[Щур, Фейгельман] Метод трансфер-матрицы для модели Изинга (2011)

1.6.4Вычисление статистической суммы

Мы убедились в разделе 1.6.1 при вычислении статистической суммы, что добавление очередного узла цепочки эквивалентно суммированию по спинам предыдущего узла. Запишем статистическую сумму одномерной цепочки из N узлов на кольце (то есть, правым соседом узла i = N

является узел i = 1) через элементы матрицы V (µi, µi+1) = exp (Kµiµi+1 + h(µi + µi+1

µ

где сумма понимается, как указано в (6). Тогда проверяется, что суммирование по значениям спинов µ2, µ3, . . . , µN сводится к умножению матриц V при добавлении спинов 2, 3, . . . , N, а суммирование по значениям спина

µ1 эквивалентно операции взятия следа. В силу этого, статсумму (38) можно записать в виде

Подставим в последнее выражение матрицу V в виде (37) и получим

решение задачи вычисления статистической суммы одномерной модели Изинга в виде

1.6.5Корреляционная функция

Вероятность для цепочки из N спинов на окружности находиться в некотором состоянии (µ1, µ2, . . . , µN ) равна

Аналогично, среднее значение произведения двух спинов µ1µ3, расположенных в узлах 1 и 3, равно

11

(43) Величина µ1µ3 называется коррелятором спинов, расположенных в узлах

В предыдущем разделе мы вычисляли след произведения матриц V заменой V на ее представление в диагональной форме. Можно сформулировать

по аналогии и проверить прямым вычислением, что след от произведения матриц V не изменится при замене V íà

()

Аналогично проверяется вычислением, что средняя намагниченность (42) и коррелятор (46) не изменятся при одновременной замене трансфер матрицы V согласно (47) и матрицы спинов S по формуле

Говорят, что след произведения матриц инвариантен относительно одновременного преобразования матриц с помощью (47) и (48).

1.6.6Намагниченность

Вычислим среднее значение спина i = 1. В случае цепочки на кольце

(или бесконечной цепочки) среднее значение спина инвариантно относительно номера спина (трансляционная инвариантность). В этом можно убедиться

12

и прямым расчетом, вычислив также, например, среднее значение спина номер i = j.

Среднее значение спина µ1 кратко записать в виде

(53)

что, после перемножения матриц и взятия следа, дает в точности выражение (51).

1.6.7Вычисление коррелятора двух спинов

Коррелятор двух спинов µi è µj инвариантен относительно одновременного сдвига положений обоих спинов на одинаковое расстояние и зависит только от расстояния между ними |j − i| в случае цепочки бесконечной

длины. Коррелятор запишем в виде

Его прямое вычисление дает после подстановки вместо V и S выражений (47) и (48) (здесь введено обозначение k=|j−i|)

13

1.6.8Намагниченность и корреляционная длина бесконечной цепочки

I Замечание. Намагниченность можно вычислить также из свободной энергии (11). Свободная энергия цепочки из N спинов в пересчете на один спин будет иметь вид

и в пределе бесконечной цепочки запишется просто, как

откуда по определению M = −∂f/∂H получим то же выражение для намагниченности, что и в (56).

Теперь мы можем вычислить корреляционную функцию Gij

Из этого соотношения видно, что Gij убывает экспоненциально к нулю для сильно разведенных спинов (|j − i| >> 1),

где величина

есть характерная длина убывания корреляционной функции (корреляционная длина), измеренная в единицах расстояния между соседними спинами.

14

1.6.9Критическое поведение

Условие λ2/λ1<1 может быть нарушено в нулевом магнитном поле h = 0 при температуре, стремящейся к нулю. При h = 0 собственные значения равны

и их отношение стремится к единице при температуре T → 0 (K → ∞). При этом корреляционная длина ξ стремится к бесконечности.

Введем переменную t, характеризующую расстояние до критической температуры T = 0, при которой корреляционная длина обращается в бесконечность,

Запишем выражение для намагниченности M в явном виде

Учитывая, что в нулевом магнитном поле h = 0 собственные значения

задаются выражениями (63), получим для корреляционной длины при t << 1

15

Рис. 1: Начальный этап построения полоски сопротивлений.

L−2 L−1 L

2 Сопротивление полубесконечной полоски

Метод трансфер матрицы можно сформулировать для вычисления сопротивления сетки из произвольно заданных сопротивлений. Такой метод, похожий на метод трансфер-матрицы, но основанный на нелинейных матричных рекурсионных соотношениях, был предложен Дерридой и Ваннименусом [6] в 1982 году. Их подход имеет несомненный интерес для исследования случайных сетей, поскольку

•он позволяет вычислить точно проводимость заданной решетки сопротивлений,

•не требует большой памяти,

•он не использует специфических свойств системы, но они в ряде случаев могут быть использованы для ускорения вычислений.

2.1Построение трансфер-матрицы

Рассмотрим полоску из проводящих узлов и соединений, рисунок 1. Ширина (высота) полоски по вертикали задается числом N соединений по вертикали.

Длина полоски задается числом L соединений по горизонтали. Каждое

вертикальное соединение имеет сопротивление vi и горизонтальное - hi. Величина сопротивлений произвольна. Верхние узлы соединены друг с другом проводником с нулевым сопротивлением (жирная линия на Рис. 1). Нижние узлы соединены между собой аналогичным образом.

Задача состоит в вычислении удельного сопротивления (полное сопротивление,

16

Рис. 2: Добавление (L + 1)-го столбца горизонтальных сопротивлений к полоске.

4

деленное на число горизонтальных соединений L) между верхним и нижним

проводником.

Составим электрическую схему, как показано на рисунке 1. Нижний проводник подключим к земле, а на каждую из горизонтальных линий j

(j = 1, 2, . . . , N) подадим напряжение Uj. Тогда от земли к горизонтальной линии j потечет ток Jj. Напряжения и токи связаны матрицей AL

Далее процесс состоит из увеличения длины полоски L на единицу и

построения преобразования матрицы AL в матрицу AL+1. Сделаем это

в два этапа. Добавим вначале только горизонтальные сопротивления, как показано на рис. 2. Изменим напряжения Uj′, подаваемые на горизонтальные

линии, таким образом, чтобы токи остались теми же, что и до добавления горизонтальных сопротивлений, Jj. Тогда мы можем записать, что

17

причем h1 = 0 по построению полоски (смотри также рисунки 1 и 2). С помощью матрицы H уравнение (70) можно переписать в матричном виде

или, в сокращенной записи,

С использованием уравнения (69) последнее уравнение можно записать в таком виде

которое можно преобразовать, перенеся члены с U влево

(здесь E - единичная матрица, Eij = δij) из которого получаем выражение для напряжений U через напряжения U'

Следующий этап состоит в добавлении вертикальных сопротивлений vi так, как показано на рисунке 3. Напряжения на узлах i столбца (L+1) оставляем теми же, что и на предыдущем этапе Ui′. При этом входящие

18

которое подстановкой в правую часть токов Ii согласно уравнения (79) преобразуется к виду

Эта формула верна для любых i: äëÿ i = N мы имеем UN+1 = 0 (земля!), а для i = 1 она будет верна, если положить 1/v0 = 0.

Уравнение (81) запишем в матричной форме

19

Подставив J = BL+1U′ (уравнение (77)) в уравнение (82), получим

С другой стороны, по определению матрицы AL (уравнение (69)) имеем, ÷òî

Из сравнения двух последних уравнений и определения матрицы BL+1 (уравнение (78)), получим

то есть рекурсионное соотношение на матрицу AL. Эта матрица симметрична, поскольку симметричны матрица горизонтальных сопротивлений H и матрица вертикальных проводимостей V.

Вопрос 3. Каково число существенных элементов матрицы AL?

Элемент A(1, 1) матрицы AL задает проводимость полоски в вертикальном направлении. Чтобы исключить влияние длины полоски, будем вычислять проводимость на единицу длины, то есть

Матрицы H и V случайны, поэтому пока не удалось найти аналитический

метод нахождения проводимости. Эта задача решается численно. На каждом шаге задаются матрицы H и V и по ним строится рекуррентно

матрица AL+1.

Вопрос 4. В каких случаях существует матрица, обратная к AL?

20