ОиАС-7
.pdfРешая полученную систему из шести дифференциальных уравнений с помощью метода Рунге – Кутта, получим:
p0 |
53,4 109 ; p0 |
147 106 ; |
p0 |
12,6 108 ; |
|
|||
11 |
|
|
12 |
|
13 |
|
(4.1.34) |
|
p0 |
92 104 ; |
p0 |
44 105 ; p0 |
|
116 106 |
|||
|
||||||||
22 |
|
23 |
|
33 |
|
|
|
|
Искомые параметры регулятора вычисляются на основе чисел (4.1.34):
c = – 0,126 107; с |
2 |
= 0,44 104; c |
3 |
= –116 103. |
(4.1.35) |
1 |
|
|
|
11
Аналитическое конструирование по
критерию обобщенной работы
12
В 1967 г. Александр Аркадьевич Красовский предложил упрощение процедуры АКОР с вычислительной стороны. Для этого в функционал (4.1.3)
J x Qx u u dt
0
вводится дополнительное слагаемое, с учетом которого функционал оптимизации принимает (в развернутой форме) вид
|
|
|
|
n |
|
|
|
xi xj |
J qij |
||
0 |
ij 1 |
|
|
|
|
m
uk2
k 1
|
1 |
|
m n |
v |
|
|
|
||||
4 |
xi |
||||
|
k 1 i 1 |
||||
2
bik dt (4.1.36)
где квадратичная форма v=x'Px содержит положительно-определенную матрицу Р, являющуюся решением матричного алгебраического уравнения
PA+A'P+Q = 0. |
(4.1.37) |
Оптимальное управление определяется по-прежнему на основе формулы (4.1.13). Для того чтобы убедиться в этом, положим вначале n=m=1. Функционал (4.1.36)
примет вид |
2 |
|
2 |
|
1 |
|
v |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
qx |
u |
|
|
|
|
|
x |
b |
|
dt |
(4.1.38) |
|
|
|
|
|||||||||
0 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||
Подставляя в уравнение (4.1.6)
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
v |
ax |
1 |
|
v |
2 |
qx |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
t |
x |
|
|
|
x |
b |
|
||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||||||||||
вместо qx2 выражение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
v |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
qx |
|
|
|
|
x |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
получим вместо нелинейного алгебраического уравнения
|
2pa – p2b2 + q = 0 |
(4.1.9) |
|
линейное уравнение |
|
|
|
|
2pa + q = 0 |
(4.1.39) |
|
для определения коэффициента р квадратичной формы v = px2.
13
Таким образом, аналитическое конструирование по критерию обобщенной работы состоит в решении линейного алгебраического уравнения (4.1.37) и вычисления искомой матрицы С по формуле (4.1.13).
Уравнение (4.1.37)
PA+A'P+Q = 0.
называется уравнением Ляпунова. Оно имеет единственное решение Р>0, в частности, тогда, когда собственные числа матрицы А имеют отрицательные вещественные части. При этом условии нетрудно показать, что синтезированная система асимптотически устойчива. Действительно, в соответствии с прямым методом Ляпунова примем в качестве функции Ляпунова функцию v=x'Px > 0, вычисляя ее полную производную по времени, получим, что
dv/dt= –х' [Q + 2CC'] х < 0.
Функционал (4.1.36) называется критерием обобщенной работы. Это название связано с тем, что последнее слагаемое в (4.1.36) можно записать как
uопт uопт dt
0
который выражает собой «энергию» (обобщенную работу) оптимального
управления (uопт).
14
Пример 4.1.3. Рассмотрим следующую модель объекта управления:
x1 x2 ;
x2 x1 x2 u
Необходимо определить оптимальный закон управления по критерию
обобщенной работы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
v |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
J x12 |
x22 u2 |
|
|
|
|
|
bi |
|
|
dt |
||
4 |
|
x |
|
|||||||||
0 |
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
Решение. В соответствии с процедурой синтеза v=x'Px, где матрица P определяется из решения матричного уравнения
PA+A'P+Q = 0.
p |
p |
0 |
1 |
|
0 |
1 p |
p |
|
1 |
0 |
|
11 |
12 |
|
|
|
|
11 |
12 |
|
|
|
0 |
p12 |
p22 1 |
1 |
|
1 |
1 p12 |
p22 |
0 |
1 |
|
||
|
|
p11 |
1,5; |
p12 |
0,5, p22 |
1 |
|
|
|
||
15
Тогда функция v запишется как
v 1,5x12 x1 x2 x22
функционал обобщенной работы принимает вид:
|
2 |
2 |
|
2 |
|
1 |
2 |
|
J x1 |
x2 |
u |
|
|
|
x1 2x2 |
dt |
|
|
4 |
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
А закон управления, обеспечивающий минимум этого функционала записывается следующим образом:
u CT x PB T x 0,5x1 x2
16