Формулы
.docxи
; ;
и .
Проведем универсальную тригонометрическую подстановку: ,
1. Ряды. Пусть a1,a2,a3…an – числовая последовательность. Определение: Выражение вида a1+a2+…+an или a1,a2,a3…an – члены ряда an – n-й член ряба (общий член ряда) Сумма n первых членов ряда называется n-ной частичной суммой и обозначается Sn, Sn= Определение: Числовой ряд сходится, если сходится последовательность его частичных сумм, т.е. сущ-ет конечный предел при x∞ Sn=S. Тогда S- сумма ряды Если посл-ть Sn не имеет конечного предела, то числовой ряд расходится.
2. Необходимое условие сходимости. Теорема: Если ряд сходится, то lim его общего члена равен 0. Док-во: Пусть S=limSn Sn=Sn-1+an, поэтому liman=lim(Sn-Sn-1) или =limSn-limSn-1=S-S=0 Следствие: ( достаточное условие расходимости): Если liman≠0 то - расходится Док-во: (от противного): Пусть - сходится, тогда по теореме liman=0 – противоречие.
3.
Признак сравнения. Теорема:
(признак сравнения) Если сущ-ет номер
n0,такой,
что для любого n>=n0
0<=an<=bn(1),
то 1. из сходимости
=>сходимость
2. из расходимости
=>
расходимость
Док-во:
Пусть n0=1,
тогда 1. Sn=
- n-ная
частичная сумма ряда an.
/S\n=
- n-ная
частичная сумма ряда bn.
Из (1) => Sn<=/S\n
для любого n
т.к. bn-
сходится, то {/S\n}
– сходится => посл-ть ограниченна =>
ограниченна {Sn}
и значит что пос-ть сходится, значит
-
сходится. 2. Пусть
-
расходится => {Sn}
– неограниченна => {/S\n}-
неогр. =>
- расх. Пусть n0>1
тогда д.р.
и
- т.к. отбрасывание конечного числа
элементов ряда не влияет на сходимость
. Предельный признак сравнения: Теорема:
Если an>0,
bn>0,
для любого n>n0
и сущ-ет конечный предел an/bn
≠0, то ряды
и
- сходятся или расходятся одновременно.
Док-во: Пусть liman/bn=L
для любого ε>0
сущ-ет nε
т.ч. для
любого n>nε
|an/bn-L|<ε;
L-ε<an/bn<L+ε.
Bn>0
=> (L-ε)bn<an<(L+ε)bn
если
- сходится, то
(L+ε)
– сходится, и из === по признаку сравнения
следует, что
- сходится, если
- расходится, то (L-ε)
- расх, то из -------- следует
- расходится.
4.
Признак Даламбера.
Теорема:
Пусть an>0
для любого n,
если lim(an+1/an)=L,
то
-
сходится, если L<1,
расходится если L>1.
0<(an+1/an)<1,
lim(an+1/an)=L<1;
L<θ<1
т.к. сходимость или расходимость ряда
не нарушается в результате изменения
или удаления конечного числа его членов
будем считать: 0<(an+1/an)<1
для любого n;
тогда 0<a2/a1<θ;
a2<θ;
0< a2/a1<θ
……
θ – сходится (геометрическая прогрессия
с q=0)
=> по теореме сравнения сходится ряд
.
Lim(an+1/an)=L>1,
an+1/an>1
почти для всех n
=> начиная с некоторого номера члены
ряда возрастают т.е. не выполняется
условие liman=0
т.е. ряд расх.
5. Радикальный признак Коши. Пусть an>=0 для любого n и сущ. Предел =L. Тогда, если L>1, то ряд сходится… Если L<1, то ряд расходится.