Давыд Цуриков. Диссертация. 2015 г

101

вых принципов квантовой механики является сложной вычислительной задачей. Поэтому поиск рабочих напряжённостей электрического поля устройства целесообразней провести под управлением ЭВМ в конкретном эксперименте. Можно полагать, что время отклика данной квантовой системы будет существенно меньше, чем её эмуляции на суперкомпьютере, что ускорит процедуру оптимизации.

Предложенная реализация логического элемента XOR также допускает аналогию с искусственными нейронными сетями [61]. Они широко применяются для решения неформализуемых задач: распознавание образов, кластеризации и т.д. Обучение нейросети происходит путём настройки её свободных параметров для достижения целевого отклика (выходных значений) на основе внешних стимулов (входных значений) [61, с. 89]. В слу-

вие отклика целевому определяется согласно (276) и (275). Поэтому, с точки зрения теории искусственных нейронных сетей, оптимизация параметров устройства наиболее близка к парадигме обучения с учителем [61, с. 107]: обучение на основе знаний об окружающей среде, представленных в виде пар вход-выход. Проведённый численный эксперимент позволил получить нужный отклик системы на внешние стимулы. В результате на примере логического элемента XOR было показано, что низкоразмерные полупроводниковые структуры способны к обучению.

Резюме

В данном разделе была обоснована модель логического элемента XOR, в котором логическая операция выполняется напрямую за счёт квантовой интерференции. Принцип его работы состоит в задании значений входных битов напряжённостями электрического поля в двух I-узлах и определении значения выходного бита по выходному току.

Проведённая оптимизация напряжённостей электрического поля и уровня Ферми устройства из InP, GaAs и GaSb подтвердила его высокую эффективность. Вольт-амперные характеристики логического элемента XOR оказались близкими к линейным. Это позволило записать для него наглядную таблицу истинности в терминах приближённой проводимости при малых напряжениях смещения.

В силу приближённого характера использованной при вычислениях модели рассчитанные значения параметров устройства являются оценками. Их точные значения целесообразно получить в эксперименте под управлением ЭВМ. Поэтому основной результат данного раздела – это возможная конструкция логического элемента XOR и подтверждение его функциональности посредством численного моделирования.

102

3.6.Выводы

Вэтой главе была продемонстрирована эффективность развитой в главе 2 схемы расчёта электрических токов через низкоразмерную структуру. Для этого была предложена двумерная квантовая сеть из гладких Q-, I- и Y-узлов (QIY-сеть) как основа для моделирования полупроводниковых наноэлектронных устройств. Данная структура лучше отвечает применимости зонной теории твёрдого тела, а также позволяет избежать роста вычислительных затрат при расчётах. На базе неё с учётом показанного в главе 1 принципа позиционирования уровня Ферми в двумерном электронном газе были спроектированы следующие наноустройства.

•Логический элемент NOT. На базе двумерного электронного волновода было продемонстрировано применение эффектов размерного квантования для простейшей логической операции. Этим было установлено, что I-узел обеспечивает эффективное управление рассеянием электронов посредством внешнего электрического поля.

•Двухузловой переключатель. На базе сети из I- и Y-узла было смоделировано управление токами в рукавах с участием эффектов размерного квантования. Было установлено, что этот эффект может быть существенным при наличии электрического поля в малой области перед ветвлением.

•Логический элемент XOR. На базе сети из 4-х Q-, 6-и I- и 6-и Y-узлов была предложена конструкция устройства, в котором логическая операция XOR выполняется напрямую за счёт квантовой интерференции. Его функциональность достигается с помощью электрического поля в I-узлах и положения уровня Ферми в нём. На основе аналогии с искусственными нейронными сетями на примере данного устройства было показано, что низкоразмерные полупроводниковые структуры способны к обучению.

При оптимизации параметров двухузлового переключателя и логического элемента

XOR рассматривались также зависимости вероятностей прохождения от энергии. Было обнаружено, что для рассмотренных материалов (InP, GaAs и GaSb) при T = 300 K опти-

мальное положение уровня Ферми нельзя найти без учёта статистики электронов. Он существенно смещён относительно целевых пиков вероятностей. Приближённое совпадение наблюдается только при T = 77 K и ниже.

Для всех рассмотренных устройств проведено сравнение коэффициентов рассеяния, полученных по сетевой формуле и методом ND-map (127), (129) на основе триангуляции всей сети. С учётом вычислительной погрешности они совпали. Проверка закона сохранения заряда показала приемлемый уровень неизбежной ошибки вычислений.

103

Для расчёта электрических токов через QIY-сеть разработанный в качестве программного сопровождения к главе 2 код на C++ был дополнен следующим образом. S-матрицы как функции энергии вычислялись один раз для типовых Q- и Y-узлов, так как их параметры фиксированы. Расчёт соответствующих загружаемых в основной код файлов проводился методом конечных элементов для ND-map (127), (129) в пакете FreeFem++. Для этого была создана процедура вычисления S-матрицы произвольного двумерного узла, а также процедура задания из программного кода гладких границ из любых дуг и отрезков. S-матрицы управляющих I-узлов рассчитывались по формулам (121) и (257) в подпрограмме на C++. Такой подход обеспечил высокую скорость оптимизации параметров сети. Оптимизация происходила посредством генетического алгоритма также в подпрограмме на C++. Таким образом, разработанный на C++ программный код (приложение G) позволил легко подключить все необходимые вычислительные модули и провести моделирование низкоразмерных полупроводниковых устройств.

104

Заключение

Внастоящей диссертации было рассмотрено численное моделирование квантового электронного транспорта в низкоразмерных полупроводниковых структурах. Для этого в главе 2 была разработана объединённая схема расчёта в модели квантовой сети. Схема построена на специальной системе обозначений, упрощающей численную реализацию. В расчёте S-матрицы узла предпочтение отдано методу граничных условий рассеяния. Для них была предложена наглядная интегро-дифференциальная форма записи, а также развит формализм, являющийся обобщением методов DN- и ND-map. С целью вычисления S- матрицы всей сети в терминах S-матриц образующих её узлов была предложена сетевая формула. Она учитывает в явном виде все соединения и является универсальным алгоритмом расчёта, пригодным для сетей произвольной структуры. Расчёт электрических токов через сеть проводился с помощью формализма Ландауэра–Бюттикера, адаптированного к используемой системе обозначений.

Всилу актуальности для наноэлектроники структур на основе двумерного электронного газа на их примере тестировался подход, развитый в главе 2. Предварительно для этого в главе 1 был рассмотрен процесс двумеризации носителей заряда в полупроводниковой плёнке. С этой целью был разработан быстрый алгоритм квантового самосогласованного расчёта области пространственного заряда. На его основе продемонстрирован механизм позиционирования уровня Ферми в энергетическом спектре двумерного газа носителей заряда за счёт верхнего затвора.

Проведённый анализ процесса двумеризации носителей заряда в плёнке позволил в главе 3 спроектировать на базе объединённой схемы главы 2 планарные наноустройства (на примере InP, GaAs и GaSb). В модели логического элемента NOT в двумерном электронном волноводе была достигнута равная 97% вероятность рассеяния электронов из 1-й подзоны размерного квантования во 2-ю. При проектировании двухузлового переключателя установлено, что эффективно изменять направление токов в двумерной структуре можно с помощью латерального затвора, предшествующего области ветвления.

Наиболее интересным из рассмотренных устройств является логический элемент XOR гексагональной конструкции. Логическая операция в нём выполняется напрямую за счёт квантовой интерференции. Его функциональность достигается с помощью электрического поля и положения уровня Ферми. В силу квантовой специфики и монолитной конструкции логического элемента XOR можно полагать, что его время отклика будет меньше, чем

уцепей той же функциональности. На основе аналогии с искусственными нейронными

105

сетями на примере данного устройства было показано, что низкоразмерные полупроводниковые структуры способны к обучению.

В качестве численной реализации предложенной в работе схемы расчёта квантового электронного транспорта был разработан программный код на языке C++. За счёт специфических особенностей языка (указатели, наследование, виртуальные функции и пр.) достигнута его гибкость и универсальность. Помимо подключения всевозможных внутренних процедур, он позволяет взаимодействовать с внешними вычислительными пакетами посредством файлов S-матриц узлов сети. В рамках решаемых задач необходимые файлы S- матриц рассчитывались методом конечных элементов для ND-map в пакете FreeFem++, где была разработана универсальная процедура. Результативность такого подхода подтверждают спроектированные в работе низкоразмерные полупроводниковые устройства.

Перспективы дальнейшей разработки темы настоящей диссертации можно разбить на две категории: развитие схемы расчёта электронного транспорта в низкоразмерных структурах, создание на их основе новых моделей полупроводниковых устройств. Одно из направлений развития схемы расчёта – применение граничных условий рассеяния для самосогласованного вычисления токов. К другим актуальным направлениям относятся исследования полупроводников с релятивистским законом дисперсии, учёт спин-орбитального взаимодействия [68, 69]. Интереснейшей перспективой является проектирование систем с более сложной нейросетевой функциональностью, чем у логического элемента XOR [61]. Развитый в диссертации подход поможет смоделировать способные к обучению наноэлектронные устройства на базе низкоразмерных полупроводниковых структур.

106

Приложения

Приложение A. Средняя длина волны де Бройля носителей заряда

В данном приложении получена формула средней длины волны де Бройля носителей заряда. Для этого здесь приведены краткие сведения о статистике носителей заряда в полупроводнике. Предварительно даны справочные материалы об интеграле Ферми–Дирака. Для удобства изложения температура приводится в единицах энергии, что означает фор-

мальную замену: k0T T .

Интеграл Ферми–Дирака порядка k

Запишем справочные материалы об интеграле Ферми–Дирака порядка k [62, 63].

Квантовый идеальный газ носителей заряда

Для расчёта термодинамических величин рассмотрим квантовый идеальный газ носителей заряда в рамках большого канонического ансамбля. Большой канонический ансамбль (БКА) – макроскопическая система, обменивающаяся энергией и частицами с большой замкнутой системой (термостатом). Термодинамический потенциал БКА: Ω- потенциал, его естественные переменные: V – объём, T – температура, μ – химический потенциал [64, 65]:

Рассчитать Ω -потенциал можно на основе статсуммы Ξ :

Статсумма БКА факторизуется в рамках формализма чисел заполнения:

Ω-потенциалы для электронов и дырок

Носители заряда в полупроводнике (электроны и дырки) являются фермионами. Для Ω -потенциала подсистемы электронов запишем

nM = 0,+1; (287) ΞM =1+exp T1 (μ − EM ) ; (288)

где ge (E):= ∑δ (EM − E) – плотность одночастичных состояний электронов.

где gh (E):= ∑δ (EM − E) – плотность одночастичных состояний дырок.

M

Плотности состояний электров и дырок

Плотности одночастичных состояний электронов и дырок можно найти на основе их законов дисперсии. В случае объёмного кристалла с параболическим законом дисперсии носителей заряда имеем

109

Согласно формуле (300), средняя длина волны де Бройля зависит от химического потенциала. Однако в случае невырожденного полупроводника химический потенциал находится вдали от краёв зон, и для интегралов Ферми–Дирака становится применимым экспоненциальное приближение (281).

Выражение (301) в данной работе является основным для оценок размеров структур, когда становятся существенными эффекты размерного квантования.

Обобщение и терминология

При описании квантового идеального газа в данном приложении используется химический потенциал μ . Если в системе есть электростатический потенциал U , то при её описании применяется электрохимический потенциал ν :