ОиАС-9
.pdfПараметры наблюдателя (4.3.31), (4.3.32) находятся из матричных уравнений вида
(4.3.17), (4.3.19):
|
|
s11 |
|
|
|
|
|
|
|
λ11 |
λ12 |
|
|
|
t |
|
t |
|
|
|
t |
|
|
1 0 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
s |
|
|
1 0 0 |
|
+ |
λ |
|
λ |
|
|
|
|
11 |
12 |
13 |
|
= |
0 1 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
s |
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
22 |
|
|
|
t21 |
t22 |
|
|
|
t23 |
|
|
0 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
(4.3.33) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
31 |
|
|
|
|
|
|
|
λ |
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
t |
t |
|
t |
|
|
0 |
1 |
|
|
0 |
|
|
|
γ |
|
|
|
|
t |
|
t |
t |
|
|
|
f |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.3.34) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
11 |
|
12 |
13 |
|
|
0 |
|
a22 |
|
a23 |
|
− |
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
11 |
12 |
13 |
= |
|
|
|
11 |
|
1 0 0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
t21 |
t22 |
|
t23 |
|
|
0 |
|
a32 |
|
a33 |
|
|
|
|
|
0 |
γ22 |
|
|
|
t21 |
|
t22 |
t23 |
|
|
|
f22 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
11
Построениенаблюдателяполного порядка на основе модального управления
12
Описанный выше метод построения наблюдателя свелся к преобразованию уравнения (4.3.9) к виду (4.3.11), (4.3.12), который не содержит в явной форме матрицы K. Рассмотрим теперь явный метод определения этой матрицы в уравнении (4.3.9).
Итак, необходимо определить матрицу K так, чтобы корни полинома dн(s)=det||Is – A + KD|| имели отрицательные вещественные части. В этом случае наблюдатель
xˆ = (A −KD)xˆ +Ky +Bu, xˆ(t0 )= xˆ (0 ) |
(4.3.35) |
асимптотически устойчив, и ошибка восстановления уменьшается с течением времени.
Потребуем нечто большее, чем асимптотическая устойчивость, а именно будем искать матрицу К, такую, чтобы корнями характеристического полинома dн(s) наблюдателя являлись наперед заданные числа λ1н, …, λnн (Re λiн <0, i=1, …, n). Последнее означает, что матрица К должна удовлетворять тождеству (по s)
dн (s)= det |
|
|
|
Is −A +KD |
|
|
|
= ∏n (s −λнi ) |
(4.3.36) |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
Для построения такой матрицы К используем свойство дуальности |
|
||||||||
(двойственности) задач управления и наблюдения и применим теорию |
|
||||||||
модального управления. |
|
||||||||
В соответствии с теорией модального управления для всякого полностью управляемого объекта
x = Ax +Bu |
(4.3.37) |
всегда можно построить управление
u = С'х, |
(4.3.38) |
такое, что корни (моды) характеристического полинома замкнутой системы
d(s)=det||Is – A – BC'|| |
(4.3.39) |
имеют наперед заданные значения λ1, …, λn.
13
Для описания двойственности задач управления и наблюдения введем вспомогательную систему «управления»
µ |
= A µ+D u |
(4.3.40) |
|
|
′ |
′ |
|
u = – K'μ. |
|
(4.3.41) |
|
Нетрудно видеть, что если объект (4.3.8) полностью наблюдаем, то «объект» (4.3.40) полностью управляем.
Характеристический полином системы (4.3.40), (4.3.41) |
|
d(s) = det||Is – A' +D'K'||=det||Is – А + КD||=dн(s). |
(4.3.42) |
Очевидно, что если в качестве матриц А и В уравнения (4.3.37) положить матрицы А' и D' объекта (4.3.8), определить матрицу С' «закона управления» так, чтобы корни полинома (4.3.39) имели значения λ1н, …, λnн, то матрица
К = –С |
(4.3.43) |
является искомой матрицей наблюдателя (4.3.9).
14
Построение модального управления
15
Рассмотрим случай скалярного управления. В этом случае в (4.3.37) и (4.3.38) B=b, C=c, гдеb и с – n-мерные векторы, и процедура построения модального управления состоит из операций.
1. Приведем уравнение (4.3.37) к форме Фробениуса
|
|
x |
= Ax +bu |
|
|
|
|
(4.3.44) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||
|
0 |
0 |
1 |
|
0 |
, |
|
0 |
(4.3.45) |
A = |
|
|
|
|
|
b = |
|
||
|
0 |
0 |
0 |
|
1 |
|
|
0 |
|
|
−d0 |
−d1 |
−d2 |
−dn−1 |
|
|
1 |
|
|
d0, d1, ..., dn–1 – коэффициенты характеристического уравнения объекта (4.3.37);
d(s) = sn + dn–1sn–l +...+ d1s + d0. |
(4.3.46) |
Переход от уравнения (4.3.37) к уравнению (4.3.44) осуществляется с помощью преобразования
x = Ψ−y1x |
|
|
|
(4.3.47) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ψy = |
|
b Ab An−1b |
|
|
|
b |
Ab An−1 |
|
−1 |
(4.3.48) |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Нетрудно видеть, что для полностью управляемого объекта (4.3.37) det Ψy ≠ 0.
2. Из структуры матрицы А следует, что уравнение (4.3.44), разрешенное относительно переменной x1 , имеет после преобразования его по Лапласу вид
|
|
|
|
|
d(s)x |
|
=u |
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Сравнивая это уравнение и заданный полином |
|
|||||||||||
d * |
(s)= ∏n |
(s −λ*i )= sn +dn*−1sn−1 + +d1*s +d0* , получим |
|
|||||||||
|
i=1 |
u(s)= −(c sn−1 |
+ +c s +c )x |
|||||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
2 |
1 1 |
|
|
|
|
c |
= d * −d |
i |
(i = |
0,n −1) |
|||||
|
|
|
i+1 |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
Принимая во внимание, что sx |
= x |
|
(i = |
1,n −1), имеем |
||||||||
|
|
i |
|
i+1 |
|
|
|
|
′ |
|
||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|||||
|
|
|
u = −∑ci |
xi |
= −c x |
|
||||||
16 |
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
– n-мерный вектор чисел). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(4.3.49)
(4.3.50)
(4.3.51)
(4.3.52)
3. Возвращаясь к прежним переменным, получим искомый вектор |
|
c′ = −c′Ψy |
(4.3.53) |
обеспечивающий заданные корни характеристического полинома системы
(4.3.37), (4.3.38).
17
Пример 4.3.3. Определение матрицы К наблюдателя полного порядка для переменных состояния гирорамы.
Уравнения наблюдателя полного порядка для переменных состояния гирорамы, описываемой уравнениями (4.3.29), (4.3.30), имеют в соответствии с (4.3.9) вид:
|
= xˆ2 +k11 (y − xˆ1 ) |
|
|
(4.3.54) |
|||||||
xˆ1 |
|
(y − xˆ ) |
|
||||||||
xˆ |
= a |
22 |
xˆ |
2 |
+a |
23 |
xˆ |
+k |
21 |
(4.3.55) |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
1 |
|
||||
|
= a32 xˆ2 |
+a33 xˆ3 |
+k31 (y − xˆ1 )+b31u |
(4.3.56) |
|||||||
xˆ3 |
|||||||||||
Неизвестные параметры k11, k21, k31 определим так, чтобы корни характеристического уравнения наблюдателя имели наперед заданные значения
λ1н, λ2н, λ3н.
18
В связи с этим сформулируем задачу модального управления: для «объекта»
|
µ1 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
µ1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
µ2 |
|
= |
|
1 |
a22 |
a32 |
|
|
|
µ2 |
|
+ |
|
0 |
|
u |
(4.3.57) |
|
µ3 |
|
|
|
0 |
a23 |
a33 |
|
|
|
µ3 |
|
|
|
0 |
|
|
|
найти «управление» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u=c1µ1 + c2µ2 + c3µ3, |
(4.3.58) |
||||||||||||||
при котором характеристический полином системы (4.3.57), (4.3.58) имеет вид
d * (s)= s3 |
+d2*s2 |
+d1*s +d0* |
(4.3.59) |
где |
|
|
|
d2* = −λ1н −λн2 −λн3 ; d1* |
= λ1нλн2 |
+λ1нλн3 +λн2λн3 ; d0* = −λ1нλн2λн3 |
(4.3.60) |
19
В соответствии с первой операцией процедуры построения модального управления формируем матрицу
0 0 |
1 |
1 0 0 −1 |
Ψy = 0 |
1 |
−d2 |
0 |
1 |
a32 |
(4.3.61) |
||||
1 |
|
−d2 |
−d1 +d22 |
0 |
|
0 |
a23 |
|
||
где d1, d2 – коэффициенты характеристического уравнения объекта |
|
|||||||||
d(s)= det |
|
s |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
−1 |
s −a22 |
−a32 |
= s3 |
+d2 s2 +d1s |
(4.3.62) |
||||
|
|
0 |
|
−a23 |
s −a33 |
|
|
|
|
|
d2 = –a22 – a33; d1 = a22a33 – a32a33. |
|
|||||||||
Вторая операция приводит к значениям |
|
|
|
|
|
|
||||
−c1 = d0* ; |
−c2 = d1* −d1 ; |
−c3 |
= d2* −d2 |
(4.3.63) |
||||||
Используя затем преобразования (4.3.53) с матрицей (4.3.61), получим значения ci (i=l, 2, 3), тогда искомые
k1i = –ci (i = 1, 2, 3). |
(4.3.64) |
20