ответы на экзамен по математике(2 семестр)

31.Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.

Уравнение P (x; y) dx + Q (x; y) dy = 0 называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть есть полный дифференциал некоторой функции u (x; y), т.е.

P (x; y) dx + Q (x; y) dy = du (x; y). В этом случае ДУ можно записать в виде du (x; y) = 0, а его общий интеграл будет: u (x; y) = c.

Т.: для того чтобы выражение = P (x; y) dx + Q (x; y) dy, где функции P (x; y) и Q (x; y) и их частные производные ∂P/∂y и ∂Q/dx непрерывны в некоторой области D плоскости Oxy, было полным дифференциалом, необходимо и достаточно выполнение условия ∂P/∂y = ∂Q/dx.

ДУ 1-го порядка, неразрешенные относительно производной: уравнения Лагранжа и Клеро.

Уравнение вида y = x • φ (y’) + ψ (y’), где φ и ψ – известные функции от y’ = dy/dx, называется уравнением Лагранжа. Уравнение y = x • φ (y’) + ψ (y’) при φ (y’) y’ принимает вид y = x • y’ + ψ (y’) и называется уравнением Клеро.

33.Двойной интеграл.

Определение: Если при стремлении к нулю шага разбиения

предел, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области .

С учетом того, что Si = xi yi получаем:

записи имеются два знака , т.к. суммирование производится по двум переменным х и у.

Т.к. деление области интегрирования произвольно, также произволен и выбор точек Рi, то, считая все площади Si одинаковыми, получаем формулу:

32.Понятие скалярного поля. Производная по направлению.

Пусть V – некоторая область в пространстве. Говорят, что в этой области задано скалярное поле, если каждой т. M V поставлено в соответствие некоторое число U(M) (пример – поле температур, освещенности). Скалярное поле не зависит от выбора системы координат. Поверхность или линия, на которой U(M) принимает постоянное значение называется поверхностью уровня скалярного поля.

Пусть U(M) – некоторое скалярное поле. i- единственный фиксированный вектор. Mo-фиксированая точка. M1<>Mo;

M0 M1 L ; | M0 M1 | n

производной скалярного поля U(M) по направлению L в точке

lnH-скорость изменения ф-ции U(m) по направлению L(вект) в точке Mo.

U(M)=U(x,y,z) ; U(Mo)=U(Xo,Yo,Zo);

I(вект)=(cosальфа, сosбета,cosгамма); U(M1)=U(Xo+hcosалфа, Yo+hcosбта, Zo+hcosгама)

dU

принимает наибольшее значение при

dL

фи=0 т.е. в направлении вектора gradU в т. Mo

gradU указывает направление наибольшего роста поля в данной точке. | gradU| - скорость роста ф-ции U в данном направлении. Вектро gradU не зависит от выбора системы координат. Grad направлен по поверхности уровня в данной точке.

40. Тройной интеграл в цилиндрической системе координат.

Операция замены переменных в тройном интеграле аналогична соответсвующей операции для двойного интеграла.

Можно записать:

F (x, y, z)dxdydz

r

F( f (u, v, w), (u, v, w), (u, v, w)) i dudvdw

Цилиндрическая система координат.

Связь координат произвольной точки Р пространства в цилиндрической системе с координатами в декартовой прямоугольной системе осуществляется по формулам:

x cosy sin

z z

Для представления тройного интеграла в цилиндрических координатах вычисляем Якобиан

cos2 sin2

F (x, y, z)dxdydz F ( cos , sin , z) d d dz

41. Тройной интеграл в сферической системе координат.

Операция замены переменных в тройном интеграле аналогична соответсвующей операции для двойного интеграла.

Можно записать:

F (x, y, z)dxdydz

r

F ( f (u, v, w), (u, v, w), (u, v, w)) i dudvdw

Сферическая система координат.

Связь координат произвольной точки Р пространства в сферической системе с координатами в декартовой прямоугольной системе осуществляется по формулам:

x sin cos

y sin sinz cos

Для представления тройного интеграла в сферических координатах вычисляем Якобиан:

cos ( 2 sin cos cos2 2 sin cos sin 2 )sin ( sin 2 cos2 sin 2 sin 2 )

2 cos2 sin 2 sin3 2 sin .

Окончательно получаем:

F (x, y, z)dxdydz

r

f ( , , ) 2 sin d d d

42. Криволинейный интеграл.

Пусть в области D R3 заданы : 1) непрерывное векторное поле

F(r) =[ fx(x,y.z); fy(r); fz(r)]t R3;

(координаты вектора F - непрерывные функции fx,y,z(x,y,z) трех переменных)

и 2) параметрическое уравнение гладкой линии L D,

соединяющей точки A и В:

- и вектор dr(t) бесконечно-малого перемещения в точке (по касательной к линии L)

dr(t)=[dx(t),dy(t), dz(t)]t

Очевидно, что скалярное произведение F(t) dr(t) равно

f x (t)x (t)dt f y (t) y (t)dt f z (t)z (t)dt (t)dt

иопределяется одной переменной - параметром “t” точки линии.

Опр: Криволинейным интегралом (II рода

по координатам) от непрерывного векторного поля F(r) вдоль

Из определения следует:

Физический смысл:

1) Так как скалярное произведение векторов

F(t) dr(t)= ||F|| ||dr||cos(F,r), для силового поля F

криволинейный интеграл равен работе по перемещению материальной точки из точки А в точку В по линии L в поле силы

F.

4)вычисляется скалярное произведение векторов (F(t),dr(t)) и находится явный вид подынтегрального выражения

(fX*(t)x’(t)+ fY*(t)y’(t)+ fZ*(t)z’(t))dt = Ф(t)dt;

5)вычисляется определенный интеграл

tB

(t)dt

t A

43. Формула Грина.

Теорема Грина. Если плоское векторное поле

F(x,y)=[fX(x,y);fY(x,y)]t непрерывно дифференцируемо в

замкнутой области DК R2, ограниченной гладким контуром

«К», криволинейный интеграл по замкнутому контуру в

положительном направлении (+К) равен двойному интегралу по

области, ограниченной этим контуром

44. Числовые ряды. Необходимый признак сходимости.

Пусть мы имеем числовую последовательность ,

где . Приведем пример числовой

последовательности: . Числовой ряд – это сумма членов числовой последовательности

вида .

В качестве примера числового ряда можно привести сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q =

-0.5: .

называют общим членом числового ряда или k–ым членом ряда.

Для предыдущего примера общий член числового ряда имеет вид .

Необходимые признаки сходимости ряда.

Если числовой ряд сходится, то общий член этого ряда стремится к нулю при неограниченном возрастании n (номер

члена ряда): lim =0.

→∞

53. Применение степенных рядов.

1 способ. (метод неопределенных коэффициентов) Этот метод наиболее удобен для ЛДУ с переменными

искомое решение y = y(x) ищем в виде степенного ряда с неопределенными коэффициентами:

Для нахождения последующих коэффициентов дифференцируем ряд два раза (в зависимости от порядка ДУ) и подставляем в выражение для функции у и ее производной в уравнение (1), заменив в нем их разложениями.

В результате получаем тождество, из которого методом неопределенных коэффициентов находим недостающие коэффициенты. Построенный ряд (2) сходится в том же интервале и служит решением уравнения.

2 способ (метод последовательного дифференцирования) Решение у = у(х) уравнения ищем в

виде ряда Тейлора.

При этом первые 2 коэфф. находим из нач. условий Подставив в уравнение (1) находим третий коэфф.

. Значения …….. находим путем последовательного

дифференцирования уравнения(1) по х и вычисления производных при . Найденные значения производных(коэффициентов) подставляем в равенство(3).

Продолжение вопроса 52.

Степенным рядом называется ряд вида

0 + 1 + 2 2+… + +…= ∑∞=0 .

Теоремы Апеля: Если степенной ряд 0 + 1 + 2 2+… +

+…= ∑∞=0 сходится при x = x1 ≠ 0, то он сходится и притом абсолютно для всех |x|<|x1|.

Если при х = х1 ряд расходится, то он расходится для всех

|x|>|x1|.

Свойства:

1.Сумма S(x) степенного ряда

∑∞=0 nxn = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn + …

является непрерывной функцией в интервале сходимости

(-R; R).

2.Степенные ряды ∑∞=0 и ∑∞=0 , имеющие радиусы сходимости R1 и R2, можно почленно складывать,

вычитать и умножать. Радиус сходимости произведения, суммы и разности рядов не меньше, чем меньшее из чисел

R1 и R2.

3.Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать; при этом для ряда

( ) = 0 + 1 + 2 2 + 3 3+… + +… (1)

при –R<x<R выполняется равенство

′( ) = 1 + 22( ) + 33 2+… + −1+… (2)

4.Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке, расположенном внутри интервала сходимости; при этом для ряда (1) –R<a<x<R выполняется

Ряды (2) и (3) имеют тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд.

54. Ряд Фурье.

Определение. Рядом Фурье для функции f(x) называется тригонометрический ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье. Если ряд Фурье функции f(x) сходится к ней во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция f(x) разлагается в ряд Фурье.

Тригонометрический ряд Фурье непрерывной функции

f(x) с периодом 2п

где

Тригонометрический ряд Фурье кусочно-гладкой

функции f(x) периода 2l

В точках разрыва функции f(x) сумма ряда Фурье

Если 2l-периодическая функция f(x) нечетная, то