Новотный и Хехт, Основы нанооптики

ПО.lе в ближней зоне оптической задачи с полем в дальней зоне. И если в случае б.lИ)hнеЙ зоны необходимо строгое описание полей, то поля в дальней зоне хорошо

аппроксимируются по законам геометрической оптики.

3.5. Фокусировка полей

При помощи сильносфокусированных лазерных импульсов можно достичь эф­ срепа классического удержания (или локализации) света. Такие пучки использу­

ются во флуоресцентной спектроскопии для исследования молекулярных взаимо­

действий в растворах, а также кинетики одиночных молекул на поверхностях [6].

Си.lьносфокусированные лазерные пучки играют ключевую роль и в конфокальной \IИКРОСКОПИИ. и в хранении оптической информации, где достигается разрешение Л 4. В оптических пинцетах сфокусированные лазерные пучки используются для

У.lавливания частиц, их передвижения и позиционирования с высокой точностью [8].

Все перечисленные сферы использования света требуют теоретического описания

си.lьносфокусированных полей.

Поля в сфокусированном лазерном пучке определяются граничными условия­ \lИ фокусирующего оптического элемента и падающим оптическим полем. В этом

разде.lе мы будем изучать фокусировку паракси-

раuионной оптической линзы, как показано на

рис. 3.5. В теоретическом рассмотрении мы бу­ дe~1 придерживаться теории Ричардса и Вольфа

[9. 10] Поля вблизи оптических линз могут рас­

С\lатриваться в рамках законов геометрической

оптики В этом приближении конечностью оп­

тической длины волны пренебрегают (k: ---+ (0),

а энергия переносится вдоль оптических лучей.

Сре.1НЯЯ плотность энергии распространяется со СI\ОРОСТЬЮ l' = ("/11 В направлении, перпенди­

к~.lЯРНО~1 геометрическому волновому фронту.

ПРОИ:Jлюстрированы на рис. 3.6. Правило сину-

сов утверждает, что каждый оптический луч, исходящий из фокуса F или входящий

в фокус F безаберрационной оптической системы, пересекает сопряженный ему луч на сфере радиуса I (гауссова вспомогательная сфера), где f - фокусное расстоя­ ние .1ИНЗЫ. ПОД сопряженным лучом понимается отраженный или падающий луч, распространяющийся параллельно оптической оси. Расстояние h между оптической

осью и сопряженным лучом дается соотношением

где f) - угол отклонения сопряженного луча, или угол расходимости. Таким образом,

правило синусов диктуется законом отражения оптических лучей от безаберраци­

онного оптического элемента. Закон для интенсивности является не чем иным,

как утверждением закона сохранения энергии: поток энергии вдоль луча должен

оставаться постоянным. Как следствие, напряженность электрического поля в сфе­

рической волне падает по закону l/r, где r - расстояние от источника. Закон для

интенсивности говорит о том, что количество энергии, падающей на безаберраци-

:) .1 НОВОТIIЫЙ. Б Хехт

s- и р-поляризацию соответственно. В терминах единичных векторов можно записать

эти поля следующим образом:

(3.38)

Как показано на рис. 3.7, эти два поля отражаются от вспомогательной сферы

по отдельности И если вектор пф остается незадействованным, то вектор пр пере­

ходит в вектор n(J. Таким образом, полное отраженное электрическое поле, которое

обозначим Е-х., может быть записано в виде

(3.39)

Для каждого луча мы учли соответствующий ему коэффициент пропускания t 8 и и/, как определено в соотношении (2.50). Множитель за скобками является след­

ствием закона сохранения энергии. Нижний индекс 00 добавлен с целью подчерк­

нуть, что поле вычисляется на большом расстоянии от фокуса (х, у, z) = (О, О, О).

Единичные векторы пр, nB, пф могут быть выражены через единичные векторы

декартовой системы координат n x , n y, n z с использованием сферических углов () и ф,

обозначенных на рис. 3.7:

Это вектор декартовых координат непосредственно справа от вспомогательной сферы

фокусирующей линзы. Мы можем также выразить Еос в терминах пространственных частот k, и klJ , используя подстановки

Результирующее поле в дальней зоне на вспомогательной сфере предстает тогда

в виде Е-х. (k, , klJ)' и его можно подставить в соотношение (3.33) для строгого расчета

ПОJlей в фокусе. Таким образом, поле Е вблизи фокуса нашей линзы полностью определяется полем Е'Х на вспомогательной сфере. Все лучи распространяются от

вспомогательной сферы в сторону фокуса (х, у, z) = (О, О, О), а эванесцентные поля

в этой системе отсутствуют.

Учитывая симметрию нашей задачи, удобно выразить угловой спектр (3.33) в тер­

минах углов () и Ф вместо kx и ky . Это легко сделать, используя подстановки (3.44)

и выражая координаты поля (х, у) через углы согласно формулам

интегрирование по сферическим координатам О, ф, необходимо преобразовать диффе­

ренциалы

как это проиллюстрировано на рис. 3.8. Теперь мы можем выразить угловой спектр поля в фокусе следующим образом (3.33):

кальной области полностью определяется полем в дальней зоне Ех Как мы увидим

в следующем разделе, параметрами лазерной фокусировки можно управлять, пере­ страивая амплитудный и фазовый профиль дальнего поля Е""

3.6. Фокальные поля

Как правило, выходная диафрагма объектива микроскопа имеет в диаметре пару

миллиметров. Для того чтобы использовать всю числовую апертуру объектива, па­

дающий свет E inc должен полностью ее покрывать или перекрывать. Таким образом.

в силу большого диаметра падающего пучка рассмотрение его в параксиаЛЬНО~I

приближении вполне оправданно. Предположим, что Einc полностью поляризовано

вдоль оси Х, Т.е

(349)

Далее, предположим, что перетяжка входящего пучка соотносится с линзой таким образом, что на линзу падает плоский волновой фронт. Для простоты предпо­ ложим также, что линза покрыта хорошим антибликовым покрытием, следовательно.

мы можем пренебречь отличием коэффициентов пропускания Френеля от единицы

te=t~=l. (350)

(lO)-мода:

(3.67)

для полноты картины мы привели также магнитные поля, соответствующие всем

Tpe~1 модам. Они могут быть получены тем же образом с использованием соответ­

ствующего параксиального предела Ноо, в котором магнитное поле направлено вдоль оси.l/ Отметим, что только функции Бесселя нулевого порядка обладают ненулевым

значением в точке нулевого аргумента. Вследствие этого только (lO)-мода обладает

что означает полное перекрытие выходной диафрагмы фокусирующей линзы. Эта ситуация подобна той, в которой на линзу падала бы плоская волна. На рис. 3.9

показано влияние фактора перекрытия на степень локализации (удержания) фокаль­

ного поля.

В этих примерах мы использовали объектив с числовой апертурой 1,4 и коэффи­

циентом отражения 1,518, что соответствует максимальному рабочему углу 68,960.

Очевидно, что фактор перекрытия важен для качества фокального пятна, а зна­

чит. и для разрешения оптического микроскопа. Важно отметить, что чем сильнее

у:tержание поля в фокусе 1), тем более эллиптическим становится фокальное пятно.

Если в параксиальном приближении пятно является идеально круглым, то в сильно

сфокусированных полях пятно вытягивается вдоль направления поляризации. Это

наблюдение имеет важное следствие: если нашей целью является получение высо­ кого разрешения при помощи пространственно-локализованных полей, мы должны

учитывать их векторную природу. Использование скалярных теорий становится недо­ статочным. На рис. 3.10 показаны схемы линий уровня поля для электрического поля

в Сlучае, когда фактор перекрытия равен 10 = 1, а числовая апертура составляет

.УА = 1.4. На рисунке представлено полное поле Е2 в плоскости поляризации падаю­

шего излучения (.т,.I1) и в перпендикулярной к ней плоскости (у, z). А на боковых

картинках показаны отдельные компоненты в фокальной плоскости z = О. Отношение

~Iаксимальных значений таковы: lllах[Е~]/ шах[Е~] = 0,003, шах[Е;]/ шах[Е~] = 0,12.

ТаКИ~I образом, наибольшее количество энергии электрического поля сосредоточено

вего продольной компоненте.

1)Иногда мы будем использовать вместо термина <'удержание,> термин <,локализация». -

Прu.иеч пер

х 17.2

рена линза с числовой апертурой NA = 1,4 и коэффициентом отражения 1,518 На РI1С~ нке

показана величина интенсивности электрического поля [Е[2 в фокаJlЫIOЙ плоскости : = О

Пунктирные кривые вычислены вдоль оси :r (плоскости поляризации), а сплошные ВДО.1Ь оси у. Все кривые отнормированы по амплитуде Параметр НОРМИРОВI{И в KOHKpeTHO~1 C.l~ чае

указан на каждом из рисунков Чем больше фактор перекрытия, тем сильнее различие

между пунктирной и сплошной кривыми, что указывает на возрастающее при ном влияние

поляризационных эффектов

l:Jг-l

••

У ••

Ll х252

у.'

L.l х8

Рис 3.10 а, 6 - схема линий уровней постоянного [Е[2 в фокальной области СфОl\усирован­

ного гауссова пучка (NA = 1,4, n = 1,518, fo = 1): а - в плоскости поляризации падающего

излучения (х, У), 6 - в плоскости. перпендикулярной плоскости поляризации падающего ИЗ.l~­ чения (у, z) Кривые приведены в логарифмическом масштабе, соседние кривые соответствуют

величинам, отличающимся в 2 раза На рис (в, г, д) показана величина отдельных I\ОШlOнент

поля [Ех [2, [Еу[2 И [Ez [2 соответственно в фокальной плоскости (~ = О) Масштаб .пинеЙНЫI1