ОиАС-4
.pdf
Пример 2.2.3. Определить оптимальное управление и оптимальную траекторию в следующей задаче оптимального управления:
10
x u, u 1, x 0 4, x 10 0, J x2 dt min
0
Решение. Гамильтониан, сопряженное уравнение и условие стационарности гамильтониана имеют вид
H u x2 ; H 2x; H 0x u
В соответствии с принципом максимума u* = signψ. Если на каком-либо отрезке времени интервала [0,10] функция ψ(t) обращается в нуль, то управление будет вырожденным. Допустим, что такой отрезок существует. Для такого отрезка справедливы соотношения
H |
0; |
d H |
2x 0; |
d 2 H |
2x 2u 0 |
|||
|
|
|
|
|
||||
u |
dt u |
dt 2 u |
||||||
|
|
|
||||||
откуда для вырожденного управления получаем u* = 0.
21
Таким образом, оптимальное управление может принимать только граничные значения: –1 или 1, когда ψ ≠ 0, и нуль, когда ψ = 0. Одним из управлений, удовлетворяющих этому условию, является управление
1, 0 t ts , |
|
u |
0, ts t 10 |
|
|
Проинтегрировав уравнение объекта при этом управлении с учетом граничных условий, получим
4 t, 0 t ts , |
||
x |
0, |
ts t 10 |
|
||
Из условия непрерывности траектории следует x(ts) = 4 – ts = 0, откуда ts = 4. Таким образом, решением рассматриваемой задачи является
1, 0 t 4, |
4 t, 0 t 4, |
|||
u* |
0, 4 t 10 |
x* |
|
4 t 10 |
|
|
0, |
||
То, что среди различных вариантов сразу удалось «угадать» оптимальное управление, объясняется тем, что при его выборе неявно использовалась физическая сущность задачи (граничные условия).
22
Особые задачи
23
В гамильтониане
n
H i i
i 0
сопряженную координату ψ0 обычно выбирают равной ψ0 = –1. Однако встречаются задачи, в которых оптимальным управлению и траектории соответствует ψ0 = 0. Такие задачи называются особыми.
Примером особых задач могут быть некорректно сформулированные задачи оптимального управления, например, такие, у которых решения не зависят от критерия оптимальности или имеется только одно возможное допустимое управление. Для последних задач не существует возможности выбора наилучшего решения, и сама постановка задачи оптимального управления становится бессодержательной.
Пример 2.2.4. Найти решение следующей задачи оптимального управления:
|
|
|
|
|
x 0 0, |
x 1 1, |
1 |
|
|
x u, |
|
u |
|
1, |
J |
1 u2 dt min |
|||
|
|
||||||||
0
Решение. Гамильтониан и сопряженное уравнение имеют вид
|
|
|
|
|
|
H |
|
H |
|
1 u2 u, |
|
|
0 |
||
|
0 |
1 |
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||
Из последнего уравнения находим ψ1 = С.
В соответствии с принципом максимума если u*(t) – оптимальное управление и x*(t) – оптимальная траектория, то
H x* ,u* , * H x* ,u, *
причем ψ0 = const ≤ 0.
Возможное допустимое управление – это кусочно непрерывная функция, удовлетворяющая ограничению |u| ≤ 1 и переводящая изображающую точку из начального положения х(0) =0 в конечное положение х(1) = 1 за время t1 = 1. Такое управление единственно, и оно равно u(t) = 1. Так как других допустимых управлений нет, то оно и должно быть решением задачи: u*(t) = 1.
24
При этом H(x*, u*, ψ*) = ψ1 = С, и по принципу максимума должно выполнятся
неравенство
C 0 
1 u2 Cu
при допустимом управлении, т.е. при |u(t)| ≤ 1.
При ψ0 = 0 это неравенство выполняется. Однако при ψ0 = –1 нельзя подобрать такое С, при котором данное неравенство выполняется. Следовательно, в данной задаче оптимальному решению соответствует
0* 0
25