№ 418950 Решение
.docx2.
Решение
- Запишем комплексное число в тригонометрической форме.
Найдем его модуль и аргумент.
- комплексное число в тригонометрической форме.
- Найдём .
Воспользуемся формулой Муавра:
В нашем случае =
=32
-Найдём .
Воспользуемся формулой ,
где в нашем случае
Тогда, ,
или ,
При имеем .
При имеем =
=.
При имеем =
=.
При имеем =
=.
Решение
-Отделим корни. Для решения задачи построим график функции
.
Из рисунка видно, что один из корней уравнения принадлежит отрезку второй – отрезку .
-Используем для нахождения корней метод половинного деления (метод дихотомии).
Считаем, что отделение корней произведено и на интервале [a,b] расположен один корень, который необходимо уточнить с погрешностью ε.
Итак, имеем f(a)f(b)<0. Метод дихотомии заключается в следующем.
Определяем половину отрезка c=1/2(a+b) и вычисляем f(c). Проверяем следующие условия:
1. Если |f(c)| < ε, то c – корень. Здесь ε - заданная точность. 2. Если f(c)f(a)<0, то корень лежит в интервале [a,c]. 3. Если f(c)f(b)<0, то корень лежит на отрезке[c,b].
Продолжая процесс половинного деления в выбранных подынтервалов, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень ξ.
Так как за каждую итерацию интервал, где расположен корень уменьшается в два раза, то через n итераций интервал будет равен:
bn-an=1/2n(b-a)
В качестве корня ξ. возьмем 1/2(an+bn). Тогда погрешность определения корня будет равна (bn – an)/2. Если выполняется условие:(bn – an)/2 < ε то процесс поиска заканчивается и ξ = 1/2(an+bn).
Рассмотрим интервал , погрешность примем равную ε=0,1.
Количество итераций (шагов) примем 3, согласно условию, поэтому погрешность примем равную ε=0,1.
Найдём первый корень.
Поскольку F(-2)*F(-1)<0 (т.е. значения функции на его концах имеют противоположные знаки), то корень лежит в пределах [-2;-1]. Итерация 1. Находим середину отрезка: c = (-2 -1)/2 = -1.5 F(x) = 0.25 F(c) = 3 Поскольку F(c)•F(b) < 0, то a=-1.5 Итерация 2. Находим середину отрезка: c = (-1.5 -1)/2 = -1.25 F(x) = -0.938 F(c) = 0.25 Поскольку F(c)•F(a) < 0, то b=-1.25 Итерация 3. Находим середину отрезка: c = (-1.5 -1.25)/2 = -1.375 F(x) = -0.359 F(c) = -0.938 Поскольку F(c)•F(a) < 0, то b=-1.375.
Расчеты сведем в таблицу.
N |
c |
a |
b |
f(c) |
f(x) |
ε |
1 |
-1.5 |
-1.5 |
-1 |
3 |
0.25 |
0.5 |
2 |
-1.25 |
-1.25 |
-1 |
0.25 |
-0.9375 |
0.25 |
3 |
-1.375 |
-1.375 |
-1.25 |
-0.9375 |
-0.3594 |
0.125 |
Таким образом, в качестве корня можно принять:
x1=(-1.5-1.375)/2 = -1.4375
Рассмотрим интервал , погрешность примем равную ε=0,1.
Найдём второй корень.
Поскольку F(3)*F(4)<0 (т.е. значения функции на его концах имеют противоположные знаки), то корень лежит в пределах [3;4].
Итерация 1. Находим середину отрезка: c = (3 + 4)/2 = 3.5 F(x) = 0.25 F(c) = -2 Поскольку F(c)•F(a) < 0, то b=3.5 Итерация 2. Находим середину отрезка: c = (3 + 3.5)/2 = 3.25 F(x) = -0.938 F(c) = 0.25 Поскольку F(c)•F(b) < 0, то a=3.25 Итерация 3. Находим середину отрезка: c = (3.25 + 3.5)/2 = 3.375 F(x) = -0.359 F(c) = -0.938 Поскольку F(c)•F(b) < 0, то a=3.375.
Расчеты сведем в таблицу.
N |
c |
a |
b |
f(c) |
f(x) |
ε |
1 |
3.5 |
3.5 |
4 |
-2 |
0.25 |
0.5 |
2 |
3.25 |
3.25 |
3.5 |
0.25 |
-0.9375 |
0.25 |
3 |
3.375 |
3.375 |
3.5 |
-0.9375 |
-0.3594 |
0.125 |
Таким образом, в качестве корня можно принять:
x2=(3.375+3.5)/2 = 3.4375
Ответ: x1= -1,4375; x2= 3,4375