Кочубей СПЕКТРОСКОПИЯ РАССЕИВАЮЩИХ СРЕД

измерения эффективного коэффициента ослабления и фотометрические измерения фазовой функции однократного рассеяния.

Прямые методы не зависят от какой-либо модели вычисления оптических параметров и результатов измерений. Двумя оптическими характеристиками, не зависящими от модели, являются суммарный коэффициент ослабления и эффективный коэффициент ослабления. Эти параметры определяются следующими способами:

Суммарный коэффициент ослабления получают согласно закону БугераБера из измерений пропускания без рассеяния. Для измерений используют тонкие слои образца. На результаты оказывают сильное влияние следующие факторы: геометрия луча, свойства образца, схемы регистрации, многократное отражение на границах. Идея экспериментов проста, но сложна в реализации изза проблем разделения света рассеянного в направлении распространения светового луча и не рассеянной части излучения.

Эффективный коэффициент ослабления или эффективная глубина проникновения определяются из измерения интенсивности света внутри ткани. Это самый простой и наиболее часто измеряемый параметр. При этом используются оптоволоконные детекторы, которые должны располагаться внутри диффузной области облучаемых объемных образцов, вдали от источников света и границ. Это важно, так как в противном случае ориентация волокна по отношению к падающему лучу, и величина числовой апертуры волокна будут вносить ошибки в результаты измерения.

Получение оптических параметров рассеивающих образцов основано, как правило, на использовании непрямых методов. При этом параметры рассчитываются из измеряемых величин (например, полного пропускания, отражения и коллимированного пропускания) на основе теоретической модели распространения света. В результате полученные оптические параметры зависят не только от результатов измерения, но и от выбранной модели распространения света в образце.

Косвенные (непрямые) методы снижают типовые ограничения, но требуют аппроксимаций, которые часто являются неверными для исследуемых образцов (например, почти изотропное рассеяние или отсутствие внутреннего отражения на границах образца). Непрямые методы требуют использования теоретической модели распространения света в образце, т.е. требуют наличия выражений, связывающих оптические свойства объекта и измеряемые величины пропускания и отражения.

Теория, используемая в косвенных методах, обычно попадает в одну из трех категорий: закон Бера, Кубелка-Мунка, или диффузионное приближение.

Непрямые методы можно разделить на итерационные и неитерационные. Неитерационные методы используют уравнения, в которых оптические свойства явно выражены через измеряемые величины, например модель Кубелки-Мунка.

29

В непрямых итерационных методах оптические свойства не явно связаны с измеряемыми величинами. Значения оптических параметров итерируются до тех пор, пока рассчитанные значения отражения и пропускания не совпадут с результатами измерений.

Закон Бера используют для получения параметров слабо рассеивающих сред. При этом пренебрегают рассеянием, кроме того, он не подходит для толстослойных образцов тканей. Использование метода Кубелка-Мунка [54, 55] оправдано только в случаях, не требующих высокой точности результатов. Существуют вариации метода Кубелка-Мунка. В одной из них используются расчеты коэффициентов поглощения и рассеяния Кубелки-Мунка из результатов измерений диффузного отражения и пропускания при диффузном освещении. Применение метода довольно ограничено, так как достаточно сложно найти хороший источник диффузного освещения. Второй вариант использует определение коэффициентов поглощения, рассеяния и анизотропии рассеяния из измерений диффузного пропускания и отражения с использованием соотношений, полученных Ван Гемертом. Сначала рассчитывают коэффициенты Кубелки-Мунка, затем переводят их в транспортные коэффициенты уравнения переноса, далее объединяя с измерениями пропускания без рассеяния, получают три оптических параметра. Ограничения для использования метода те же самые. Существуют выражения, позволяющие учесть несогласования показателя преломления на границах.

Методы, основанные на диффузионном приближении или подобной аппроксимации, являются более точными, чем метод Кубелка-Мунка. Методы, основанные на диффузионном приближении, включают в себя импульсную фототепловую радиометрию, спектроскопию временного разрешения и т.д. [56, 57]. Эти методы остаются популярными, потому что они удобны, имеют относительно малые ограничения на тип образца, и поддаются аналитической обработке. Однако диффузионное приближение предполагает, что внутренняя светимость почти изотропна, и, кроме того, не подходит для тех случаев, когда рассеяние сопоставимо с поглощением.

Метод инверсного добавления-удвоения был предложен Ван де Хюлстом [58], для решения уравнения переноса излучения в случае плоской геометрии образца. Преимущества удваивающего метода состоят в том, что требуется только интегрирование по углу, физическая интерпретация результатов может быть выполнена на каждом шаге. Метод эквивалентен для изотропного и анизотропного рассеяния, и результаты получены для всех углов падения, используемых в интегрировании. Недостатки метода заключаются в том что, он является:

а) относительно медленным для вычисления распределения интенсивности излучения внутри образца;

30

б) подходит для многослойной геометрии только при однородном облучении поверхности образца;

в) необходимо, чтобы каждый слой имел однородные оптические свойства. Для определения оптических свойств, с использованием только отражения и пропускания, знание распределения интенсивности излучения внутри образца

не нужно, поэтому ограничением (а) можно пренебречь. Ограничения (б) и (в) влияют на геометрию образца, образцы должны быть равномерно освещены и однородны.

Движение фотонов в рассеивающем образце определяется его собственными оптическими параметрами: коэффициентом поглощения μa коэффициентом рассеяния μs и фактором анизотропии рассеяния g. В противоположность собственным параметрам, наблюдаемые параметры, такие как коэффициент отражения R, пропускание T и распределение света внутри образца , могут изменяться в зависимости от геометрических факторов, таких как толщина, граничные условия поверхностей (например, воздух/ткань, вода/ткань), угол падения излучения, форма падающего пучка, несмотря на постоянство собственных оптических свойств.

31

МАТЕМАТИЧЕСКИЕМОДЕЛИ ПРОХОЖДЕНИЯ СВЕТА ЧЕРЕЗ ВЕЩЕСТВО

Теория переноса излучения

Теория переноса излучения в форме уравнения переноса для интенсивности или яркости излучения возникла более столетия назад в основном благодаря трудам профессора Санкт-Петербургского университета О.Д. Хвольсона (1890 г.) и Шустера (1905 г.). В основополагающей работе Хвольсона рассмотрена задача о рассеянии света в молочных стеклах. В ней впервые получено интегральное уравнение, а также исследованы некоторые предельные (асимптотические) случаи. Частный вариант этого уравнения получил намного позднее Э. Милн, занимавшийся теорией лучистого равновесия звездных атмосфер. Первые шаги в развитии теории связаны с астрофизическими работами

К. Шварцшильда, А. Шустера, Э. Милна и А. Эддингтона, опубликованными в начале двадцатого века.

Всвязи с развитием ядерной энергетики появилась необходимость создания теории переноса нейтронов в ядерных реакторах. Проблема осуществления управляемого термоядерного синтеза столкнулась с теорией переноса излучения в плазме. Исследования распространения звуковых волн, диффузии экситонов (возбужденных состояний) в конденсированных средах, вопросов сложного теплообмена и ряда других физических процессов связаны с уравнениями переноса. Теория распространения волн в случайно-неоднородных средах, в которой рассматривается многократное рассеяние различных волновых полей, при определенных допущениях (приближение геометрической оптики, переход от квантовых движений к классическим) также приводит к уравнению переноса.

Уже к 50-м годам прошлого века исследования по теории переноса выделились в самостоятельный раздел математической физики, способствовав появлению новых эффективных методов решения интегральных и интегродифференциальных уравнений. В настоящее время число приложений теории переноса чрезвычайно велико. Они включают описание распространения излучения в самых различных областях, таких, как астрофизика, прикладная оптика, биофизика, геофизика, оптика рассеивающих сред, ядерная энергетика и т.д.

Вбиомедицинской оптике теория переноса излучения является одним из основных методов, используемых для описания процессов распространения излучения в биологических тканях, таких как кожа, склера глаза, мышечные ткани

идр., и жидкостях, примером которых являются кровь, лимфа и т.д.

32

Теория переноса излучения [59, 60] справедлива для группы достаточно удаленных друг от друга рассеивателей, и с успехом применяется при решении ряда практических задач. Основное уравнение теории переноса излучения записывается как уравнение макроскопического баланса энергии в бесконечно малом, элементарном объеме рассеивающей среды. При этом фотоны предполагаются не взаимодействующими друг с другом и, таким образом, их поля складываются, а интерференционными эффектами пренебрегают, т.е. транспортная теория рассматривает фотоны в качестве точечных частиц. Вследствие этого теория переноса излучения (ТПИ) справедлива для ансамбля достаточно удаленных друг от друга рассеивателей. Вообще говоря, ТПИ не рассматривает в качестве рассеивающих и поглощающих центров индивидуальные частицы, а оперирует понятием элементарного объема среды, которому приписываются определенные рассеивающие и поглощающие характеристики. При этом количество реальных частиц в элементарном объеме среды не оговаривается. Вопрос о границах применимости ТПИ был детально исследован Апресяном и Кравцовым. Говоря о границах применимости теории переноса излучения, прежде всего, необходимо отметить, что в ТПИ широко используются фотометрические понятия и величины, т.е. интенсивность, поток излучения, его плотность и т.д. В тоже время, понятия классической фотометрии являются достаточно приближенными, поскольку допустимость этих приближений связана в первую очередь со спецификой измерений светового излучения, обладающего чрезвычайно малой, по сравнению с размерами регистрирующих приборов, длиной волны. Сформулируем основные предположения, которые используются при построении фотометрических понятий.

Для каждой квазиплоской волны считаются выполненными условия применимости приближения геометрической оптики, благодаря чему волновое поле выступает как лучевое поле.

Предполагается полная некогерентность лучей, приходящих в данную точку с различных направлений, что отвечает в некотором смысле статистической независимости источников излучения.

В процессе измерения регистрируются не мгновенные и локальные, а лишь некоторые усредненные по времени и пространству квадратичные характеристики поля, и именно такими усредненными характеристиками оперирует теория переноса излучения.

Усредненные характеристики поля совпадают со статистически средними по ансамблю реализаций.

Условие 1 является основным и позволяет говорить о потоках излучения, распространяющихся вдоль лучей. В соответствии с этим условием, в классической теории переноса при описании распространения излучения не учитываются дифракционные эффекты.

33

Условие 2 позволяет суммировать энергетические величины, а не сами поля, исключая тем самым возможность проявления интерференционных эффектов. Условия 3 и 4 устанавливают соответствие фотометрических величин с экспериментально измеряемыми параметрами.

Если ограничиться описанием свободного излучения, то принципиальных трудностей с обоснованием фотометрических понятий не возникает. В этом случае достаточность условий 1-4 очевидна, а фотометрия выступает как теория, объединяющая энергетические соотношения метода геометрической оптики со статистическим предположением о некогерентности пучков.

Значительно сложнее обстоит дело с выяснением границ применимости фотометрического описания распространения излучения в мутных средах (к которым относятся и биологические объекты) когда существенно рассеяние. Заметное рассеяние возникает в случае, когда в среде имеются неоднородности, не являющиеся плавными в масштабе длины волны. Вблизи таких неоднородностей нарушается условие применимости геометрической оптики и тем самым условие 1 применимости фотометрических понятий. Несмотря на это, последние, как известно, широко используются при описании распространения излучения в рассеивающих средах. Такая возможность оправдывается тем, что в рассеивающих средах применимость геометрической оптики требуется не всюду, а лишь в среднем по отношению к масштабам, на которых производится усреднение. Тонкие детали, такие как поведение поля вблизи границ неоднородностей, в фотометрии из рассмотрения исключаются.

Таким образом, наличие рассеяния приводит к необходимости введения новых ограничений. Главное ограничение можно сформулировать как требование, чтобы полное ослабление пучка, связанное с рассеянием и поглощением, было мало на расстояниях, сравнимых с длиной волны. Другими словами, длины рассеяния , и поглощения , должны быть большими по сравнению с длиной волны. В противном случае пучок успеет рассеяться, поглотиться или изменить амплитуду вследствие неоднородности среды уже на длине волны, т.е. фактически до своего формирования, так что поле при этом теряет характер бегущих волн.

Рассеивающие неоднородности можно охарактеризовать некоторым размером а, имеющим порядок радиуса корреляции флуктуаций в случае непрерывной рассеивающей среды и порядок размера частицы для среды, состоящей из дискретных рассеивателей. Учтем также, что в уравнении переноса рассеивающие неоднородности трактуются как точечные независимые рассеиватели, на которых происходят последовательные акты рассеяния и поглощения. Для того чтобы неоднородность можно было рассматривать как точечный рассеиватель, каждый последующий акт рассеяния должен происходить в волновой зоне по отношению к неоднородности, т.е. не ближе чем

34

излучения является мощным инструментом, позволяющим с высокой точностью моделировать распространение излучения в рассеивающих средах, примером которых являются биологические ткани и жидкости, и служит надежным подспорьем в руках исследователей, работающих в области биомедицинской оптики и оптики биотканей.

Основное уравнение теории переноса излучения в рассеивающей и

коллимированного светового потока F, рассеянного на единичной длине пути dL:

. В отсутствии поглощения света коэффициент рассеяния определяет коэффициент коллимированного пропускания среды толщиной L:

среднее расстояние между актами взаимодействия фотонов со средой, при которых происходит рассеяние фотонов.

Поглощающие и рассеивающие характеристики биотканей тесно связаны между собой, и определяются комплексными значениями показателей преломления и геометрическими размерами частиц, образующих исследуемую

35

меняется на случайный угол, имеющий определенное распределение вероятности, называемое фазовой функцией, т.е. фазовая функция определяет вероятность того, что фотон, летящий в направлении s, после рассеяния будет иметь направление s'. Фазовая функция рассеяния на одиночной частице обычно имеет сложную форму со многими "выростами". В биологических тканях фазовые функции для каждого центра рассеяния могут быть различными, а сами рассеивающие частицы часто расположены так близко друг к другу, что влияют на фазовые функции рассеяния друг друга. Данная особенность рассеяния света в биотканях накладывает определенные ограничения на применимость ТПИ для описания процессов распространения излучения в биотканях и сужает границы ее применимости. Однако, поскольку для оптики биотканей в большинстве случаев важны макроскопические параметры среды, то учет фактора упаковки рассеивателей, а также корректный выбор вида фазовой функции позволяет обойти данные ограничения и использовать ТПИ для описания распространения излучения в биотканях.

Фазовая функция

Простейшая фазовая функция (в случае изотропного рассеяния) имеет вид:

усложняется. Для целого ряда биотканей было показано, что достаточно хорошее согласование между экспериментальными и расчетными данными может быть получено при использовании фазовой функции Хеньи-Гринштейна (HenyeyGreenstein), или ее модификации, имеющей вид:

направлениями распространения падающего и рассеянного фотонов, представляет собой скалярное произведение единичных векторов s и s', g – средний косинус угла рассеяния, или, иначе говоря, фактор анизотропии рассеяния (anisotropy factor), фактически определяющий степень анизотропии фазовой функции (т.е. степень анизотропии индикатрисы рассеяния):

рассеивающей среды. В общем случае, значение фактора анизотропии меняется в пределах от –1 до 1. Для рассеивателей, которые образуют биологические ткани, этот параметр обычно лежит в пределах от 0.7 до 0.99. При этом фактор

36

анизотропии рассеяния определяет число актов рассеяния, после которых теряется информация о первоначальном направлении движения фотона в рассеивающей среде. Для изотропного рассеяния (g = 0) к такой потере информации приводит один акт рассеяния, для среды с фактором анизотропии g

значении фактора анизотропии вид фазовой функции значительно меняется с ростом параметра . Несмотря на то, что учет параметра позволяет значительно точнее аппроксимировать индикатрисы рассеяния реальных биотканей, при проведении расчетов значительно чаще используют фазовую функцию ХеньиГринштейна, полагая параметр равным нулю.

хорошо видно, как с ростом g-фактора наблюдается переход от практически

37