Вопросы по матану [1 курс] / ВОПРОСЫ и ОТВЕТЫ к экзаменудля студентов 1 курса по математике.doc

ВОПРОСЫ

к экзамену по математике для студентов 1 курса ДО

2 семестр, 2007-2008 уч. год.

Составитель: к.ф.-м. н. Г.Ф.Ефимова

Неопределенный интеграл

1. Первообразная функция. Неопределенный интеграл. Геометрическая интерпретация неопределенного интеграла.

В математическом анализе первоо́бразной (первообра́зной) или примити́вной функцией данной функции f называют такую F, производная которой (на всей области определения) равна f, то есть F′ = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.

Для примера: F(x) = x³ / 3 является первообразной f(x) = x². Так как производная константы равна нулю, x² будет иметь бесконечное количество первообразных; таких как x³ / 3 + 45645 или x³ / 3 − 36 … и т. д.; таким образом семейство первообразных функции x² можно обозначить как F(x) = x³ / 3 + C, где C — любое число. Графики таких первообразных смещены вертикально друг относительно друга, и их положение зависит от значения C.

Первообразные важны тем, что позволяют вычислять интегралы. Если F — первообразная интегрируемой функции f, то:

Это соотношение называется формулой Ньютона — Лейбница.

Благодаря этой связи множество первообразных данной функции f называют неопределённым интегралом (общим интегралом) f и записывают в виде интеграла без указания пределов:

Если F — первообразная f, и функция f определена на каком-либо интервале, тогда каждая последующая первообразная G отличается от F на константу: всегда существует число C, такое что G(x) = F(x) + C для всех x. Число C называют постоянной интегрирования.

Каждая непрерывная функция f имеет первообразную F, которая представляется в виде интеграла от f с переменным верхним пределом:

Также существуют не непрерывные (разрывные) функции, которые имеют первообразную. Например, с f(0) = 0 не непрерывна при x = 0, но имеет первообразную с F(0) = 0.

Некоторые первообразные, даже несмотря на то, что они существуют, не могут быть выражены через элементарные функции (такие как многочлены, экспоненциальные функции, логарифмы, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции и их комбинации). Например:

Первообразная функция.

   Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией  функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:

F¢(x) = f(x).

  Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.

F₁(x) = F₂(x) + C.

Неопределенный интеграл.

   Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:

F(x) + C.

Записывают:

  [an error occurred while processing this directive]

  Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

  Свойства:

1.

2.

3.

4.  где u, v, w — некоторые функции от х.

6.     

Интегральное исчисление решает обратную задачу по отношению к дифференциальному исчислению: по данному дифференциалу, а следовательно, и производной неизвестной функции F(x), требуется определить эту функцию.

Пусть известна функция f(x) и нужно по данной функции определить F(x) таким образом, чтобы

dF(x) = f(x)dx

или соответственно . (1.1)

Для простоты будем предполагать, что равенство (1.1) выполнено на некотором промежутке (конечном или бесконечном).

Определение 1.1.  Пусть функция f определена на некотором промежутке, т.е. на отрезке, интервале или полуинтервале числовой оси. Функция F, определенная на этом же промежутке называется первообразной функции f , если выполнено (1.1) для каждого х из указанного промежутка.

 

Очевидно, что если F является первообразной для f на <a,b>, то функция F+ C (C-Const ), также является первообразной для f на <a,b>.

Действительно,

[F(x) + C]' = F'(x) = f(x), х Î<a,b>. (1.2)

Теорема 1.1. Две различные первообразные одной и той же функции, определенной на некотором промежутке <a,b>, отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.

Д о к а з а т е л ь с т в о:

Пусть F и Ф - две первообразные для f на некотором промежутке <a,b>, т.е. F'(x) = f(x) и Ф'(x) = f(x), но тогда

[F(x) - Ф(х)]' = 0, х Î<a,b> и, следовательно,

F(x) = Ф(х) + С тогда они отличаются на некоторую константу.

Геометрическая интерпретация.

у = F(x)+C

tga = F'₁(x) = F'₂(x) = f(x),

F₁(x) - F₂(x) = C.

С л е д с т в и е. Прибавляя к какой - либо первообразной F(x) для данной функции, определенной на <a,b>, всевозможные постоянные С получим все первообразные для f(x).

Рис. 1.1

2. Основные свойства неопределенного интеграла.

   Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:

F(x) + C.

Записывают:

  [an error occurred while processing this directive]

  Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

  Свойства:

1.

2.

3.

4.  где u, v, w — некоторые функции от х.

6.     

3. Таблица простейших неопределенных интегралов. Теорема Коши (без док-ва).

Простейшие приемы интегрирования

Операция нахождения неопределенного интеграла есть обратная операция по отношению к операции дифференцирования. Поэтому нетрудно получить таблицу простейших интегралов. Обращая формулы дифференцирования, получим

1.	,	,(m¹-1);
2.	,	,(x¹0);
3.	,	;
4.	,	,(a>0,a¹1);
5.	,	;
6.	,	;
7.	,	;
8.	,	;
9.	,
10.	,
11.	,
12.
13.		;
13/.		;
14.
15.
16.		.

Теорема Коши.

( Коши (1789-1857)- французский математик)

  Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы на интервале (a, b) и g¢(x) ¹ 0 на интервале (a, b), то существует по крайней мере одна точка e, a < e < b, такая, что

.

  Т.е. отношение приращений функций на данном отрезке равно отношению производных в точке e.

[an error occurred while processing this directive]

 Для доказательства этой теоремы на первый взгляд очень удобно воспользоваться теоремой Лагранжа. Записать формулу конечных разностей для каждой функции, а затем разделить их друг на друга. Однако, это представление ошибочно, т.к. точка e для каждой из функции в общем случае различна. Конечно, в некоторых частных случаях эта точка интервала может оказаться одинаковой для обеих функций, но это- очень редкое совпадение, а не правило, поэтому не может быть использовано для доказательства теоремы.

  Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

,

которая на интервале [a, b] удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Легко видеть, что при х = а и х = b F(a) = F(b) = 0. Тогда по теореме Ролля существует такая точка e,

a < e < b, такая, что F¢(e) = 0. Т.к.

, то

  А т.к. , то

  Следует отметить, что рассмотренная выше теорема Лагранжа является частным случаем (при g(x) = x) теоремы Коши. Доказанная нами теорема Коши очень широко используется для раскрытия так называемых неопределенностей. Применение полученных результатов позволяет существенно упростить процесс вычисления пределов функций, что будет подробно рассмотрено ниже.

4. Независимость вида неопределенного интеграла от выбора аргумента. Примеры.

Пусть х - независимая переменная, а f(х) - непрерывная функция на данном промежутке, F(x) - ее первообразная, то есть F^/(x)=f(x). Имеем

. (2.1)

Положим теперь u = j(x), где опять предположим, что j^/(х) - непрерывна, то есть j(х) - непрерывно-дифференцируемая функция.

Рассмотрим

. (2.2)

В таком случае сложная функция

F(u)=F(j(x)) является первообразной для подинтегральной функции интеграла (2.2)

dF(u) = F^/(u)du = f(u)du (2.3)

и, следовательно,

. (2.4)

Поэтому

,

гдеF^/(u)=f(u).

Таким образом, из справедливости (2.1) следует (2.4). На основании этого получаем обобщенную таблицу простейших интегралов.

 (m¹-1)

 и т.д., где u - любая непрерывная дифференцируемая функция.

И тогда мы можем значительно расширить таблицу простейших интегралов.

Пример: Пусть

.

а) заменим х на Sinx, получим

, то есть

.

б) заменим х на lnх

или

.

Теперь понятно, почему важно уметь проводить f(x)dx=g(u)du, где u есть некоторая функция от х и g - функция, более простая для интегрирования, чем f.

Отметим несколько преобразований, полезных в дальнейшем:

1. dx = d(x + b) , b = const

2. , a- const ¹ 0

3. , a,b — const ¹ 0

4.

5.

6.

7. j^/(x)dx = dj(x) (*)

Пример.

1. .

2. .

5. Основные методы интегрирования: метод разложения, метод подстановки (введение новой переменной), интегрирование по частям.

Понятие об основных методах интегрирования

а). Метод разложения.

Пусть f(x) = f₁(x) + f₂(x). Тогда на основании свойства 4

.

f₁, f₂ стараемся подобрать так, чтобы интегралы брались непосредственно.

Пример:

1. ?

Воспользуемся .

.

2. =

=.

б). Метод подстановки (введение новой переменной)

Так как неопределенный интеграл не зависит от выбора аргумента и, учитывая, что

dx = j^/(t)dt,

получаем формулу замены переменной в неопределенном интеграле

. (2.5)

То есть интеграл, стоящий в правой части, может оказаться проще интеграла в левой части.

Пример.

1. .

2. .

3. .

в) Метод интегрирования по частям

Пусть u и v - непрерывно дифференцируемые функции от х.

d(u×v) = udv + vdu.

Отсюда

udv=d(u×v)-vdu.

Интегрируя обе части этого уравнения, получим

 

или

. (2.6)

Эта формула называется формулой интегрирования по частям.

Пример.

1..

2. .

6. Интегрирование рациональных дробей. Примеры.

Нужно вычислить интеграл вида

, где

Р(х) - целый многочлен; а,b,c - const, a ¹ 0.

Разделив Р(х) на знаменатель, получаем

.

Теперь все сводится к вычислению

. (2.7)

Примеры.

Выведем два основных интеграла

I. (a¹0)

II. (a¹0).

Тогда имеем

(а¹0).

III. .

Результаты записать в таблицу основных интегралов.

Основной прием вычисления интегралов (2.7) состоит в следующем :

квадратный трехчлен а×х² + b×x + c дополняют до полного квадрата, если он не является таковым.

Если m = 0, то (2.7) сводится либо к I, либо к II.

Если m ¹ 0, то (2.7) сводится к I и III, либо к II и III.

Рассмотрим это на примерах:

1. .

2.

.

а). Понятие о методе неопределенных коэффициентов

Если квадратный трехчлен имеет действительные различные корни х₁, х₂, то для вычисления (2.7) можно воспользоваться разложением подынтегральной функции на простейшие дроби:

 º .

Для определения коэффициентов А и В приведем правую часть тождества к общему знаменателю и, приравнивая числители, получим, что коэффициенты при одинаковых степенях х должны быть равны.

m×x + n = A×(x - x₂) + B×(x - x₁)

тогда, отсюда следует

.

Пример.

?

.

7. Интегрирование простейших иррациональностей.

1. Если подынтегральная функция содержит лишь линейную иррациональность

 (а ¹ 0),

то полезна подстановка

. (*)

2. Интеграл от простейшей квадратной иррациональности

вычисляется с помощью дополнения квадратного трехчлена до полного квадрата и сводится к одному из двух интегралов типа

,

которые вычисляются подстановкой Эйлера:

I. (a¹0)

, где t- новая переменная.

То есть

х² + a = t² - 2×t×x + x² или a = t² - 2×t×x.

Возьмем дифференциал от обеих частей, получим

da = 0 = 2tdt - 2xdt - 2tdx или

tdx = (t - x)dt, тогда

, то есть .

Таким образом,

.

.(a¹0). (2.9)

II. . (2.10)

З а м е ч а н и е. Необходимо (2.9) и (2.10) дописать в таблицу интегралов.

8. Интегрирование тригонометрических функций.

1. Универсальная замена

Рассмотрим интеграл вида

. (2.11)

 Подстановка  сводит интеграл (3.1) к интегралу от рациональной дроби.

,

,

то есть х = 2×arctgu, ,

поэтому

. (2.11^\)

Пример.

.

З а м е ч а н и я.

1. С принципиальной точки зрения интегралы вида (3.1) всегда можно привести к интегралам от рациональной дроби указанным способом, но практическое применение иногда приводит к громоздким вычислениям.

2. Иногда гораздо полезнее делать замены вида