Физика-лекции

i 1

импульса системы равна сумме внешних сил, действующих на тела системы.

Закон сохранения импульса: суммарный импульс замкнутой системы тел остается постоянным, хотя импульсы отдельных тел могут меняться.

В основе закона сохранения импульса лежит свойство материи - однородность пространства, т.е. одинаковость свойств пространства во всех точках. Параллельный перенос замкнутой системы из одного места в другое без изменения взаимного расположения и скоростей частиц не изменяет механических свойств системы.

dP N

Согласно выражению: Fi , импульс может оставаться постоянным и у dt i 1

незамкнутой системы, если сумма всех внешних сил равна нулю.

суммарного импульса на направление Z.

Для того, чтобы сохранялась проекция суммарного импульса на некоторое направление Z, достаточно равенства нулю проекции на это направление суммы внешних сил; сама эта сумма может быть не равна нулю.

§ 3. Центр масс системы

Рассмотрим систему материальных точек. Выберем начало отсчета точку О.

Центром масс (или центром инерции) системы материальных точек называется воображаемая точка С, положение которой характеризует распределение массы этой системы. Ее радиусвектор равен:

21

вектор, задающий положение этой точки; m - суммарная масса системы.

Таким образом, суммарный импульс системы материальных точек можно выразить:

где m - масса системы, aC - ускорение, с которым движется центр масс.

Отсюда, центр масс движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе системы, под действием результирующей всех внешних сил, приложенных к телам системы.

i 1

системы движется прямолинейно и равномерно или покоится.

§ 4. Работа и ее выражение через криволинейный интеграл

Работа в механике совершается только тогда, когда действует сила F и есть

перемещение r . Сила и перемещение - векторные величины.

Работа - скалярная физическая величина, определяется скалярным произведением векторов силы и перемещения:

22

Из рисунка: Fcos =Fr - проекция силы на направление перемещения. Тогда можно записать: A Fr r .

Эти рассуждения справедливы, если F =const.

В общем случае тело движется по кривой под действием переменной силы. Чтобы найти работу переменной силы, пройденный путь разбивают на большое число малых элементов, чтобы их можно было считать прямолинейными, а действующую силу - постоянной. Тогда элементарная работа:

dA F dr cos Fr dr .

Работа переменной силы на всем пути 1-2 будет равна сумме элементарных работ:

2 2

A12 dA Fr dr .

1 1

Графически работу переменной силы можно найти как площадь фигуры, лежащей под графиком

Fr=f(r).

Если на тело действует несколько сил, то работа

на пути dr равна:

Измеряется работа в джоулях: [A]=Дж=Н м=кг м2/с2. Единица работы 1 Дж - это такая работа, которая совершается силой в 1 Н на пути в 1 м.

Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности.

Мощность - скалярная физическая величина, равная отношению работы к промежутку времени, за который она совершена.

промежутки времени совершается неодинаковая работа. Тогда вводятся понятия средней и мгновенной мощности:

Измеряется мощность в ваттах: [N]=Вт=Дж/с. Ранее использовалась единица мощности - лошадиная сила 1 л.с.=736 Вт. Единица мощности 1 Вт - это такая мощность, при которой за 1 с. совершается работа в 1 Дж.

23

§ 5. Энергия, виды энергии

Понятия энергии и работы широко используются в повседневной жизни. Эти понятия тесно связаны друг с другом. Например, говорят - энергичный человек, работящий человек. Энергия по-гречески - деятельность. Работа совершается за счет запаса энергии и наоборот.

Энергия - общая количественная мера движения и взаимодействия всех видов материи. Энергия не исчезает и не возникает из ничего; она может переходить из одной формы в другую. В связи с различными формами движения материи рассматривают различные виды энергии: механическую, внутреннюю, электромагнитную, ядерную.

Механическая энергия делится на два вида: кинетическую и потенциальную.

Кинетическая энергия - энергия движения - определяется массами и скоростями рассматриваемых тел.

Потенциальная энергия - энергия положения - зависит от взаимного расположения взаимодействующих друг с другом тел.

Элементарная работа равна приращению кинетической энергии. Это обусловлено действием силы на движущуюся частицу.

24

Таким образом, работа результирующей всех сил, действующих на тело, равна приращению кинетической энергии тела:

A12 Ек2 Ек1 Ек .

§ 7. Консервативные силы

Кроме контактных взаимодействий, возникающих между соприкасающимися телами, наблюдаются взаимодействия между удаленными друг от друга телами. Например, взаимодействие между Солнцем и Землей и др.

Подобные взаимодействия осуществляются посредством физических полей, которые представляют собой особую форму материи.

Каждое тело создает в окружающем пространстве силовое поле. Это поле проявляет себя в действии сил на другие тела. Например, в гравитационном поле

Земли на каждое тело вблизи поверхности Земли действует сила тяжести mg .

Силы, работа которых не зависит от пути, по которому двигалась частица, а зависит лишь от начального и конечного положений частицы, называются консервативными. Примером консервативных сил являются сила тяжести Fтяж, сила упругости Fупр.

Например, рассмотрим силу упругости: Fупр.х=-kx. Сила упругости переменная, поэтому работу найдем через криволинейный интеграл:

Можно показать, что работа консервативных сил на любом замкнутом пути равна нулю.

Разобьем замкнутый путь на два участка I и II.

Т.к. работа консервативных сил не зависит от пути, то Азамк.пути=0.

Таким образом, консервативные силы - силы, работа которых на любом замкнутом пути равна нулю.

Поля, в которых действуют консервативные силы,

называются потенциальными.

Если силы, действующие на частицу, во всех точках поля одинаковы по модулю и направлению, поле называется

однородным.

Если поле не изменяется с течением времени, оно называется стационарным.

25

В однородном стационарном поле F const . Примером такого поля служит

поле силы тяжести mg вблизи поверхности Земли. Найдем работу силы тяжести:

Эта работа не зависит от формы траектории.

§ 8. Потенциальная энергия и работа

Сопоставим каждой точке поля консервативных сил значение некоторой функции координат Еp(x,y,z), которую определим следующим образом. Произвольно выбранной точке О припишем нулевое значение функции Еp0, взятое произвольно. Значение функции в любой другой точке В:

ЕpВ=Еp0+AВО,

где AВО - работа, совершаемая силами поля при перемещении частицы из точки В в точку О.

Поскольку работа AВО не зависит от пути, значения функции Еp во всех точках поля определяются однозначно.

Функция Еp - называется потенциальной энергией частицы во внешнем силовом поле. Размерность ее, как и размерность работы [Еp]=Дж.

Найдем разность потенциальной энергии для точек 1 и 2:

Еp1-Еp2=(по определению)=(Еp0+А10)-(Еp0+A20)==А10-А20=(т.к. А20=-А02)=А10+А02.

В правой части работа поля на пути из точки 1 в точку 2 через точку О. Вследствие независимости работы от формы пути такая же работа А12 совершается на любом другом пути. Следовательно, работа консервативных сил равна разности значений

потенциальной энергии Еp в начальной и конечной точках пути, т.е. убыли потенциальной энергии:

неизвестной аддитивной постоянной Еp0. Однако это не имеет никакого значения, т.к. во все физические соотношения входит либо разность значений Еp в двух точках, либо производная Еp по координате.

В предыдущем параграфе мы нашли, что А12=mgh1-mgh2 - работа силы тяжести. Сопоставление формул дает, что потенциальная энергия частицы в поле сил тяжести:

E p mgh ,

где высота h отсчитывается от произвольного уровня. В отличие от кинетической энергии, которая всегда положительна Ек>0, потенциальная энергия может быть положительной и отрицательной.

Конкретный вид потенциальной энергии Еp зависит от характера силового поля. Так потенциальная энергия поля, созданного силой упругости Fупр=-кх:

Е p kx22 .

26

Если известно выражение для потенциальной энергии Еp(x,y,z), то можно

Fx E p .x

Производная по х вычисляется при условии, что координаты y, z остаются постоянными. Производная, вычисленная при этом условии, называется частной.

Т.о. компонента силы по оси Х равна взятой с обратным знаком частной

Направление вектора grad совпадает с направлением оси l, вдоль которой функция возрастает с наибольшей скоростью, а модуль равен: ddl .

Выражение grad можно рассматривать как результат действия на функцию оператора Гамильтона или оператора набла:

Тогда grad.

Используя знания из математики, можно записать: F gradE p .

Таким образом, консервативная сила равна градиенту потенциальной энергии частицы, взятому с обратным знаком.

§ 9. Закон сохранения энергии

1). Пусть частица движения в поле консервативных сил. При переходе из положения 1 в положение 2 над частицей совершается работа: А12=- Ep. С другой стороны: А12=Eк. Тогда получаем:

Eк E p , т.е. Eк2 Eк1 E p1 E p2 или E p1 Eк1 E p2 Eк2 .

27

Величина: E E p Eк - называется полной механической энергией.

Используя понятие полной механической энергии, запишем: E1 Е2 , т.е.

полная механическая энергия частицы, движущейся в поле консервативных сил, остается постоянной Е=const.

2). Рассмотрим систему материальных точек, на которые действуют

консервативные и неконсервативные силы.

Мы знаем, что работа результирующей всех сил, действующих на тело, равна приращению кинетической энергии тела: A12 Ек .

A12конс A12некон Ek 2 Ek1 .

Работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии:

A12конс E p E p1 E p2 .

Тогда: E p1 E p2 A12некон Eк 2 Eк1 . Преобразуем данное выражение:

A12некон Eк2 E p2 Eк1 E p1 ;

A12некон E2 E1 E .

Работа неконсервативных сил равна приращению полной механической энергии.

Если на систему не действуют неконсервативные силы, то A12некон=0, тогда

Е1=Е2, т.е. Е=const.

Закон сохранения полной механической энергии: полная механическая энергия системы материальных точек, находящихся только под действием консервативных сил, остается постоянной.

В основе этого закона лежит однородность времени, т.е. равнозначность всех моментов времени. Замена момента времени t1 моментом t2 без изменения скоростей и координат тел не изменяет механических свойств системы.

При наличии неконсервативных сил полная механическая энергия системы не сохраняется. Неконсервативными силами являются силы трения, сопротивления среды. Работа этих сил обычно отрицательна. Поэтому при наличии сил трения и сопротивления среды полная механическая энергия системы уменьшается, переходя во внутреннюю энергию тел; тела системы нагреваются. Такой процесс называется

диссипацией энергии (рассеяние).

Закон сохранения энергии носит всеобщий характер. Он применим ко всем процессам, происходящим в природе. Полное количество энергии в изолированной системе тел и полей всегда остается постоянным. Энергия лишь переходит из одной формы в другую. Этот факт является проявлением неуничтожимости материи и ее движения.

28

Сравним с выражением кинетической энергии поступательного движения:

Момент инерции играет ту же роль, что и масса при поступательном движении.

§ 2. Момент инерции

Момент инерции - это мера инертности вращающегося тела.

Момент инерции материальной точки относительно оси вращения: Ji mi ri 2 .

Момент инерции системы материальных точек относительно оси вращения:

Если тело сплошное, то сумму заменим интегралом по dm:

29

Момент инерции J - скалярная величина, зависит от массы и ее распределения относительно оси вращения. Зависит от формы тела. Легко найти для тел правильной геометрической формы.

Примеры расчета моментов инерции различных тел.

Пример 1. Рассчитаем момент инерции однородного обруча радиуса R, массы m.

Разобьем обруч на элементарные массы mi. Расстояние от оси вращения до любой элементарной массы равно радиусу обруча: ri=R.

J r 2 dm R2 dm R2 dm mR2 . Jобруч mR2

Пример 2. Рассчитаем момент инерции однородного цилиндра массы m,

радиуса R относительно его геометрической оси.

Разобьем цилиндр на слои радиуса r, толщины dr. Масса

Момент инерции цилиндра не зависит от его высоты h. Тогда и для диска момент инерции относительно оси, перпендикулярной диску, проходящей через его центр масс:

mR 2

J диск 2 .

30