложения ("a,b ® a+b)

2.1              a + b = b + a (коммутативность)

( точнее было бы написать "a:( "b: a + b = b + a) )

2.2 a + ( b + c ) = ( a + b ) + c (ассоциативность)

2.3 $0, "a Î R : a + 0 = a

2.4 "a $ противоположный - a : a + (-a) = 0

2.5 a < b Þ a + c < b + c ,( "c )

3. Свойства операций умножения ("a,b ® ab)

3.1 a b = b a (коммутативность)

3.2 a ( b c ) = ( a b ) c (ассоциативность)

3.3 $1, "a Î R : 1 a = a

3.4 "a¹0$a^-1(обратный ): a a^-1 = 1

3.5 a < b и c > 0 a c < b c

a < b и c < 0 a c > b c

4. Связь операций

4.1 ( a + b ) c = a c + b c ( дистрибутивность )

Определение

| a | =

Свойства | a + b | £ | a | + | b |, | | a | - | b | | £ | a — b |

5. Свойство Архимеда "a $nÎN: n > a. Следствие: "a>0 "b $nÎZ: na > b

6. Свойство непрерывности вещественных чисел или Принцип вложенных отрезков.

Вначале некоторые определения.

Отрезок или сегмент - [a,b]={x:a£x£b}, b-a - длина

Система вложенных отрезков. Система отрезков {[a_j,b_j]} называется системой вложенных отрезков, если " j: [a_j+1,b_j+1]Ì[a_j,b_j] .

Принцип вложенных отрезков. Для всякой системы вложенных отрезков существует хотя бы одно число, общее для всех отрезков. Множество элементов, удовлетворяющее свойствам 1 - 6 называется множеством вещественных чисел и обозначается  R. Числовая ось - изображение действительных чисел. Терминология “Точки”

Определение. Система отрезков стягивается к 0, если

"e>0 $N "n>N: b_n-a_n < e

Лемма Кантора. Для всякой системы вложенных стягивающихся к нулю отрезков [a_j,b_j]  существует единственное число, принадлежащее всем отрезкам данной системы.

Доказательство. Одно существует, например, x. Пусть есть другое, например, y и x < y. Тогда

a_n £ x < y £ b_n Þ y — x £ b_n - a_n.

Возмем e = y — x, $ N, "n > N: b_n - a_n < e, что противоречит предыдущему неравенству.

§2. Комплексные числа

1. Определение комплексного числа

Рассматривается множество упорядоченных пар z = (x, y). Обозначают x = Re z, y = Im z.

В этом множестве два объекта равны z₁ = z₂ Û { Re z₁ = Re z₂, Im z₁ = Im z₂ }.

Геометрическая интерпретация. z можно интерпретировать, как радиус вектор в точку (x,y).

В этом множестве определяются две операции:

Сложение z = (x,y), w = (u,v), z + w = (x + u,y + v).

 Умножение zw = ( xu — yv, xv + yu).

Это множество с такими операциями называется множеством комплексных чисел и обозначается C (комплексная плоскость).

2. Свойства комплексных чисел

Ниже перечисленные свойства проверяются исходя из определения операций сложения и умножения комплексных чисел.

1) z₁ +z₂ = z₁ + z₂

2) z₁ +( z₂ + z₃) = (z₁ + z₂) + z₃

3) = (0, 0), z +  = z

4) " zÎC $- z = (-x,-y): z+(-z) = q

Можно доказать

Теорема. - единственный, противоположный для "z также единственен.

5) z₁ z₂ = z₂ z₁

6) z₁ ( z₂  z₃) = (z₁ z₂) z₃

7) Для =(1,0) и "z: z = z

8) "z¹ $ z^-1: z z^-1 =

Существование обратного числа. z=(x,y), Будем искать число z^-1=(u,v), удовлетворяющее нужным свойствам xu-yv=1,yu+xv=0 (z z^-1 = ). Решая эту систему получим u=x/(x²+y²),v=-y/(x²+y²).

Частное двух комплексных чисел определяется по формуле w/z=wz^-1.

9) z₁(z₂+z₃) = z₁z₂+z₁z₃

3. Алгебраическая форма записи

Рассмотрим отображение c(x) из R в C: , где xÎR,. Множество комплексных чисел (x,0), обозначим . Отображение c(x) взаимно-однозначно, причем

1)      c(x+y) = c(x)+c(y)

2)      c(xy) = c(x)c(y)

3)      c(0) =

4)      c(1) =

Следствие: c(-x)=-c(x), c(x^-1)=c(x)^-1 или c(1/x)=1/c(x).

Эти свойства позволяют отождествлять числа с вещественными числами x. В дальнейшем волну будем опускать. Множество чисел (x,0) называется вещественной осью.

Мнимая единица. По определению полагают i=(0,1).

Отметим, что x+iy=(x,0)+(0,1)(y,0)=(x,y)=z , таким образом z=(x,y)=x+iy. Представление комплексного числа z=(x,y)=x+iy называется алгебраической формой записи комплексного числа. Множество чисел (0,y)=iy называется мнимой осью.

4.Модуль и аргумент комплексного числа. Комплексное сопряжение. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел.

Некоторые определения и свойства

z=(x,y),

Определение аргумента комплексного числа

Главным значением аргумента комплексного числа называется угол между положительным направлением вещественной оси и радиус вектором комплексного числа, лежащий в диапазоне (-p,p]. Главное значение аргумента обозначается arg z. Аргумент комплексного числа Arg z = arg z +2pk. Если комплексное число не лежит на мнимой оси, то arg z = arctg y/x для первой и четвертой четвертей, arg z = p+arctg y/x для второй четверти, arg z = -p+arctg y/x для третьей четверти.