Метод.Пересечение поверхностей-печать

Рис. 24. Исходные данные для решения задачи на пересечение цилиндра плоскостью общего положения

В данном примере по исходным данным в горизонтальной плоскости проекций определяются две точки пересечения горизонтальных очерков секущей плоскости и основания цилиндра – точки 2 и 10, которые будут принадлежать искомой линии сечения (рис. 25).

Рис. 25. Решение задачи на пересечение цилиндра плоскостью общего положения

21

Дальнейшие построения выполняются с помощью вспомогательных элементов. Введем в решение задачи вспомогательную горизонтальнопроецирующую плоскость А, перпендикулярную горизонтали данной плоскости и проходящую через центр основания цилиндра (см. рис. 25). Эта плоскость позволяет построить линию ската плоскости сечения и определить крайние верхнюю и нижнюю точки линии сечения – точки 1 и 6.

Следующая вспомогательная фронтальная плоскость В проходит через очерковые образующие цилиндра и пересекает данную плоскость по фронтали. Эта плоскость помогает определить точки, лежащие на очерке и являющиеся граничными для определения видимости линии сечения. Таким точками будут являться точки 5 и 10. Обратите внимание, что точка 10 уже была определена в начале решения как одна из точек пересечения горизонтальных очерков данных элементов. Использование плоскости В подтвердило положение точки 10 (см. рис. 25).

Далее введем в решение задачи две вспомогательные горизонтальные плоскости Г и , дающие две пары симметричных точек – 3 и 9, 4 и 8 искомой линии сечения (см. рис. 25). Горизонтальные плоскости Г и пересекают данную плоскость по горизонталям, а цилиндр – по окружностям, совпадающим с основанием.

Искомой линии сечения будет принадлежать еще одна точка – точка 7, которая определяется как касательная линии f, определяющей плоскость, с осевой образующей поверхности цилиндра.

Все точки, определяющие линию сечения, необходимо соединить плавной кривой линией с учетом видимости и построить третью профильную проекцию (рис. 26).

Рис. 26. Построение третьей проекции пересекающихся элементов

Натуральная величина сечения в данном примере определяется, как и в предыдущей задаче, способом замены плоскостей проекций.

22

3. РАЗВЕРТЫВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Разверткой называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с одной плоскостью (без наложения граней или иных элементов поверхности друг на друга).

3.1. Развертка поверхности призмы

Так как все грани многогранной поверхности изображаются на развертке в натуральную величину, построение ее сводится к определению величины отдельных граней поверхности – плоских многоугольников.

На произвольной горизонтальной прямой последовательно откладывают стороны основания призмы. Размеры сторон основания определяются по горизонтальной проекции.

Из конечных точек каждой стороны основания восстанавливают перпендикуляры, равные высоте усеченных ребер. Натуральную высоту ребер определяют по фронтальной проекции. Для обеспечения точности построений предлагается выполнять построения развертки в проекционной связи с главным видом (рис. 27). Точки, ограничивающие перпендикуляры, соединяют отрезками и получают ломаную линию, которая представляет собой развернутую линию контура сечения.

Для получения полной развертки поверхности призмы к одной из сторон основания пристраивают контур основания, а к стороне линии сечения – контур сечения в натуральную величину (рис. 27).

Рис. 27. Развертка призмы

23

3.2. Развертка поверхности пирамиды

Развертка боковой поверхности пирамиды представляет собой плоскую фигуру, состоящую из трех треугольников – граней пирамиды и еще одного треугольника – основания. Основание пирамиды проецируется в натуральную величину в плоскости П1, так как пирамида опирается на горизонтальную плоскость. Поэтому построение развертки пирамиды сводится к определению натуральной величины граней пирамиды. Для этого достаточно определить натуральную длину ребер боковой поверхности, например, способом вращения вокруг горизонтально-проецирующей оси, проходящей через вершину пирамиды (рис. 28).

Рис. 28. Определение натуральной величины ребер пирамиды способом вращения и построение развертки

При построении развертки пирамиды применяется способ треугольника. Вначале строят основание пирамиды. Для этого на свободном месте чертежа откладывают отрезок, равный одной из сторон основания. Из его концевых точек проводят две дуги. Радиус одной дуги должен быть равен длине второй стороны, а радиус второй дуги должен быть равен длине третьей стороны треугольника основания. Дуги проводятся до пересечения. Точка пересечения будет являться третьей вершиной треугольника.

Используя этот прием, строят какую-либо из боковых граней пирамиды на одной из сторон вычерченного треугольника основания. После построения первой грани к ней пристраивают следующие (рис. 28). На соответствующих ребрах откладывают точки, в которых они пересекаются плоскостью. При этом необходимо помнить, что эти точки должны быть перенесены на проекции ребер, выражающих натуральную величину. Перенесенные на развертку точки линии сечения соединяют ломаной линией. К одному из отрезков этого контура пристраивают фигуру сечения в натуральную величину (см. рис. 28).

24

3.3. Развертка цилиндрической поверхности

Развертка цилиндрической поверхности выполняется аналогично развертке призмы. Предварительно в заданный цилиндр вписывают, например, 12-угольную призму (рис. 29).

Рис. 29. Развертка цилиндрической поверхности

На произвольной горизонтальной прямой последовательно откладывают стороны правильного 12-угольника, вписанного в основание призмы. Размеры сторон основания определяются по горизонтальной проекции. Из конечных точек каждой стороны основания восстанавливают перпендикуляры, равные высоте соответствующих образующих и определенные по фронтальной проекции. Концы образующих соединяются плавной кривой (см. рис. 29).

3.4. Развертка конической поверхности

Развертка боковой поверхности прямого кругового конуса представляет собой круговой сектор, радиус которого равен длине образующей конической поверхности l, а центральный угол φ=360о r / l, где r – радиус окружности основания конуса.

В начертательной геометрии используются графические приемы построений разверток. Поэтому развертка конической поверхности выполняется аналогично развертке пирамиды. Предварительно в заданный конус вписывают, например, 12-угольную пирамиду (рис. 30, 31).

25

Рис. 30. Развертка конической поверхности, усеченной плоскостью частного положения

Рис. 31. Развертка конической поверхности, усеченной плоскостью общего положения

Из произвольной точки как из вершины пирамиды описывается дуга окружности радиусом, равным натуральной длине образующей конуса. На этой дуге последовательно откладываются 12 хорд, равных по длине сторонам вписанного в основание 12-угольника. Через полученные точки проводятся образующие, на которых откладываются отрезки, равные по длине соответствующим образующим конуса, измеренным от основания до линии сечения. Конечные точки этих отрезков соединяются плавной кривой.

На рис. 30 и 31 к разверткам боковой поверхности усеченных конусов пристроены фигуры сечений в натуральную величину.

26