лекция 8_для студентов

,

. (3.2.10)

Подставив (3.2.10) в (3.2.9), получим

. (3.2.11)

Складывая (3.2.6) с (3.2.11), получим выражение для изменения суммарной энергии единицы объема со временем в фиксированной точке пространства

. (3.2.12)

Это соотношение можно переписать в виде

. (3.2.13)

Таким образом, получено математическое выражение закона сохранения энергии для идеальной жидкости с учетом работы массовых сил (), внешнего притока тепла () и изменения содержания термодинамически активной примеси ().

Для выяснения физического смысла полученного равенства рассмотрим простейший случай горизонтального движения при отсутствии внешнего притока тепла и изменения содержания термодинамически активной примеси. Тогда последними тремя членами правой части можно пренебречь. Проинтегрируем (3.2.13) по произвольному объему и интеграл, стоящий справа, преобразуем в интеграл по поверхностям

. (3.2.14)

Слева стоит изменение в единицу времени энергии жидкости в некотором заданном объеме пространства, справа - количество энергии, вытекающее в единицу времени из рассматриваемого объема. Тогда

(3.2.15)

представляет собой вектор плотности потока энергии. Его абсолютная величина есть количество энергии, протекающей в единицу времени через единицу поверхности, расположенную перпендикулярно направлению скорости. Выражение (3.2.15) показывает, что каждая единица массы жидкости как бы переносит при своем движении энергию

. Подставив перепишем полный поток энергии через замкнутую поверхность в виде

(3.2.16)

Первый член есть сумма кинетической и внутренней энергии, переносимая за единицу времени через поверхность рассматриваемого объема, второй член представляет собой работу, производимую силами давления над жидкостью, заключенной внутри объема.

Переходим к рассмотрению вязкой жидкости. В вязкой жидкости также выполняется закон сохранения энергии, согласно которому изменение суммарной энергии жидкости (кинетическая + тепловая) в некотором объеме за единицу времени равно полному потоку энергии через границы этого объема. Однако в случае вязкой жидкости помимо потока

связанного с переносом массы жидкости при ее движении, имеется еще

поток, связанный с процессами внутреннего трения, который выражается вектором с компонентами , где - тензор вязких напряжений.

Наряду с этим дополнительным потоком энергии будет происходить также перенос тепла, обусловленный процессом теплопроводности, а если температура жидкости не постоянна внутри объема. За счет теплопроводности осуществляется молекулярный перенос энергии из мест с более высокой в места с более низкой температурой. Подчеркнем, что молекулярный перенос энергии не связан с макроскопическим движением и происходит также в неподвижной жидкости. Если через обозначить плотность потока тепла, переносимого посредством теплопроводности и учесть, что в явлениях теплопроводности, как правило, наблюдаются не слишком большие пространственные градиенты температуры в жидкости, то температурную неоднородность с достаточной степенью точности можно охарактеризовать первыми производными. Тогда получим

, (3.2.17)

где - коэффициент теплопроводности, который, вообще говоря, является функцией температуры и давления. Векторы и имеют противоположные направления. Тогда плотность потока энергии при наличии вязкости и теплопроводности равна

. (3.2.18)

Закон сохранения энергии в этом случае выражается уравнением

. (3.2.19)

Левая часть (3.2.19) с учетом уравнений неразрывности (2.1.9) и Навье - Стокса (2.5.27) преобразуется к виду

. (3.2.20)

Далее, воспользовавшись термодинамическими соотношениями (как в случае идеальной жидкости), получим

. (3.2. 21)

Сравнив (3.2.21) с (3.2.19) получим общее уравнение переноса тепла для вязкой жидкости

. (3.2.22)

Из (3.2.22) следует , что изменение энтропии в движущемся объеме обусловлено диссипацией, теплопроводностью и внешними притоками тепла. Покажем , что в результате необратимых процессов теплопроводности и внутреннего трения энтропия жидкости только вырастает. Действительно, с помощью уравнения неразрывности (2.3.6), общего уравнения переноса тепла (3.2.22) и выражения для вязких напряжений (2.5.17) получим

. (3.2.23)

Проинтегрировав полученное выражение по неограниченному объему жидкости и устремив граничную поверхность на бесконечность, где жидкость покоится и , получим

. (3.2.24)

Первый член описывает увеличение энтропии за счет теплопроводности, второй и третий - за счет внутреннего трения, что доказывает факт возрастания энтропии.

Уравнение (3.2.22) с учетом выражения для вязких напряжений (2.5.17) переписывается в виде

. (3.2.25)

Если воспользоваться введенным понятием о термодинамических процессах и определить их как изменения со временем каких - либо термодинамических характеристик жидких частиц, вызываемые процессами теплопроводности и внутреннего трения, лучистым теплообменом, фазовыми превращениями веществ, то уравнение для скоростей изменения энтропии и концентрации термодинамически активной примеси можно записать

, . (3.2.26)

Здесь - скорость притока тепла, деленная на температуру, а - скорость притока примеси к единице массы жидкости.

Процессы, при которых (энтропия оказывается лагранжевым инвариантом) называется изэнтропическими. Если к тому же и (концентрация примеси также лагранжев инвариант), то процессы называются адиабатическими.

Из (3.1.12) видно, что при адиабатических процессах

. (3.2.27)

Запишем уравнение переноса тепла (3.2.25), выразив энтропию через независимые термодинамические переменные. Так как то

. (3.2.28)

Так как , , ,

то из (3.2.28) следует, что

, (3.2.29)

где - полный приток тепла к единице массы жидкости за счет внутренних и внешних источников.

Это уравнение есть уравнение переноса тепла, которое в геофизической гидродинамике называется уравнением притока тепла.

Для совершенного газа уравнение (3.2.29) переписывается в виде

. (3.2.30)

Таким образом, получены уравнения переноса тепла для идеальной и вязкой жидкости.